正弦和余弦。
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§7.2正弦、余弦(2)
班级________姓名____________
一.学习目标:
1.能够根据直角三角形的边角关系进行计算;
2.能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.
二.学习重点难点:重点:用函数的观点理解正切,正弦、余弦
难点:在实际问题中运用正切,正弦、余弦等知识解决相关问题.
三.教学过程
【温故知新】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,分别写出∠A的三角函数关系式:
sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____.
∠B的三角函数关系式_________________________.
2.比较上述中,sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式,你有什么发现?
3.基础训练
①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____.
②如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____.
③在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=2BC,则sinC=_____.
④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=35,则BC=_____.
⑤在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=45,则AC=_____.
⑥如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=35,则AB=_____.
⑦在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=23,AC=12,则AB=_____,BC=_____.
【例题解析】
例1.小明正在放风筝,风筝线与水平线成35°角时,小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成一条线段,长95m,求风筝此时的高度.(精确到1m)
(参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)
例2.工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶(如图),已知木板长为4m,车厢到地面的距离为1.4m.
(1)你能求出木板与地面的夹角吗?
(2)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离.(精确到0.1m)
(参考数据:sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739)
例3.(11甘肃兰州)通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义,解下列问题:
(1)sad60°=.
(2)对于0°A180°,∠A的正对值sadA的取值范围是.
(3)如图②,已知sinA=35,其中∠A为锐角,试求sadA的值.
牛刀小试:
【随堂练习】
1.小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面,已知滑梯的倾斜角为40°,求滑梯的高度.(精确到0.1m)(参考数据:sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660,tan40°≈0.8391)
2.一把梯子靠在一堵墙上,若梯子与地面的夹角是68°,而梯子底部离墙脚1.5m,求梯子的长度.(精确到0.1m)(参考数据:sin68°≈0.9272,cos68°≈0.3746,tan68°≈2.475)
归纳与小结:
课时作业:
1.在Rt△ABC中,∠C=90,且锐角∠A满足sinA=cosA,则∠A的度数是____.
2.比较大小:(用>,<或=表示)
①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.
3.在Rt△ABC中,∠B=90,AC=15,sinC=35,则BC=_______________.
4.已知α为锐角:
(1)sinα=12,则cosα=______,tanα=______.
(2)cosα=12,则sinα=______,tanα=______.
(3)tanα=12,则sinα=______,cosα=______.
5.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cosα=45,AB=4,则AD的长为________.
6.如图,AB表示地面上某一斜坡的坡面,BC表示斜面上点B相对于水平地面AC的垂直高度,
∠A=14,AB=240m.求点B相对于水平地面的高度(精确到1m).(友情提示:sin14=0.24,cos14=0.97,tan14=0.25)jaB88.COM
课后拓展:
1.在△ABC中,∠C=90°,cosB=1213,AC=10,求△ABC的周长和斜边AB边上的高.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=1213,请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值.
3.等腰三角形周长为16,一边长为6,求底角的余弦值.
4.在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,且∠ADC=50°,AD=2,求tanB的值。(精确到0.01m)(参考数据:sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°≈1.1918)
5.在Rt△ABC中,∠C=90,点D在BC上,sinB=35,且∠ADC=45,CD=6,求∠BAD的正切值.
6.(11浙江金华)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
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4.1正弦和余弦第2课时特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值教案
4.1正弦和余弦
第2课时特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值
课题
第2课时特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.记住特殊角(30°,45°,60°)的正弦值.
2.能由特殊角度求锐角的正弦值和由锐角的正弦值求角度.
3.会用计算器求锐角的正弦值,或求锐角.
数学思考
在探究特殊角的正弦值的基础上既要学会由角度求正弦值,也要学会由锐角的正弦值求角度,同时注意思考角度的变化引起的三角函数值的变化.
问题解决
通过测量直角三角形中的30°,45°,60°角的对边和斜边的长度,探究出特殊角的正弦值,并能进行简单的应用.
情感态度
培养学生数形结合和探究问题的能力,体验锐角正弦值的应用价值.
教学重点
特殊角的正弦值.
教学难点
准确计算包含特殊角的正弦的代数式的值.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.如图4-1-29,在Rt△ABC中,∠C=90°,那么,sinA=____.
图4-1-29
2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=2,那么c=__4__,b=__2___.
让学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.如果你手上含30°角的三角板的最短边长是1,那么最长边长是__2__,第三边长是,那么sin30°=____,sin60°=____.
2.如果你手上含45°角的三角板的直角边长是1,那么斜边长是____,sin45°=____.
鼓励学生独立解决问题,让学生初步感受30°,45°,60°角的正弦值,同时让学生根据三角尺的变化灵活记忆这些特殊角的三角函数值.
活动
二:
实践
探究
交流新知
【探究1】特殊锐角的正弦值
(结合课堂引入多媒体出示)如图4-1-30,观察一副三角板:每一个三角板上有几个锐角?分别是多少度?
图4-1-30
(1)sin30°等于多少?与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
(2)sin45°,sin60°等于多少?
归纳:sin30°=,sin45°=,sin60°=.
【探究2】用计算器求锐角的正弦值
如何求非特殊角的正弦值呢?
鼓励学生带着问题阅读教材,并进一步提问:如何利用计算器求锐角的正弦值?有哪些操作步骤?
思考:已知锐角的正弦值能利用计算器求这个锐角吗?又该如何操作?
归纳:(1)已知角度利用计算器求正弦值按键:+;
(2)已知锐角的正弦值利用计算器求锐角的度数按键:++.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生提出问题的意识;提高学生的抽象思维能力,同时不妨设两个三角形最短的边长为单位1,推导出特殊角的正弦值.
2.对于特殊角的三角函数值表,最好让学生自己填写,并记住.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1[教材P113例2]计算:sin230°-sin45°+sin260°.
变式一计算:+|1-sin30°|.
变式二已知sinα=,则锐角α的度数为__30°__.
变式三用计算器求下列各式的值(精确到0.0001):
(1)sin47°;(2)sin12°30′.
[答案:(1)0.7314(2)0.2164]
变式四利用计算器求锐角的度数(精确到1′):sinA=0.75.
[答案:∠A=48°35′]
记住特殊角的三角函数值和熟练使用计算器是解答此类题的关键,并学会准确地计算此类问题.教学中要特别强调准确.
【拓展提升】
1.与实数综合计算
例2计算:(-1)0+|2-|+2sin60°.
[答案:3]
例3计算:(6-π)0+-6sin60°+|-|.
[答案:-4-2]
对于复杂三角函数值的计算,要培养学生养成认真细致的习惯.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P113练习中的T1,T2,T3.
2.教材P116习题4.1中的T2,T3,T4.
当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课先根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出直角三角形的三边,再利用类比的方法,求出45°,60°角的正弦值,学生容易接受.
②[讲授效果反思]
授课主要围绕已知角度求锐角的正弦值和由锐角的正弦值求锐角,共设置了多个例题,建议把前边的教材题的变式和命题角度中的中考题,适时地安排给学生练习,这样更有利于培养学生的计算能力,也突出了以学生为主体、以训练为主线.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
反思,更进一步提升.
九年级数学下正弦、余弦(2)教学案
一般给学生们上课之前,老师就早早地准备好了教案课件,大家都在十分严谨的想教案课件。只有规划好教案课件计划,新的工作才会更顺利!你们清楚有哪些教案课件范文呢?小编收集并整理了“九年级数学下正弦、余弦(2)教学案”,供大家借鉴和使用,希望大家分享!
南沙初中初三数学教学案
教学内容:7.2正弦、余弦(2)
课型:新授课学生姓名:________
学习目标:
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算;
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
教学过程:
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5.则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____;sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____.
2、比较上述中,sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式,你有什么发现?________________________________________________________________。
3、练习:
①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=,则BC=_____。
②在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
③如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=,则AB=_____。
④在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=12,则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝,风筝线与水平线成35°角时,小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成一条线段,长95m,求风筝此时的高度。(精确到1m)
(参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶(如图),已知木板长为4m,车厢到地面的距离为1.4m。
(1)你能求出木板与地面的夹角吗?
(2)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。(精确到0.1m)
(参考数据:sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739)
三、小试牛刀
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面,已知滑梯的倾斜角为40°,求滑梯的高度。(参考数据:sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660,tan40°≈0.8391)(精确到0.1m)
2、一把梯子靠在一堵墙上,若梯子与地面的夹角是68°,而梯子底部离墙脚1.5m,求梯子的长度(精确到0.1m)(参考数据:sin68°≈0.9272,cos68°≈0.3746,tan68°≈2.475)
3、为了测量河的宽度,在河的一边选定点C,使它正对着(视线与河岸垂直)河对岸的一棵树B,沿着点C所在的河岸行走100m,到达A处,测得∠CAB=35°,求河的宽度BC。(参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)(精确到0.1m)
4、如图是引拉线固定电线杆的示意图,已知:CD⊥AB,CD=3m,∠CAD=∠CBD=60°,求拉线AC的长。(精确到0.1m)(参考数据:sin60°≈0.8660,cos60°≈0.5000,tan60°≈1.732)
四、小结
五、课堂作业(见作业纸63)
南沙初中初三数学课堂作业(54)
班级__________姓名___________学号_________得分_________
1、已知α是锐角,且sinα=cos54°26,则α=____________。
2、已知α是锐角,且sin(90°-α)=sinα,则α=____________。
3、在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,且a:b:c=3:4:5,则sinA+sinB=_________。
4、(09内蒙包头)已知在中,,则的值为()
A.B.C.D.
5、(09清远)如图,是的直径,弦于点,
连结,若,,则=()
A.B.C.D.
6、已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CD=8cm,AC=10cm,求AB,BD的长。
7、在Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
8、在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,且∠ADC=50°,AD=2,求tanB的值。(精确到0.01m)(参考数据:sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°≈1.1918)
课后探究:
1、(09年广州)已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为65πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图)所示),则sinθ的值为()
(A)(B)(C)(D)
2、(09包头)已知在中,,则的值为()
A.B.C.D.
3、(09衡阳市)如图,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,,则下列结论中正确的个数为()
①DE=3cm;②EB=1cm;③.
A.3个B.2个C.1个D.0个
4、(09济南)如图,是放置在正方形网格中的一个角,则的值是.
5、(09白银市)如图,在△ABC中,,cosB.如果⊙O的半径为cm,且经过点B.C,那么线段AO=cm.
6、根据下列条件,求锐角A、B的正弦、余弦、正切值。
7、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC。求:(1)cosA;(2)当AB=4时,求BC的长。
8、等腰三角形周长为16,一边长为6,求底角的余弦值。
9、在△ABC中,∠C=90°,cosB=,AC=10,求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
九年级下册数学知识点整理:正弦余弦
每个老师上课需要准备的东西是教案课件,规划教案课件的时刻悄悄来临了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了,接下来的工作才会更顺利!你们了解多少教案课件范文呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“九年级下册数学知识点整理:正弦余弦”,希望对您的工作和生活有所帮助。
九年级下册数学知识点整理:正弦余弦
正弦定理的应用领域
在解三角形中,有以下的应用领域:
(1)已知三角形的两角与一边,解三角形
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形
(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦
正弦定理
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)
其次,余弦的应用领域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;
在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
(3)相关结论:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)
(4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
正弦、余弦典型例题
1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA的值为
2.已知α为锐角,且,则α的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A为锐角,且,则A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点,EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解题诀窍
1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理
2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理
3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用,只需要知道最大角的余弦值为正,为负,还是为零,就可以确定是钝角。直角还是锐角。