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高中函数的应用教案

发表时间:2021-08-17

二次函数在高中阶段的应用范围。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责,教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,减轻教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“二次函数在高中阶段的应用范围”,仅供参考,大家一起来看看吧。

在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1)

这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x)

这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。

令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性,最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

类型Ⅳ设?(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出 y=g(t)的图象

解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=?(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=?(t+1)=t2-2

t2-2, (t

g(t)= -2,(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维:

类型Ⅴ:设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x1,x2满足0(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X(x)(Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0

解题思路:

本题要证明的是x(x),?(x)(Ⅰ)先证明x(x),令?(x)=?(x)-x,因为x1,x2是方程?(x)-x=0的根,?(x)=ax2+bx+c,所以能?(x)=a(x-x1)(x-x2)

因为00,又a>0,因此?(x) >0,即?(x)-x>0.至此,证得x(x)

根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0<x1<x2?(0),所以当x∈(0,x1)时?(x)(x1)=x1,

即x(x)(Ⅱ) ∵?(x)=ax2+bx+c=a(x+-b2a )2+(c- ),(a>0)

函数?(x)的图象的对称轴为直线x=- b2a ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a ,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a ,∵x2-1a

∴x0=-b2a =12 (x1+x2-1a )二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

扩展阅读

二次函数的图象


普通高中课程标准实验教科书[北师版]–必修1
第二章函数
§2.4.1二次函数的图象(学案)
[学习目标]
1、知识与技能
(1)通过绘制二次函数图象,观察二次函数图象的特征;
(2)通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数和以及
的图象之间的关系和变换特征.
(3)利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识.
2、过程与方法
(1)通过学习二次函数的图象,借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换
规律,完成从直观到抽象的转变.
(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质.
3、情感.态度与价值观
通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性,增强学习函数的积极性和自信心.
[学习重点]:二次函数图象的变换.
[学习难点]:二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论.
[学习用具]:直尺、多媒体和画图纸
[学习方法]:观察、思考、交流、总结.
[学习过程]
【新课导入】
[互动过程1]
我们初中学习过二次函数的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?
练习1.回答二次抛物线(1)的对称轴方程_________和顶点坐标__________;
(2)的对称轴方程_______和顶点坐标________.
[提出问题]
1.和的图象之间有什么关系?
2.和的图象之间有什么关系?
3.和的图象之间有什么关系?
这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题:
2.4.1二次函数的图象
1.请同学们列表画出函数和的图像
x…-3-2-10123…
…9410149…
…188202818…
[互动过程2]
从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系?
从表中我们不难发现,要得到的值,只要把相应的的值扩大____倍即可,在图像上
则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC的长度,得到当
时,对应的值.同理,其余的x的值对应的的值,都_____为原来的___倍,就可以得到的图像了.请你用类似的方法画出和的图像.
思考:(1)和的图像与和的图像之间有什么关系?
(2)二次函数与的图像之间有什么关系?请你总结出规律.
规律:二次函数的图像可以由的图像变化得到,横坐标
____________,纵坐标__________________到原来的_____________倍.
(3)二次函数中起什么作用?
从图上可以看出,a决定了图像的_________和__________________________.
[互动过程3]
请画出与的图像,并回答下列问题:
1.抛物线与的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢?开口大小与谁有关呢?
2.与的图像有什么关系?
抛物线的顶点为____________开口向_________,
对称轴为____________,的顶点是_________,
开口向________,对称轴为______________.
从图上可以看出只要把向_________平移__________个
单位长度,再向__________平移___________个单位长度就
可以得到的图像.,它们的形状相同,位置不同.
[互动过程4]
1.你能说出由函数的图像怎样得到函数
的图像吗?
2.如果把函数向右平移2个单位,再向上平移3个
单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.
3.思考:对于二次函数,的作用是什么?和分别代表什么含义?
结论:一般地,二次函数,决定了二次函数图像的_________及___________;决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.
4.思考:对于一个一般函数的图像与函数的图像之间的关系怎样?
你能由函数的图像得到函数的图像吗?
[互动过程5]
1.你能写出函数的顶点坐标吗?有哪些方法?请你把方程改写为
的形式吗?你能说出函数的图象是由的怎样进行平移的吗?
2.请举出一例形如的函数改写为形式的
函数吗?试试看.
3.你能写出函数的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式
的形式.并说明函数的图象是怎样由的图象变来的.
变化规律为:=_________________________,即把函数的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.
4.二次函数中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函
数图像位置的参数是什么?
5.写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.

例1.二次函数和的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数的解析式和图像的顶点,写出函数的解析式.
(1)函数,的顶点为(4,-7);
(2)函数,的顶点为(-3,2)

练习:1.画出函数的图像,并由此图像得到函数的图像.

练习:2.不画函数的图像,你能说出由函数的图像怎样得到函数的图像吗?

练习:3.画出函数的图像,怎样得到函数的图像?.

练习:4.画出函数的图像,你能由函数的图像,得到函数的图像吗?

[解决的问题]:
1.
2
3.
4.
〖课后练习〗P44练习1,2,3.
〖课后作业〗P46习题1,2,3

二次函数的性质与图像


每个老师上课需要准备的东西是教案课件,大家静下心来写教案课件了。需要我们认真规划教案课件工作计划,才能对工作更加有帮助!你们到底知道多少优秀的教案课件呢?为满足您的需求,小编特地编辑了“二次函数的性质与图像”,仅供参考,欢迎大家阅读。

二次函数的性质与图像(第2课时)
一学习目标:1、掌握二次函数的图象及性质;
2、会用二次函数的图象与性质解决问题;
学习重点:二次函数的性质;
学习难点:二次函数的性质与图像的应用;
二知识点回顾:
函数的性质
函数函数

图象a0a0
性质
三典型例题:
例1:已知是二次函数,求m的值

例2:(1)已知函数在区间上为增函数,求a的范围;
(2)知函数的单调区间是,求a;

例3:求二次函数在区间[0,3]上的最大值和最小值;

变式:(1)已知在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。

(2)已知在区间[0,1]内有最大值-5,求a。
(3)已知,a0,求的最值。

四、限时训练:
1、如果函数在区间上是增函数,那么实数a的取值
范围为B
A、a≤-2B、a≥-2C、a≤-6D、B、a≥-6
2、函数的定义域为[0,m],值域为[,-4],则m的取值范围是
A、B、C、D、
3、定义域为R的二次函数,其对称轴为y轴,且在上为减函数,则下列不等式成立的是
A、B、
C、D、
4、已知函数在[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
A、B、C、D、
5、函数,当时是减函数,当时是增函数,则
f(2)=
6、已知函数,有下列命题:
①为偶函数②的图像与y轴交点的纵坐标为3
③在上为增函数④有最大值4
7、已知在区间[0,1]上的最大值为2,求a的值。

8、已知在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。

9、已知函数,求a的取值范围使在[-5,5]上是单调函数。

10、设函数,当时≥a恒成立,求a的取值范围。

二次函数性质的再研究


§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
(一)内容:二次函数性质的再研究。
(二)解析:二次函数问题多以解答题的一个部分出现,主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或(动轴定区间)问题是高考考查的热点也是难点,学本节时应加强练习,并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析:
(一)教学目标
(1)掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用;
(二)解析
(1)二次函数是一重要的函数,掌握好二次函数,对学生学习以后的函数有重要的启发作用,学习时,要特别注意其性质的把握,这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围,超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时,不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域,这一点对初学者来说,是很容易犯错的。
四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中,准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003,有利于提供准确、最核心的文字信息,有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路,节省老师板书时间,让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
(一)研探新知:
(1)1.二次函数的性质

图像
开口方向①②
顶点坐标③④
对称轴

单调区间单调递减区间
⑤调递增区间单调递增区间
⑥单调递减区间
最值当,取得最小值为
当,取得最大值为

2.二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点,则可设成这种形式.
②交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x轴的交点坐标,则可设成这种形式.
③一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标,可设为这种形式.
(二)类型题探究
题型一二次函数的最值与解析式问题
例1已知,函数、表示函数在区间上的最小值,最大值,求、表达式.
解析:由,知图像关于对称,结合图像知,
当,即时,;
而当,即时,;
当,即时,.
∴.
当,即时,;
当,即时,.
∴.
题型二二次函数的实际应用问题
例2某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解析:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为:,所以这时租出了88辆车;
(2)设每辆车的月租金定为元,则租赁公司的月收益为:

整理得:,
所以,当时,取最大值,其最大值为,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元.

设计意图:通过以上问题的探讨,使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三)小结:
六、目标检测
一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么()
A.f(2)>f(3)B.f(2)<f(3)
C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定
1.C解析:函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关,结合对称轴的位置即可得到答案.
2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根,则a的范围是()
A.B.C.D.
2.C解析:方程△=4-4a0,设两根为,则.∵异号,∴,结合两个不等式可得解.
3.函数是单调函数,则()
A.B.C.D.
3.A解析:函数的对称轴,∴函数)是单调函数,
4.二次函数,若,则等于()
A.B.C.D.

4.D解析:二次函数对称轴,顶点坐标,所以=
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈Z)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7解析:首先根据条件求出y=-(x-6)2+11,本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差.
6.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是_____
6.a≤-3解析:利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为10,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤-3
三、解答题
7.(1)求函数(x∈N)的最小值.
(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.
(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.
7.解析:(1)因为,又因为∈N,所以当=1或=2时函数值都等于-9且最小.
(2)该函数的对称轴为x=,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为10,所以在上该函数为增函数,所以当=2时,函数值最小,最小值为-9,当=3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为,当时,,当时,,所以该函数的最大值为.
8.已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.
8.解析:解法一:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由条件,可得抛物线的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得解得
∴所求二次函数解析式为y=x2-x+.
解法二:∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7),解得a=.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-7),即y=x2-x+.
解法三:∵抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3.
将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.
∴二次函数解析式为y=(x-4)2-3,即y=x2-x+.
高考能力演练
9.若函数f(x)=x2+ax+b与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)的单调性

A.在(-∞,2]上减少,在[2,+∞)上增加B.在(-∞,3)上增加
C.在[1,3]上增加D.不能确定
9.A解析:由已知可得该函数的对称轴为,又二次项系数为10,所以在(-∞,2]上为单调递减函数,在[2,+∞)上为单调递增函数.
10.已知函数,且对任意的实数都有成立
(1)求实数的值;(2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性.
10.解析:(1),所以该函数的对称轴为,
根据函数解析式可知,所以.
(2)由(1)可知,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设,则
,,,
即,故函数在区间上的增函数
11.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+1,x∈[0,1],若g(a)为f(x)的最小值.
(1)求g(a);(2)当g(a)=5时,求a的值.
11.解析:f(x)=(x-a)2+1,
(1)当0≤a≤1时,g(a)=f(a)=1;
当a0时,g(a)=f(0)=a2+1;当a1时,g(a)=f(1)=a2-2a+2.
∴g(a)=
(2)令a=-2.令a=3.∴或时,

二次函数与一元二次方程


俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境,帮助教师营造一个良好的教学氛围。教案的内容具体要怎样写呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《二次函数与一元二次方程》,供大家借鉴和使用,希望大家分享!

总课题函数与方程分课时第1课时总课时总第37课时
分课题二次函数与一元二次方程课型新授课
教学目标会用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的情况。弄清二次函数的零点与方程根的关系。渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
重点函数与方程的关系。
难点数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
一、复习引入
问题1、不解方程如何判断一元二次方程解的情况。
问题2、画出二次函数的图象,观察图象,指出取哪些值时,。
二、建构数学
1、探究函数与方程图象之间的关系,填表:
Δ=
Δ
Δ
Δ

的根
的图象

的零点
2、零点:对于函数,我们把使的实数x叫做的零点;
有实数根的图象与轴有交点有零点。
三、例题分析
例1、(如图)是一个二次函数图象的一部分,(1)的零点为。
(2)。

例2、求证:一元二次方程有两个不相等的实数根(用两种方法证)。

例3、(1)在区间上是否存在零点?
(2)在区间、上是否存在零点?

观察:值的符号特点;、值的符号特点。
结论:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且,那么函数在区间内有零点。(即存在,使得.这个也就是方程的根。)
思考:
(1)若在上是单调函数,且,则在上的零点情况如何?
(2)若是二次函数的零点,且,那么一定成立吗?
四、随堂练习
1、分别指出下列各图象对应的二次函数中与0的大小关系:
(1)(2)(1)______0,_____0,______0,______0
(2)______0,_____0,______0,______0

2、判断函数在区间上是否存在零点。
3、证明:(1)函数有两个不同的零点;
(2)函数在区间(0,1)上有零点。

五、回顾小结
1、函数与方程的关系。
课后作业
班级:高一()班姓名__________
一、基础题
1、若二次函数的两个零点分别是2和3,则,的值分别是()
A、B、C、D、
2、函数的零点个数是()
ABCD
3、若一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是。
4、已知函数在区间[,]上的最小值大于0,则该函数的零点个数有个。
5、若二次函数的图象与轴有公共点,则。
6、设二次函数的两个零点分别为和,则。(填>,<)。
7、函数的图象如图所示。
(1)写出方程的根;
(2)求,,的值。

8、二次函数的图象交轴于两点,交轴于点,求的面积。

9、已知二次函数满足且最小值为,求的表达式。

二、提高题
10、求证:方程没有实数根(用两种方法证)。
11、若方程方程的一个根在区间(,)内,另一个在区间(,)内,求实数的取值范围。

三、提高题
12、当为何值时,方程在区间(,)内有实数解?