正弦、余弦函数典型例题。

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。关于好的高中教案要怎么样去写呢？小编经过搜集和处理，为您提供正弦、余弦函数典型例题，希望对您的工作和生活有所帮助。

正弦、余弦例题分析
例1.△ABC中已知a=6，，A=30°，求c．
我们熟知用正弦定理可得两解．其实用余弦定理也可：
由得c的二次方程c2－18c＋72=0
解得c1=12或c2=6．

例2.如图5—43四边形ABCD中,AB=3，AD=2内角A=60°、B=D=90°．求对角线AC．
由于含AC的两三角形都只有2个条件，不能直接求解，容易想到以下解法：
(1)设多个未知数，建立方程组求解．如设BC=x，CD=y，则有
AC2=9＋x2=4＋y2，…①
即有9＋4－6=x2＋y2＋xy…②
联立①、②解出，．
∴
(2)引入角未知数∠BAC=θ．则∠DAC=60°－θ．
即有关于θ的方程
即3cos(60°－θ)=2cosθ
求出,
∴
但若洞察图形的几何特征，则有巧法．
(3)A、B、C、D四点共圆：且AC为该圆直径．
则由余弦定理求出
，再由正弦定理，．
(4)延长AB、DC交于E如图5—44．则易知，AE=4，BE=1，
立即可得．
本例凸显几何直觉的价值．

例3.若一扇形半径为R，中心角为2α，这里，求此扇形图示这种内接矩形ABCD的最大面积．
依题意OB=OE=R，∠AOE=∠DOE=α，要求其最大值的矩形面积S=ABBC，关键在选择适当变元来表示ABBC，由BC=2BF．我们选x=∠BOE为变元，
立即有BC=2Rsinx，∠AOB=α－x，∠OAB=π－α，在△OAB内由正弦定理得
于是
积化和差得
∴当时,S有最大值：．

扩展阅读

正弦函数,余弦函数的图象

临清三中数学组
§1.4.1正弦函数,余弦函数的图象

【教材分析】
《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等）
【教学目标】
1.学会用单位圆中的正弦线画出正余弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
2.掌握正余弦函数图象的“五点作图法”；
3.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。
【教学重点难点】
教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象
教学难点：运用几何法画正弦函数图象。
【学情分析】
本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学.
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复习导入、展示目标。
1.创设情境：
问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？
设置意图：把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养，使教学目标与实验的意图相一致。
学生活动：教师提问，学生回答，教师对学生作答进行点评
多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？
设置意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识
学生活动：给每位同学发一张纸，组织他们完成下面的步骤：描点、连线。
加入竞争机制看谁画得又快又好！
2.探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次：
引导学生画出点问题一：你是如何得到的呢？如何精确描出这个点呢？
问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发？什么是正弦线？如何作出点展示幻灯片
设置意图：由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点
学生活动：引导学生由单位圆的正弦线知识，只要已知角x的大小，就可以由几何法作出相应的正弦值来。
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价）
多媒体使用：几何画板；PPT
问题三：能否借用点的方法，作出的图像呢？
课件演示：正弦函数图象的几何作图法
设置意图：使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。
通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程。并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。
学生活动：一方面分组合作探究，展示动手结果，上台板演，同时回答同学们提出的问题。
利用尺规作出图象，后用课件演示
问题四：如何得到的图象？
展示幻灯片
设置意图：引导学生想到正弦函数是周期函数，且最小正周期是
问题五：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？
学生活动：请同学们观察，边口答在的图象上，起关键作用的点有几个？引导学生自然得到下面五个：
组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
“五点法”作图可由师生共同完成
设置意图：积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。
把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。
通过讲解使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图象。
小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线
思考：如何快速做出余弦函数图像？
根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.
三、例题分析
例1、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx，ｘ∈〔0，２π〕
解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线

解：（1）按五个关键点列表：
x0
π
2π
Sinｘ0１0－10
1+Sinｘ12101

描点、连线，画出简图。
变式训练：ｙ＝－cosx，ｘ∈〔0，２π〕
解：按五个关键点列表：

x0
π
2π
Cosx10101
-Cosx-1010-1

点评：目的有二：(1)巩固新知；(2)从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础。
四、反思总结与当堂检测：
1、五点（画图）法
（1）作法先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点横坐标：0π/2π3π/22π
2、图形变换平移、翻转等
设置意图：进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识，并体会其应用。
学生活动：学生分组讨论完成
3、画出下列函数的简图：(1)y=|sinx|，（2）y=sin|x|

五、发导学案、布置预习
思考：若从函数
1.的图像变换分析的图象可由的图象怎样得到？
2.可用什么方法得到的图像？1、“五点法”2、翻折变换
六、板书设计
正弦函数和余弦函数的图像
一、正弦函数的图像例1
二、作图步骤1、列表2、描点3、连线练习：
三、余弦函数
教学反思
学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。
学生们大多数都能完成得很好，但学生对自己的评价还比较保守，表现不太自信，另外我应肯定一下普遍完成任务的所有同学，不只是肯定那几个高手。
但有些同学还是忽视理论探讨，急于动手做，因此总会出现这样或那样的问题，如何让学生少走弯路，对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，这是个值得研究的问题。
九、学案设计(见下页)
临清三中数学组
§1.4.1正弦函数,余弦函数的图象

课前预习学案
一、预习目标
理解并掌握作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函数简图．
二、复习与预习
1．正、余弦函数定义：____________________
2．正弦线、余弦线：______________________________
3.10.正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：、、、、.
20.作在上的图象时,五个关键点是、、、、.
步骤：_____________，_______________，____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
学习重难点：
重点：：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象；
难点：运用几何法画正弦函数图象。
二、学习过程
1.创设情境：
问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？

问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？

2.探究新知：问题一：如何作出的图像呢？
问题二：如何得到的图象？
问题三：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？

组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
“五点法”作图可由师生共同完成
小结作图步骤：

思考：如何快速做出余弦函数图像？
例1、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx，ｘ∈〔0，２π〕
解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线
变式训练：ｙ＝－cosx，ｘ∈〔0，２π〕

三、反思总结
1、数学知识：
2、数学思想方法：
四、当堂检测
画出下列函数的简图：(1)y=|sinx|，（2）y=sin|x|

思考：可用什么方法得到的图像？

课后练习与提高
1.用五点法作的图象.

2.结合图象，判断方程的实数解的个数.

3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

参考答案:
1、略2、一个

《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例”，仅供您在工作和学习中参考。

《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例
【案例背景】
在接到青年教师教学优质课比赛的任务没多久，我又被级组赋予另一项艰巨而伟大的使命优质班会课评比。当两个优质课碰撞时，也许就只能成全一个优质了！刚从班会优质课的赛场退下来，还没来得及喘口气，便又匆忙的投入几天后即将举行的教学优质课。虽然我早已不是一位新手，我的年龄也正在踩线，青年教师的青春头衔将不再属于我，可是，面对教研处浓重组织的这场教学比赛，我还是心惊胆战！一是对手实在太强大；二是已有好几年没有教高一；三是《三角函数》是个公认不好讲、不易出彩的内容；四是我的准备不充足，留给我的时间太少了。面对这么多的不利因素，我只能勇往直前，不怕失败！首先，确定主题。怎样跳出三角函数那些枯燥的公式，平淡的性质，以学生为主体，新授课上出探究味呢？经过思考、对比，唯有图象，能当此重任。它有形的直观，有多媒体的动态，更有学生参与画图的空间。于是，我将主题定为正弦函数、余弦函数的图象。这是一个承前启后的章节，它的推导要利用前面讲过的三角函数线，它的出现又将为后面研究性质铺路。这也是一个知识联系丰富的内容，从正弦到余弦，只需用诱导公式和图象变换可以实现；从三角函数线几何法作图，到简化的五点法作图，再到灵活的图象变换，方法多样，内涵丰富。另外，这节课的画图，需要强大的信息技术支持，课件的动画效果和设计，直接影响到本课的难点突破。在这方面，我也花了大量心血，最终的课件效果令人满意，被其他老师借用。分享是一种快乐和美德！
【案例描述】
本节课需要用到很多以前的知识，比如，一开始给出正弦函数的定义，这需要以函数的定义为基础。而函数概念放了很久，学生普遍会遗忘。再如，由正弦曲线图象得出余弦曲线的图象，要借助诱导公式五、六。画正弦曲线的几何方法，要利用正弦线。所以，在课前的学案中，我设计了【温故知新】环节，帮助学生回顾。本课还有一个难点，画正弦曲线时怎样引导学生联想到三角函数线中的正弦线？从而用几何法准确作图。为此，我又设计了一个铺垫。用问题串来引导，启发学生如何准确的画出纵坐标，从一个具体的点入手，从而有效突破难点。
部分课堂实录：
一．课题导入
师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).
师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？
生：定义域为R.
师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来研究它的性质.
通过图象可以研究函数的哪些性质？
生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.
师:这节课我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象.
（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）
师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验.
（多媒体展示简谐运动的位移和时间关系图象，让学生经历从生活世界到科学世界，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.）
二．讲授新课
1．利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x[0，2]的图象
师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？
生：列表、描点、连线．
师:在[0,2p]范围内取哪些点？
生：取特殊角：等。
师：那么的值是精确值还是近似值？
师生共同讨论总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.
师:（进一步提出问题）为了得到比较精确的正弦函数的图象，如何从几何的角度用图形表示纵坐标？
比如，怎样用几何法描出点？
（教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把列表中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。结合在前面已经学过的三角函数线三角函数线从形的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的正弦线来表示点的的纵坐标正弦值．）
生：学生先探索，然后上黑板展示她的成果。
（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）
师:既然我们能够利用正弦线准确描点，那么请同学们再多找一些点，画出正弦函数y=sinx，x?[0,2p]的图象。
（留时间给学生作图，教师巡视，学生画好后投影展示，并请学生讲解作图步骤。）
师:在学生讲解完后，教师再利用多媒体的动画效果演示一下作图过程，加深印象。
（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）
师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0,2]上的图象．
提出问题：如何由y=sinx，x?[0,2p]的图象得到y=sinx，x?R的图象．
2．由函数y=sinx，x[0，2]的图象得到函数y=sinx，xR的图象
教师结合图形，引导学生继续研究[2,4]上的图象，让学生观察，发现：[2,4]上的图象和[0,2]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2,4]上的图象和[0,2]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2,4]上的图象只需把[0,2]上的图象像右平移2个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．
师生形成共识:把函数y=sinx,x[0,2]的图象沿x轴左右平移，每次平移2个单位，就可以得到y=sinx,xR的图象.
师：多媒体演示由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程．
师:（小结）由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,k?Z．
（先让学生从直观上感受[2,4]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）
由正弦函数的图象得到余弦函数的图象
师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？
生:可以，但比较麻烦．
师:想走捷径，就得利用前人的成果！能否以正弦函数的图象为基础，结合诱导公式快速作出余弦函数的图象？
探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？
（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）
师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？
生1：把余弦化正弦，；
师：（继续引导）还有没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？
生2：；
师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！要作的图象，只要作或的图象。从函数图象变换的角度考虑，如何由y＝sinx的图象得到或的图象，哪一个更简单？
生：由y＝sinx的图象得到的图象，需要经过两次图象变换，而由y＝sinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简单.
师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．
（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．
4．用五点法作正弦函数的简图
师:我们在作正弦函数y=sinx,x[0,2]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。
(学生回答，教师动画演示)
师:在精确度要求不高的情况下，我们常用五点画图法作出正弦函数的简图。
师：你们能类比说出余弦函数的五个关键点吗？
（师生一起总结：五点作图法是我们画三角函数简图的基本方法。
师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用五点法作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用五点法，它更实用.
下面我们就一起用五点法来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象.
三．典例讲解
示例1:（1）用五点法作函数y=1+sinx,x[0,2]上的简图；
（2）用五点法作函数y=-cosx,x[0,2]上的简图.
（对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）
师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，x?[0,2p]的图象，得到y＝1＋sinx,x?[0,2p]的图象？同样的，如何利用y=cosx，x?[0,2p]的图象，得到y=-cosx，x?[0,2p]的图象？
2、巩固练习
四、课堂小结
师:这节课的研究学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探索和收获.
生1:我们学习了用三角函数线作图,五点法作图；
生2:复习了诱导公式，并利用诱导公式从正弦函数图象变换得到余弦函数的图象。
师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，让教师能够快速的解决各种教学问题。写好一份优质的教案要怎么做呢？下面是小编帮大家编辑的《§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案
班级：__________小组：___________姓名：_____________
学习目标:
一、【目标】
1.借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念。
2.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性。
3.知道诱导公式的推导过程；能概括诱导公式的特点。
4.能灵活运用诱导公式熟练正确地进行求值、化简及变形。
5.提高对三角函数中单位圆思想的认识，培养借助图形直观进行观察、感知探究、发现及逻辑推理的能力，渗透掌握分类讨论及数形结合的思想方
二、【学习重点、难点】
重点:正弦函数、余弦函数的单位圆定义法;用联系的观点，发现并证明诱导公式。
难点:正弦函数、余弦函数的定义理解；如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边上点的对称性，发现问题，提出研究方法。
教学计划：
第一课时：

一、复习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，sinB＝_____，cosB=_____，比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB的表达式，你有什么发现？
2.周期函数：
3.同角三角函数关系：
二．预习
1.在直角坐标中，以_____为圆心，以_______为半径的圆叫做单位圆。
2.正弦函数、余弦函数定义：一般地，在直角坐标系中，对任意角α（弧度制），使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v，叫作角α的正弦函数，
记作v＝。点P的纵坐标u，叫作角α的余弦函数，记作u＝.
通常,我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正、余弦函数分别表示为y＝sinx，y＝cosx.
定义域：_________________，
值域：___________________.
3、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么:
⑴正弦=__________，
⑵余弦=__________。
4.当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：
象限
三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限
5.周期性：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为_____________。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的____________。
（余弦函数y＝cosx同上）.
三、合作探究
例1：将各特殊角的三角函数值填入下表。
x0
y=sinx
y=cosx

例2．已知角α的终边经过点P（2，－4），求角α的正弦函数值、余弦函数值。

四、自我训练
1.已知角α的终边经过点P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.
2.确定下列各三角函值的符号：
⑴cos250°;⑵sin(-π/4);
⑶sin(-672°);⑷cos3π;

3.已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限.

第二课时：

一，问题的提出
求下列三角函数的值，公式一都能解决吗？是否有必要研究新的公式？
sin1110°=
二，自主学习
（一）知识梳理：
则
公式一的作用：
4.（1）的终边与角终边关于__________________对称
（2）的终边与角终边关于__________________对称
（3）的终边与角终边关于__________________对称
（4）的终边与角终边关于__________________对称
5.如图,设α为一任意角，α的终边与单位圆的交点为P(x,y),角的终边与单位圆的交点为P0,点P0与点P关于_____________成中心对称,
因此点P0的坐标是__________________于是,我们有:

公式二：
_________________
_________________

类比公式二的得来，得：
公式三：
___________
______________

类比公式二,三的得来，得：
公式四：
__________________
______________________
对公式一，二，三，四用语言可概括为：
上述公式的作用：
将分别加上，三角函数值（会否）改变？是否可以得出，形如的角，求三角函数值的一般方法或口诀？

（二）合作探究
1、利用公式求下列三角函数值
（1）cos210；(2)
（3）；（4）．

拓展1：将下列三角函数转化为锐角三角函数
（1）=__________（2）=____________
(3)=____________(4)=___________

通过练习，你认为：（１）公式一至公式四如何理解记忆？
（２）你能够自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
2、化简

3、化简：（1）sin(+180)cos(—)sin(——180)
（2）sin(—)cos(2π+)tan(——π)

（三）学习小结：
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.

函数y＝asin（ωx＋φ）的图象6典型例题

函数图象例题分析
［例1］由图4—14所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）
（｜φ｜＜π）的表达式.
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由图象可知A＝2
又（－，0）为五点作图的第一个点
因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝
因此所求函数表达式为y＝2sin(2x＋)
说明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，A由函数的最值确定，ω由函数的周期确定，φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定.

［例2］函数y＝Asin(ωx＋φ）?（｜φ｜?＜π）的图象如图4—15，求函数的表达式.
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由函数图象可知A＝1
函数的周期为T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8
∴ω＝
又(－1，1)为“五点法”作图的第二个点
即（－1）＋φ＝，∴φ＝
∴所求函数表达式为y＝sin（x＋）
说明：如果利用点(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象上，得到
，则很难确定函数关系式中的A、ω、φ.
［例3］如图4—16，已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜的图象，那么
A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝－
C.ω＝2，φ＝D.ω＝2，φ＝－
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由(0，1)点在函数的图象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜
∴φ＝
又(，0)是“五点法”作图的第五个点
因此ω＝2π，解得ω＝2.
答案：C
说明：在本题求ω的过程中，若利用(，0)在图象上，即sin（ω＋）＝0，则求出ω＝2或ω＝，很难判断我们所要选择的答案，因此图象上点的坐标适合关系式一定要慎重使用.

［例4］画出函数，的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到此函数的图像．
解：函数的周期T=，先画出它在长度为的闭区间上的简图．
列表
X
020－20
描点画图：描点，连接，根据这五个关键点画出函数．的简图（图4-37）

利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：．R的简图．
函数R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到：
（1）先把的图像上所有的点向右平行移动个单位，得到的图像；再把的图像上的所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图像．
（2）先把函数的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图像；再把的图像上所有的点向右平行移动个单位，得到的图像．
评析：比较函数的图像和图像，容易发现，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此，R的图像．可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）再把所得各点向右平行移动个单位长度而得到．变换的次序可以改变．
一般有，函数．R，的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的：
（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当时）时或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变）
（2）先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（（当）时）或向右（当时）平行移动个单位长度．

［例5］画出函数R的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到该函数的图像．
解：函数的周期，先画出它在长度为的闭区间上的简图．
列表：
X
010－10
描点画图：描点、连接，根据五个关键点画出函数的简图，如图4-38所示．

利用函数的周期性，把它在上的简图向左、右分别扩展，就得到函数R的简图．
函数R的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到：
（1）先把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像；再把的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像．
（2）先把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像；再把的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像．
评析：比较函数的图像与的图像，不难看出，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此的图像，可以看作是先把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）再把所得各点向左平行移动个单位而得到的．（变换次序可以改变）．
注意：在由的图像变换成的图像时，因为中的与2x中的x相对应，所以平移的是个单位，而不是个单位．（这里是学生经常出现错误的地方，必须设法避免）．
一般地，函数R的图像，可以看作是用下面两种方法得到的：
（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）．
（2）先把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度．
说明：讲例2和例3两题的目的有二：一是把本节课的知识引伸，二是为下节课作好准备，这样处理教学内容虽然本节课的难点增加了，难度加大了，但下一节课的难点分散了，难度降低了，实践证明这样做可以收到较好的教学效果，便于学生理解和掌握．

［例6］将余弦曲线上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，再将所得图像向右平移个单位，所得函数图像的一个解析式为___________________．
解一：先把的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像；再把的图像上所有的点向右平移个单位，得到的图像．所求的解析式为．
解二：先把的图像上的所有的点向右平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，因此所求的解析式为.

［例7］把函数的图像上的每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位，所得到的曲线的解析式为，求的一个解析式．
分析：这个问题实际上是对的图像实施逆向变换得到的图像．
解：先把曲线上所有的点向右平移个单位，得到曲线
；
再把曲线上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）以，得到曲线．因此，所求解析式为．

［例8］将正弦函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，所得图像的解析式为_______________________．
解：
先把的图像向左平移个单位，得到的图像，再把的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图像．因而所求的解析式为.

［例9］为了由函数的图像得到函数的图像，只要将函数的图像()
（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位．
解一：∵
将的图像向左平移个单位，得到的图像；再将的图像向左平移个单位，得到的图像．于是，把的图像向左平移个单位，就得到的图像．故选（A）
解二：令得
令得
点和点是函数的图像上和函数的图像上的对应点，平移方向从点点，所以向左平移个单位．

［例10］说明函数的图像经过怎样的变换就得到函数的图像．
分析：因为由的图像变换到函数的图像有如下两种方法．
（1）把函数的图像上所有的点向右平移个单位，再把所得各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），就得到函数的图像．
（2）把函数的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平移个单位，就得到函数的图像．
分别作以上两种方法的逆向变换，就可以得到由函数的图像变换成函数的图像的方法．
解：（1）把函数的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移个单位，就得到的图像．
（2）把函数的图像上所有的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图像．
评析：用作逆向变换的方法，可以得到由函数
R的图像及函数
R的图像变换到正弦曲线R的方法．这可让学生叙述．
说明：以上例题的讲解，都要注意以下几点：①让学生体会得三个参数中有两个变化就引起图像进行两种变换，进一步强化每个参数对图像变化的影响；②讲例题时仍然要坚持“数形结合”的思想，强化学生的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识；③让学生掌握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确，都可以用“五点法”的方法进行检验．