初三数学开放与探索总复习。
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在细心筹备教案课件中。我们制定教案课件工作计划，才能在以后有序的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编为大家整理的“初三数学开放与探索总复习”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
专题三开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．题型以填空题、解答题为主．
考向一条件开放问题
条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．
【例1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．
解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任选其中一个)
方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．
考向二结论开放问题
结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．
【例2】(2011广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果)
(2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．
(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)
图1图2
分析：(1)设等边△APC边长为x，高为32x，则面积为34x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为32(2a－x)，则面积为34(2a－x)2，
面积之和为S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题．
当x＝a时，S最小＝32a2.
(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC．
(3)根据(2)证明过程或直观可得结论．
解：(1)a
(2)α的大小不会随点P的移动而变化．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.
方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．
考向三条件与结论开放问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．
【例3】(1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
图1图2
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)
分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在边AB上截取AE＝MC，连接ME.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．
一、选择题
1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有()
A．4个B．6个C．7个D．9个
2．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象(如图2)，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ.则以下结论
①x＜0时，y＝2x，
②△OPQ的面积为定值，
③x＞0时，y随x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
图1图2
其中正确的结论是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空题
3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)
4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)
三、解答题
5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°α120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.
图1图2备用图
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．
(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．
6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.
(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；
(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
图1图2
7．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
8．已知：二次函数y＝x2＋bx－3的图象经过点P(－2,5)．
(1)求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围．
(2)设点P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在这个二次函数的图象上．
①当m＝4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．
②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
参考答案
专题提升演练
1．C以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.
2．B根据图中所示程序，可得y与x的函数关系式为y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①错误；∵PQ∥x轴，∴点P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正确；当x＞0时，y＝4x，y随x的增大而减小，∴③错误；设OM＝a，当y＝a时，P点的横坐标为－2a，Q点的横坐标为4a，则PM＝2a，MQ＝4a，则MQ＝2PM，∴④正确；当点M在y轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正确．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可)由已知条件AB＝DC，AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．
4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等由于这个方程有实数根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有两种情况，(1)CG为底，AC＝AG时，得AG＝9，此时CG等于92，(2)CG为腰，CG＝AG时，此时CG＝922.
7．解：(1)证明：由折叠可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四边形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
设AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一负值舍去)．
∴△ABF的周长为24cm.
(3)存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意．
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把点P代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函数解析式为y＝x2－2x－3.
当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，
所以当1＜x≤3时，y的取值范围为－4＜y≤0.
(2)①m＝4时，y1，y2，y3的值分别为5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，由图象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分别为m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，当m不小于5时成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长．
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初三数学概率初步总复习
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第30讲概率初步
考标要求考查角度
1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件．
2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率．
3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率，题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.
知识梳理
一、事件的有关概念
1．必然事件
在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件
在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．
3．随机事件
在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．
4．分类
事件确定事件必然事件不可能事件随机事件
二、用列举法求概率
1．定义
在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．
2．适用条件
(1)可能出现的结果为__________多个；
(2)各种结果发生的可能性__________．
3．求法
(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．
三、利用频率估计概率
1．适用条件
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
自主测试
1．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是()
A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
2．(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为()
A．23B．12C．13D．1
3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．
4．有长度分别为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．
5．(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．
(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？
(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．
考点一、事件的分类
【例1】下列事件属于必然事件的是()
A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾B．明天我市最高气温为56℃
C．中秋节晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹
解析：区分事件发生的可能性，应注意积累生活经验和一些基本常识，然后再予以判断．
答案：A
方法总结如何判断事件发生的可能性，我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经验，或者经过严谨的推理得到事实等．
触类旁通1下列事件中，为必然事件的是()
A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告
C．抛掷一枚硬币，正面向上D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
考点二、用列举法求概率
【例2】(2012湖南张家界)第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．
(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；
(3)求张家界会展区被选中的概率．
分析：根据题意列表或画树状图，求出所有可能出现的结果，再根据每种事件出现的次数，求出对应的概率．
解：(1)用列表法：
或画树状图：
(2)由(1)知，共有12种等可能的结果，第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区(记为事件A)有一种可能结果，则P(A)＝112.
(3)所有等可能结果中，出现张家界会展区的有6种可能结果，记张家界会展区被选中为事件B，则P(B)＝612＝12.
方法总结1.用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝mn计算．
2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．
触类旁通2甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
考点三、频率与概率
【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：
朝上的点数123456
出现的次数171315232012
(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；
(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？
解：(1)“4点朝上”出现的频率是23100＝0.23.
“5点朝上”出现的频率是20100＝0.20.
(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
方法总结在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
触类旁通3某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数50100200500100030005000
发芽种子粒数459218445891427324556
发芽频率
(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．
考点四、概率的应用
【例4】(2011云南昆明)小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1,2,3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果．
(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜；两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜．这个游戏公平吗？为什么？
解：(1)列表如下：
123
1(1,1)(1,2)(1,3)
2(2,1)(2,2)(2,3)
3(3,1)(3,2)(3,3)
或画树状图如下：
(2)可能出现的数字之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6共9个，它们出现的可能性相同．其中奇数共4个，偶数共5个．
∴P(小昆获胜)＝49，P(小明获胜)＝59.
∵49≠59，∴游戏不公平．
方法总结游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．
触类旁通4(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为()
A．14B．12C．34D．1
(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是()
A．19B．13C．23D．29
1．(2012湖南张家界)下列不是必然事件的是()
A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．三角形任意两边之和大于第三边
C．面积相等的两个三角形全等D．三角形内心到三边距离相等
2．(2012湖南湘潭)“湘潭是我家，爱护靠大家．”自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为()
A．13B．23C．49D．59
3．(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．
4．(2012湖南娄底)在－1,0，13，1，2，3中任取一个数，取到无理数的概率是__________．
5．(2012湖南怀化)投掷一枚普通的正方体骰子24次，
(1)你认为下列四种说法哪几种是正确的？
①出现1点的概率等于出现3点的概率；
②投掷24次，2点一定会出现4次；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；
④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37.
(2)求出现5点的概率．
(3)出现6点大约有多少次？
1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是()
A．12B．13C．14D．16
2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为()
A．2B．4C．12D．16
3．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法错误的是()
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．在x22xyy2的空格中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是()
A．1B．34C．12D．14
5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)
6．从－2，－1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．
7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)
8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．
参考答案
【知识梳理】
一、1.一定会2.一定不会3.发生不发生
二、1.大小
2．(1)有限(2)相等
3．(1)列表画树状图
三、2.常数常数
导学必备知识
自主测试
1．D摸到红球是随机事件，故选项A错误；
摸到白球是随机事件，故选项B错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误；
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D正确．
2．A因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝23.
3．600
4.14因为长度为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四种情况，而能组成三角形的有2,3,4，共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是14.
5．解：(1)P(白子)＝14.
(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：
∴P(一黑一白)＝612＝12.
方法二：所有等可能的结果，列表如下.
∴P(一黑一白)＝612＝12.
探究考点方法
触类旁通1.D
触类旁通2.解：(1)列表法如下：
甲乙丙丁
甲乙甲丙甲丁甲
乙甲乙丙乙丁乙
丙甲丙乙丙丁丙
丁甲丁乙丁丙丁
所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P＝212＝16.
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙的情况有一种，所以P(恰好选中乙同学)＝13.
触类旁通3.解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.
(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.
触类旁通4.(1)B在四个图案中，是中心对称图形的图案有2个，所以正面图案是中心对称图形的概率为12.
(2)A列树形图可知共有9种等可能的结果，所以上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是19.
品鉴经典考题
1．C2．D1－13＋19＝59.3．随机
4.13这六个数中，无理数有2，3，∴取到无理数的概率是26＝13.
5．解：(1)①④正确；
(2)出现5点的概率为16；
(3)因为出现6点的概率为16，故投掷骰子24次出现6点大约有24×16＝4(次)．
研习预测试题
1．D2.B3.A4.C5.236.137.＞
8．解：(1)∵P(小明胜)＝35，P(妹妹胜)＝25，
∴P(小明胜)≠P(妹妹胜)．
∴这个办法不公平．
(2)当x＞3时对小明有利，当x＜3时对妹妹有利，
当x＝3时是公平的．
初三数学数据的收集、整理与描述总复习
每个老师在上课前需要规划好教案课件，是时候写教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们会写适合教案课件的范文吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“初三数学数据的收集、整理与描述总复习”，仅供参考，大家一起来看看吧。
第28讲数据的收集、整理与描述
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.了解总体、个体样本和样本容量等与统计有关的概念，体会抽样的必要性，了解简单随机抽样．
2．熟悉几种常见统计图表的应用，并会借助统计图表直观、有效地描述数据．
3．掌握一些常见的统计方法.扇形、条形、折线统计图以及频数分布直方图是中考考查的重点．借助这些统计图获取信息，然后再应用到具体问题中是考查的热点．试题由仅考查知识变为整理、分析和处理数据，由单一填空题、选择题变为综合性的应用题.
[导学必备知识]
知识梳理
一、普查与抽样调查
1．有关概念
(1)普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查．
(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取
当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取
(1)抽样调查的样本要有__________；
(2)抽样调查的样本数目要__________．
二、总体、个体、样本及样本容量
1．总体
所要考察对象的__________叫做总体．
2．个体
总体中的__________考察对象叫做个体．
3．样本
从总体中抽取的部分__________叫做样本．
4．样本容量
样本中个体的__________叫做样本容量．
三、几种常见的统计图表
1．条形统计图
条形统计图就是用__________的高来表示数据的图形．
它的特点是：(1)能够显示每组中的具体__________；(2)易于比较数据之间的__________．
2．折线统计图
用几条线段连成的__________来表示数据的图形．
它的特点是：易于显示数据的__________．
3．扇形统计图
(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占__________的大小，这样的统计图叫做扇形统计图．
(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的__________的度数与360°的比．
(3)扇形的圆心角＝360°×百分比．
(4)扇形统计图的制作步骤
①数据的采集，即各部分数据的收集；②数据的整理，即计算出各部分的总和，再计算各部分所占的百分比；③作图，即根据百分比计算出各部分对应圆心角的大小(将百分比乘360°)，再用量角器画出各个扇形；④标上各部分的名称和它所占的百分比．
四、频数分布直方图
1．每个对象出现的__________叫做频数．
2．每个对象出现的__________与__________的比(或者百分比)叫做频率，__________和__________都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3．频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4．频数分布直方图的绘制步骤：(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；(4)列频数分布表；(5)用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
自主测试
1．(2012重庆)下列调查中，适宜采用全面调查(普查)方式的是()
A．调查市场上老酸奶的质量情况
B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品
D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率
2．(2012浙江杭州)如图是杭州市区人口的统计图．则根据统计图得出的下列判断，正确的是()
杭州市区人口统计图
A．其中有3个区的人口数都低于40万
B．只有1个区的人口数超过百万
C．上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数
D．杭州市区的人口数已超过600万
3．(2012山东济宁)空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()
A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图
4．(2012浙江温州)赵老师想了解本校“生活中的数学知识”大赛的成绩分布情况，随机抽取了100份试卷的成绩(满分为120分，成绩为整数)，绘制成下图所示的统计图．由图可知，成绩不低于90分的共有__________人．
100份“生活中的数学知识”
大赛试卷的成绩频数分布直方图
[探究重难方法]
考点一、调查方式的选择
【例1】下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是()
A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间
B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率
C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量
D．调查广州亚运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况
解析：A选项中调查的对象太多，适宜采用抽样调查；B选项中调查的对象是一个班的学生，适宜采用普查的方式；C选项中调查的对象性质特殊，也适宜采用普查的方式；D选项调查的目的要求对象一个不缺，也适宜采用普查的方式．
答案：A
方法总结统计学中存在两种调查方式：普查和抽样调查．由于普查耗时、耗力，有时甚至具有破坏性，而放弃普查，采用抽样调查去估计总体．分析时要具体情况具体分析，了解实际问题中的总体、个体、样本，然后确定适合的调查方式．抽样调查时，应注意样本具有广泛性、代表性、随机性．
触类旁通1下列调查，适合用普查方式的是()
A．了解贵阳市居民的年人均消费
B．了解某一天离开贵阳市的人口流量
C．了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视率
D．了解贵阳市某班学生对“创建全国卫生城市”的知晓率
考点二、统计图的应用
【例2】(2012湖南湘潭)为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学生就一学期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如下图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：
图1图2
(1)求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图；
(2)若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式(含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生)．
分析：(1)根据两种统计图提供的信息，可用“无所谓”的人数和它在扇形图中所占的比例求出被调查的八年级学生人数，从而求出“非常喜欢”的人数，再补全条形统计图；(2)用八年级总人数乘以支持“分组合作学习”所占的比例，可估算出该方式对应的人数．
解：(1)被调查的八年级学生的人数为6÷40360＝54，非常喜欢有54－18－6＝30(人)，补全条形统计图如下：
(2)180×200＋120360＝160(人)．
答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生大约有160人．
方法总结扇形统计图是反映各部分占的比例，条形统计图是反映各部分的具体数据，两个结合在一起就可求出总数．解决统计图表问题，要抓住它们的特点，从中找出有用信息，进行综合分析，作出合理预测和推断．
考点三、频数分布直方图
【例3】上海世博园开放后，前往参观的人非常多.5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10～20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min，其他类同．
时间分段/min频数/人频率
10～2080.200
20～3014a
30～40100.250
40～50b0.125
50～6030.075
合计c1.000
(1)这里采用的调查方式是__________；
(2)求表中a，b，c的值，并请补全频数分布直方图；
(3)在调查人数里，等候时间少于40min的有__________人；
(4)此次调查中，中位数所在的时间段是__________～__________min.
分析：(1)调查方式分为普查和抽样调查两类，本题采用抽样调查；(2)根据表格可以得出抽样的总人数为c＝8÷0.2＝40(人)，因此b＝40×0.125＝5；a＝14÷40＝0.350；(3)等候时间少于40min的有8＋14＋10＝32(人)；(4)中位数是处于中间位置的数，是第20与21两数的平均数：在时间段20～30之间．
解：(1)抽样调查
(2)a＝0.350，b＝5，c＝40，频数分布直方图如图．
(3)32(4)2030
方法总结频数分布直方图中常用到的结论：
(1)频数＝频率×数据总数；
(2)各小组频率之和为1，各小组频数之和等于数据总数；
(3)频数分布直方图中小长方形的高之比等于频数之比，也是频率之比．
触类旁通2某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为()
A．0.1B．0.17C．0.33D．0.4
[品鉴经典考题]
1．(2012湖南郴州)为了解某校2000名师生对我市“三创”工作(创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市)的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是()
A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况
B．从中抽取的100名师生
C．从中抽取的100名师生对“三创”工作的知晓情况
D．100
2．(2012湖南张家界)某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为()
A．20000元B．12500元C．15500元D．17500元
3．(2012湖南长沙)某班数学科代表小华对本班上学期期末考试数学成绩(成绩取整数，满分为100分)作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
分组49.5～59．559.5～69．569.5～79．579.5～89．589.5～100．5合计
频数2a2016450
频率0.040.160.400.32b1
根据上述信息，完成下列问题：
(1)频数、频率统计表中，a＝__________，b＝__________；
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？
4．(2012湖南常德)某市把中学生学习情绪的自我调控能力分为四个等级，即A级：自我调控能力很强；B级：自我调控能力较好；C级：自我调控能力一般；D级：自我调控能力较差．通过对该市农村中学的初级中学生学习情绪的自我调控能力的随机抽样调查，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
(1)在这次随机抽样调查中，共抽查了多少名学生？
(2)求自我调控能力为C级的学生人数；
(3)求扇形统计图中D级所占的圆心角的度数；
(4)请估计该市农村中学60000名初中学生中，学习情绪自我调控能力达B级以上等级的人数是多少？
5．(2012湖南娄底)学校为了调查学生对教学的满意度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“很满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查，共调查了多少名学生？
(2)将图甲中“B”部分的图形补充完整；
(3)如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对教学感到“不满意”的约有多少人？
[研习预测试题]
1．为了了解某市八年级学生的肺活量，从中抽样调查了500名学生的肺活量，这项调查中的样本是()
A．某市八年级学生的肺活量B．从中抽取的500名学生的肺活量
C．从中抽取的500名学生D．500
2．某校开展形式多样的“阳光体育”活动，七(3)班同学积极响应，全班参与．晶晶绘制了该班同学参加体育项目情况的扇形统计图，由图可知参加人数最多的体育项目是()
七(3)班同学参加体育项目情况的扇形统计图
A．排球B．乒乓球C．篮球D．跳绳
3．株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有()
A．100人B．500人C．6000人D．15000人
4．如图，反映的是某中学七(3)班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图(部分)和扇形统计图，则下列说法错误的是()
A．七(3)班外出步行的有8人
B．七(3)班外出的共有40人
C．在扇形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为82°
D．若该校七年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的约有150人
5．某乡镇举行歌咏比赛，组委会规定：任何一名参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后整理所有参赛选手的成绩如下表：
分数段频数频率
60≤x＜70300.15
70≤x＜80m0.45
80≤x＜9060n
90≤x＜100200.1
根据表中提供的信息得到n＝__________.
6．某县农民一直保持着冬种油菜的习惯，利用农闲冬种一季油菜．某县农业部门对2011年的油菜籽生产成本、市场价格、种植面积和产量等进行了调查统计，并绘制了如下统计表与统计图：
每亩生产成本每亩产量油菜籽市场价格种植面积
110元130千克3元/千克500000亩
油菜每亩生产成本统计图
请根据以上信息解答下列问题：
(1)种植油菜每亩的种子成本是多少元？
(2)农民冬种油菜每亩获利多少元？
(3)2011年该县全县农民冬种油菜的总获利多少元？(结果用科学记数法表示)
参考答案
【知识梳理】
一、3.(1)代表性(2)足够大
二、1.全体2.每一个3.个体4.数目
三、1.长方形(1)数据(2)差别
2．折线变化趋势
3．(1)百分比(2)圆心角
四、1.次数
2．次数总次数频数频率
导学必备知识
自主测试
1．CA．数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；
B．数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C．事关重大的调查往往选用普查；
D．数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查．
故选C.
2．DA．只有上城区人口数都低于40万，故此选项错误；
B．萧山区、余杭区两个区的人口超过100万，故此选项错误；
C．上城区与下城区的人口数之和低于江干区的人口数，故此选项错误；
D．杭州市区的人口数已超过600万，故此选项正确．
故选D.
3．A根据题意，得要求直观反映空气内组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
4．27因为100－4－26－43＝27(人)．
探究考点方法
触类旁通1.D
触类旁通2.D
品鉴经典考题
1．C
2．D50000×35%＝17500(元)．
3．解：(1)80.08
(2)频数分布直方图补充如下：
(3)25
4．解：(1)80÷16%＝500(名)；
(2)500×42%＝210(名)；
(3)360°×90500＝64.8°；
(4)60000×(16%＋24%)＝24000(名)．
5．解：(1)40÷20%＝200(名)，
∴共调查了200名学生．
(2)补充图形如下：
(3)1000×(1－50%－20%－25%)＝50(人)．
∴估计该校学生对教学感到“不满意”的约有50人．
研习预测试题
1．B2.C3.C4.C5.0.3
6．解：(1)1－10%－35%－45%＝10%；110×10%＝11(元)．
(2)130×3－110＝280(元)．
(3)280×500000＝140000000＝1.4×108(元)．
初三数学方案设计与决策专题总复习
专题六方案设计与决策
方案设计与决策在中考中是常见题型．涉及代数方面的有方程(组)、不等式(组)和函数两类；涉及几何方面的有测量、包装等．
考向一利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计
生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策．
【例1】(2011湖南永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．
(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
分析：(1)已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．可以设它们的单价分别为8x,3x,2x元，列一元一次方程来解决；(2)根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系，再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案．
解：(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．
(2)设购买篮球的数量为y个，则购买羽毛球拍的数量为4y副，购买乒乓球拍的数量为(80－y－4y)副，根据题意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3000，80－y－4y≤15，①②
由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.
于是，不等式组的解集为13≤y≤14，
因为y取整数，所以y只能取13或14.
因此，一共有两个方案：
方案一，当y＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；
方案二，当y＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．
方法归纳本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；
(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答．
需要说明的是利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策．
考向二利用二次函数进行方案设计
在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题．解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计．
【例2】(2011江津)在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示)，其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)
(1)试用含x的代数式表示y.
(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为w元，求w关于x的函数关系式．
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由．
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
分析：(1)根据圆周长列出关于x，y的等式；(2)①根据三个区域的面积和价格标准，列出关于x的函数关系式；②比较二次函数的最小值与1千万的大小，给出判断；③根据“建设刚好把政府投入的1千万与企业募捐资金64.82万元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根，根据长宽的要求进行取舍．
解：(1)由题意得πy＋πx＝628.
∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.
∴x＋y＝200.则y＝200－x.
(2)①w＝428xy＋400πy22＋400πx22＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－40000x＋12560000.
②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务，其理由如下：
由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，
所以不能．
③由题意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根据题意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.
整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合题意，舍去)．
∴只能取x＝79，则y＝200－79＝121.
∴设计的方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．
方法归纳利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当x＝－b2a时，y有最大(小)值4ac－b24a求得最值．最后要结合问题情境确定方案．注意有时确定最值时，需要考虑要在x的取值范围内．
考向三利用几何知识进行方案设计与决策
利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用．
【例3】某校数学研究性学习小组准备作测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图1.经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．
图1
(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；
(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？
分析：针对该问题所提供的情境知道：(1)旗杆垂直于地面；(2)旗杆AB顶端A垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部分可度量．因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨具体测量方案．
解：(1)测量方案设计如下：
①测量绳子比旗杆多出的部分BC＝am；
②把绳子ABC拉紧到地面D处如图2，测量B到D的距离BD＝bm.
图2
推算过程：设旗杆的高度为xm，则AD是(x＋a)m.
在直角△ABD中，根据AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝b2－a22a.
(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：
图3图4
方法归纳关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．
一、选择题
1．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密辅地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是()
2．现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须载满，其中A型客车最多租2辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有()
A．3种B．4种C．5种D．6种
二、填空题
3．某班为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有__________种购买方案．
4．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有__________．
三、解答题
5．某楼盘一楼是车库(暂不出售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款)．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)．
(1)请写出每平方米售价y(元/米2)与楼层x(2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式．
(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．
6．一块洗衣肥皂长、宽、高分别是16cm,6cm,3cm.一箱肥皂30条，请你为雕牌肥皂厂设计一种符合下列要求的包装箱，并使包装箱所用材料最少．
(1)肥皂装箱时，相同的面积要互相对接；
(2)包装箱是一个长方形；
(3)装入肥皂后不留空隙．
7．如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．
8．知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图)．
(1)实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6)，体积为0.3立方米．
①按方案1(如图)做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
(2)拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉(1)中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．
纸箱示意图纸箱展开图(方案1)
纸箱展开图(方案2)
备用图形
参考答案
专题提升演练
1．B正八边形的内角度数为135°，正三角形一个内角度数为60°，设密铺时，一个接缝点周围有m块正八边形，n块正三角形，则有135m＋60n＝360，通过试根，没有满足条件的正整数m，n的值使方程成立，因此A选项错误；依次类推，分别把60°换成90°，120°，经过试根，只有90°可以找到满足条件的正整数m，n的值使方程成立，因此，选B.
2．B因为A型车最多租用2辆，所以有两种情况，租用1辆A型车或租用2辆A型车，设租用B型车x辆，C型车y辆．①租用1辆A型车时，50＋30x＋10y＝150，其正整数解为x＝1，y＝7，x＝2，y＝4，x＝3，y＝1；②租用2辆A型车时，100＋30x＋10y＝150，其正整数解为x＝1，y＝2.
综上所述，共有4种情况．
3．2设购买甲、乙两种运动服分别为x套和y套(x，y为正整数)，
依题意，得20x＋35y＝365，
整理，得4x＋7y＝73.
y＝73－4x7＝11－4(x＋1)7≥1.
∵x，y为正整数，∴x＋1是7的倍数．
∴73－4x≥7，x＋1＝7k(k为正整数)，解得27≤k≤52，
∴整数k＝1或2，
∴x＝6，y＝7，或x＝13，y＝3.
4．6种从点A1出发，先向下走有三种走法，先向右走也有三种走法，共6种．
5．解：(1)1°当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－(8－x)×20＝20x＋2840(元/平方米)．
2°当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000＋(x－8)40＝40x＋2680(元/平方米)．
∴y＝20x＋2840(2≤x≤8)，40x＋2680(9≤x≤23)，x为正整数．
(2)由(1)知：
1°当2≤x≤8时，小张首付款为(20x＋2840)12030%＝36(20x＋2840)≤36(208＋2840)＝108000元＜120000元．
∴2～8层可任选．
2°当9≤x≤23时，小张首付款为(40x＋2680)12030%＝36(40x＋2680)元．
36(40x＋2680)≤120000，解得：x≤493＝1613.
∵x为正整数，∴9≤x≤16.
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y1＝(4016＋2680)12092%－60a(元)．
若按老王的想法则要交房款为：y2＝(4016＋2680)12091%(元)．
∵y1－y2＝3984－60a，
当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
6．解：方案一：以16×3的面相对连放三块构成底层，再如此放10层，整个表面积为最小值2616cm2；
方案二：以16×3的面相对连放五块构成底层，再如此放6层，整个表面积仍为最小值2616cm2.
7．解：答案不唯一．
(1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM，BM.
(2)第一步，在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；
第二步，在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ；
其中AN＝d＋BN，解得MN＝dtanαtanβtanβ－tanα.
8．解：(1)①设这个纸箱底面的长为x，则宽为0.6x.
∵x×0.6x×0.5＝0.3，
∴x2＝1，解得x＝1.
由图示可知，
＝[1＋2×(0.5＋0.5)]×[0.6＋2×(0.5＋0.3)]＝3×2.2＝6.6(平方米)．
②方案2优惠．由图示
可知，h1h1＋1＝0.30.3＋0.8，解得h1＝38.
h2h2＋0.8＝0.50.5＋1，解得h2＝25.
∴＝12×3＋2×38×2.2＋2×25＝12×308×3＝5.625(平方米)．
∵5.625平方米＜6.6平方米，
∴采用方案2优惠．
(2)设现在设计的纸箱的底面长为x米，宽为y米，
则x＋y＝0.8，xy＝0.3.
即y＝0.8－x和y＝0.3x，其图象如图所示．
因为两个函数图象无交点，所以要将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，水果商的这种要求不能办到．
