中考数学开放探索问题复习导学案。
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第5课开放探索问题
第一部分讲解部分
一、专题诠释
开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、考点精讲
（一）开放型问题
考点一：条件开放型：
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)
分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．
解：若四边形ABCD的对角线相等，
则由AB=DC，AD=BC可得．
△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，
所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，
所以四边形ABCD是矩形，
故答案为：对角线相等．
评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．
考点二：结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．
分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．
解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．
考点三：条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3：（2010玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．
分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．
解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，
∴在△ABE与△CDF中，
AB=CD，
∠EAB=∠FCD，
又∵DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DE=BF，
又AD=BC，
∴AD﹣DE=BC﹣BF，
即AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）
评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．
考点四：编制开放型：
此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．
例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．
解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？
设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得
1800x90%=1800x+4
解得x=36经检验x=36是原方程的根
∴x+4=40
答：1班人均捐36元，2班人均捐40元
解法二：求两个班人数各多少人？
设1班有x人，则根据题意得
1800x+4=180090x%
解得x=50，经检验x=50是原方程的根
∴90x%=45
答：1班有50人，2班有45人．
评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．
（二）探究型问题
考点五：动态探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．
例5：（2011临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．
分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；
（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；
（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
又∵ED=BE，
∴Rt△FED≌Rt△GEB，
∴EF=EG；
（2）成立．
证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，
则EH=EI，∠HEI=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，
∴∠IEF=∠GEH，
∴Rt△FEI≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴，
∴，即，
∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴，
∴．
评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
考点六：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．
例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．
分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比==2，再利用锐角三角函数的定义求值；
（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴即，
∴PC=2；
（2）tan∠PEF的值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴==2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴tan∠PEF的值不变；
（3）线段EF的中点经过的路线长为．
评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．
考点七：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
例7：（2011四川成都）设,,,…,
设，则S＝_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．
分析：由
，求，得出一般规律．
解：
故答案为：
评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
考点八：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q点坐标，Q到MB的距离应该等于P到MB的距离，所以Q点应该在经过P点且平行于BM的直线上，或者在这条直线关于BM对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q点；（3）设出R点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM与△RMB的面积，利用相等列出方程即可求出R点坐标．
解：（1）
（2）∵∴P（1，4）
BC：，M（1，2）P（1，4）；PB：，
当PQ∥BC时：
设PQ1：
∵P（1，4）在直线PQ上；
∴PQ1：
解得，
∴：（2，3）；
将PQ向下平移4个单位得到
解得，
∴：（，）；：（，）
（3）存在，设R的坐标为（，）
∵P（1，4），M（1，2）
∴
∵解得，（舍）
∴当时，
∴R（，2）
评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．
四、真题演练
1．（2011山东潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________(写出一个即可)
2．（2011山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：___________
_______________________，可使它成为矩形．
3．（2011泰州）“一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0≤x≤5）．”
王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：（只需写出1个）．
3．（
4．（2011广西百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．
第二部分练习部分
1．（2011贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．
分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
解答：解：
2．（2011湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．
分析：
解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．
∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，
∵BC：EF=2：1．
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：．
3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)
4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1_______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是_______（只需写出一个）
5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．
（1）添加的条件是；
（2）证明：
6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：
命题1．点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点;
命题2．点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点;
命题3．点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点;
……．
（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);
（2）证明你猜想的命题n是正确的．
7．（2011德州）●观察计算
当a=5，b=3时，与的大小关系是＞．
当a=4，b=4时，与的大小关系是=．
●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：≥．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答題目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
★“真题演练”参考答案★
1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
【答案】符合题意的函数解析式可以是y=，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）
故答案为：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．
2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．
【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）
3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0≤x≤5）可以得到：
当x=1时，弹簧总长为10.5cm，
当x=2时，弹簧总长为11cm，…
∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm，
故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm．
4．解：（1）选择①DM=CN；
（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN
∴△AND≌△BCN，
∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，
∴
∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB
∴四边形ABNM是等腰梯形．
★“练习部分”参考答案★
1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x（答案不唯一）．
【答案】故答案为：y=﹣x（答案不唯一）．
2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．
【答案】BC：EF=2：1
3．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝≥0，即m2≥12．
【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等
4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF，则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可，答案不唯一．
【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角
故填：不是．
添加AC=FD或∠BAC=∠FED后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△DEF，
故答案为：AC=FD，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB=AD，答案不唯一；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D，
AB=AD，
∠A=∠A，
∴△ABC≌△ADE．
6．(1)命题n；点(n,n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点(是正整数)．
(2)把代入y=nx，左边=n2，右边=nn=n2，
∵左边=右边，∴点(n，n2)在直线上．
同理可证：点(n，n2)在双曲线上，
∴点(n，n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确．
7．解：●观察计算：＞，=．
●探究证明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC，
∴OC=.
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∴△ACD∽△CBD．（4分）
∴．
即CD2=ADBD=ab，
∴CD=．（5分）
（2）当a=b时，OC=CD，=；
a≠b时，OC＞CD，＞．
●结论归纳：≥．
●实践应用
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则=4.
当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小．
此时四边形为正方形时，周长最小为4米．
8．解：（1）故答案为：=．
（2）故答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（3）答：CD的长是1或3．
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中考二轮专题复习：第4课时规律探索性问题
第一部分讲解部分
一．专题诠释
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲
规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲
考点一：数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1.有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为．
分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．
解答：解：
；
；
；
；
；…；
∴第n（n为正整数）个数为．
点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．
例2（2010广东汕头）阅读下列材料：
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
1．1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11（写出过程）；
2．1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝______________；
3．1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋＋7×8×9＝______________．
分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式
；照此方法，同样有公式：
．
解：（1）∵1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，…
10×11＝(10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）．（3）1260．
点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．
例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：
已知用“”或“”填空
5+23+1
-3-1-5-2
1-24+1
一般地，如果那么a+cb+d．（用“”或“”填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
解答：＞，＞，＜，＞；
证明：∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．
又∵c＞d，∴b＋c＞b＋d，
∴a＋c＞b＋d．
点评：本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力．区分度较好．
考点二：点阵变化规律
在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
例1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（）
A．29B．30C．31D．32
分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。
解答：解：设前n行的点数和为s．
则s=2+4+6+…+2n==n（n+1）．
若s=930，则n（n+1）=930．
∴（n+31）（n﹣30）=0．
∴n=﹣31或30．故选B．
点评：主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力．
例2观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）
A.3n﹣2B.3n﹣1C.4n+1D.4n﹣3
考点：规律型：图形的变化类。
专题：规律型。
分析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．
解答：解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．故选D．
点评：此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算．
考点三：循环排列规律
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。
例1：（2007广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（）
A．B．C．D．
考点：规律型：图形的变化类．
专题：规律型．
分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2007被4整除后余数是3，从而确定是第3个图形．
解答：解：根据题意可知笑脸是1，2，3，4即4个一循环．所以2007÷4=501…3．所以是第3个图形．故选C．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
例2：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2012个梅花图案中，共有个“”图案．
考点：规律型：图形的变化类．
专题：规律型．
分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．
解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个．
考点四：图形生长变化规律
探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.
例1（2010四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S1=；
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn=．
分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是=，
∴三角形的面积为×÷2=，
∴S1=1+；
（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（1+），依此类推，S3═（1+），即S3═（1+），
Sn=（n为整数）．
点评：本题重点考查了勾股定理的运用．
例2（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①②B、②③C、②③④D、①②③④
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；
∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AB，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BC，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD＝ab；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故本选项错误；
综上所述，②③④正确；
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
例3：（2009锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn＝．
分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．
解答：根据图形发现：第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为1，S1=πr2=π；第二个图中，共4个圆，圆的半径等于正方形边长的，为×2=；S2=4πr2=4π（）2=π，依次类推，则第n个图中，共有n2个圆，所有圆的面积之和Sn=n2πr2=n2π（）2=π，即都与第一个图中的圆的面积都相等，即为π．
点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．
考点五：与坐标有关规律
这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。最后用n把第n个点的坐标表示出来。
例1：如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点A2012的坐标为______．
分析：根据（A1除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2007的坐标．
解答：由图形以及叙述可知各个点（除A1点外）分别位于四个象限的角平分线上，
第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n－2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,n）.
同理第二象限内点的下标是4n－1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,n）.
第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,－n）.
第四象限是1＋4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,－n）.
2012＝4n则n＝503，当2007等于4n＋1或4n或4n－2时，不存在这样的n的值．
故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（－502，502）．
故答案填（﹣503，﹣503）．
点评：本题是一个探究规律的问题，正确对图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解答此题的关键点．
例2：（2009湖北仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为_________．
分析：解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．
解答：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，
那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20
n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21
n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…
第n个正方形的边长为：2n－1
点评：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
考点六：高中知识衔接型——数列求和
本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求
例题：（2010广东汕头）阅读下列材料：
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，
由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
4．1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11（写出过程）；
5．1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝______________；
6．1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋＋7×8×9＝______________．
分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式
；照此方法，同样有公式：
．
解：（1）∵1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，
…
10×11＝(10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）．
（3）1260．
点评：．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．
四．真题演练
题目1．（2010福建三明大田县）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是．
题目2、（2011山东日照分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）
A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角
C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的右下角
题目3：（2011德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）
A、2nB、4nC、2n+1D、2n+2
第二部分练习部分
练习
1、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由3n+1个基础图形组成．
2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）
A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角
C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的右下角
3.如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（）
A．B．C．D．
4、（2006无锡）探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（）
A．B．C．D．
5、（2010甘肃定西）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为．
6、（2006广东梅州）如图，已知△ABC的周长为m，分别连接AB，BC，CA的中点A1，B1，C1得△A1B1C1，再连接A1B1，B1C1，C1A1的中点A2，B2，C2得△A2B2C2，再连接A2B2，B2C2，C2A2的中点A3，B3，C3得△A3B3C3，…，这样延续下去，最后得△AnBnCn．设△A1B1C1的周长为l1，△A2B2C2的周长为l2，△A3B3C3的周长为l3，…，△AnBnCn的周长为ln，则ln=．
7、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）．
8.已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，按照上述规律排上去，那么虚线框中的第7个数是．
9.（2010恩施州）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于．
10.（2010山东东营）观察下表，可以发现:第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍．
11.（2010安徽，9，4分）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（）
A．495B．497C．501D．503
12.（2010江汉区）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1⊥AB于点B1，设弧BC1，C1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，C2B2⊥AB于点B2，设弧B1C2，C2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=．
13.（2011广西百色）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外．移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山．
设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，h（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成．即h（2）=3；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱．
第二个图案基础图形的个数：3×2+1=7；
第三个图案基础图形的个数：3×3+1=10；…
第n个图案基础图形的个数就应该为：3n+1．
2.分析：观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2．
解答：解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2
∵2011÷4=502…3，
∴数2011应标在第503个正方形的左上角．
故选C．
3.分析：根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．
解答：解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=（）2，第10个三角形的周长=（）9，故选C．
4.分析：本题根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，2004=4=501．因此2004所在的位置即为图中的4所在的位置．
解答：解：依题意得：图中周期为4，2004÷4=501为整数．因此从2004到2005再到2006的箭头方向为：故选A．
5.分析：由图片可知，第2个化合物的结构式比第一个多1个C和2个H，第三个化合物的结构式比第二个也多出1个C和2个H，那么下一个化合物就应该比第三个同样多出1个C和2个H，即为C4H10．
解答：解：第四种化合物的分子式为C4H10．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
6.分析：原来三角形的周长为m；第一个三角形的周长为m；第二个三角形的周长为（）2m；第三个三角形的周长为（）3m；那么第n个三角形的周长为（）nm．
解答：解：已知△ABC的周长为m，每次连接作图后，周长为原来的，故ln为原来△ABC的周长（）n，即（）nm．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
7.解答：解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个黑色瓷砖有3块，则第3个图形黑色瓷砖有10块，第N个图形瓷砖有4+3（n﹣1）=3n+1（块）．
点评：本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．
8.分析：分析可得，第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）；故第7个数是85．
解答：解：∵中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1），
∴第7个数是85．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析．归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．本题的规律为第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）．
9.分析：分析可知规律，每增加一层就增加六个点．
解答：解：第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…；
第n层上的点数为（n﹣1）×6．
所以n层六边形点阵的总点数为
1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6
=1+6=1+6÷2
=1+6×
=1+3n（n﹣1）=331．
n（n﹣1）=110；
（n﹣11）（n+10）=0
n=11或﹣10．
故n=11．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
10.分析：本题将规律探索题与方程思想结合在一起，是一道能力题，有的学生可能无法探寻“△”与“○”出现的规律，或者不知道通过列方程解答问题．
解答：解：观察图形可发现第1、2、3、…、n个图形：“△”的个数规律为1、4、9、…、n2；“○”的个数规律是4、8、12、…、4n.由题意可得，
解之得，（不合题意，舍去）．
点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
11.分析：多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．
解答：解：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数362486248624862486…．
仔细观察362486248624862486…中的规律，这个多位数前100位中前两个为36，接着出现248624862486…，所以362486248624862486…的前100位是36248624862486…24861486148624（因为98÷4=24余2，所以，这个多位数开头两个36中间有24个2486，最后两个24），因此，这个多位数前100位的所有数字之和=（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）=9+480+6=495．
故选A．
点评：本题，一个“数字游戏”而已，主要考查考生的阅读能力和观察能力，其解题的关键是：读懂题目，理解题意．这是安徽省2010年中考数学第9题，在本卷中的10道选择题中属于难度偏大．而产生“难”的原因就是没有“读懂”题目．
12.分析：每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．
此题的关键是求得AB2、AB3的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．
解答：解：根据题意，得
AC1=AB=4．
所以AC2=AB1=2．
所以AC3=AB2=2．
所以AB3=．
所以阴影部分的面积S3==．
点评：此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式
13.分析：根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
解答：解：根据题意，n=1时，h（1）=1，
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22﹣1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，，
h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23﹣1，
h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24﹣1，
…
以此类推，h（n）=h（n﹣1）×h（n﹣1）+1=2n﹣1，
∴h（6）=26﹣1=64﹣1=63．
故选C．
点评：本题考查了图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．
中考数学开放性问题专题复习
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“中考数学开放性问题专题复习”，仅供参考，欢迎大家阅读。
初三第二轮复习专题一：开放性问题
【知识梳理】
1、条件开放型：指在结论不变的前提下，去探索添加必要的条件（不唯一）的题目．
2、结论开放型：即给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论．
3、策略开放型：一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题.
【课前预习】
1、如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使得△ABP≌△CDP
(不能添加辅助线)，你增加的条件是．
2、反比例函数与一次函数的图象如图所示，请写出一条正确的结论：．
3、如果．
【例题精讲】
例1、如图，△ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD，交直线OD于点E。
（1）求证：OE＝OD；
（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，还需△ABC满足什么条件时，四边形
BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明。
例2、如图，BC为⊙○的直径，AD⊥BC,垂足为D，弧AD=弧AF,BF与AD交与点E，试判断AE与BE的大小关系，并加以证明
例3、如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；
(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE.若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习】
1、写出绝对值小于2的一个负数：．
2、两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．
3．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x＋4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有▲个．
4、如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的结论有(写出全部正确结论)．
5、如图AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
【课后作业】班级姓名
一、必做题：
1、写出一个开口向下的二次函数的表达式________．
2、在同一坐标平面内，图象不可能由函数y＝3x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是________．
3、抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：________，________.(对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外)
4、如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件______，使得AC＝DF.
5、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1＝2、r2＝4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是.
6、如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD.要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是．
7、如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
8、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是________．(写出一个即可)
9、如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.
(1)求证：AD＝AE；
(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
10、如图，在和中，、交于点M.
（1）求证：≌；
（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.
二、选做题：
11、如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.
12、如图，正方形ABCD的边长为2a,H是BC为直径的半圆上的一点，过点H作一条直线与半圆相切交AB、CD分别于点E、F。
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否变化？证明你的结论。
（2）若∠BEF=,求四边形BEFC的周长。
（3）若a=6,△BOE的面积为，△COF的面积为面积为，正方形ABCD的面积为s,若+=s,求BE、CF的长。
13、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
中考数学规律探索性问题复习
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“中考数学规律探索性问题复习”，供您参考，希望能够帮助到大家。
中考数学专题复习（一）：规律探索性问题
一、课标要求
1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
二、课前热身
1．观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）
A．B．C．D．
2．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。
3．有一列数…，那么第7个数是．
4．如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009．∠A2009＝．
三．典型例题
例1．观察算式：
；；；…………
则第（是正整数）个等式为________.
例2．（2009年益阳市）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．
-
例3．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn-1=.
四、练习
1．观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第个单项式为
2．观察下列一组数：，，，，……，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．
4已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．(用含n的代数式表示)
五、课外作业
1．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．
2．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．
3．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
4．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
5．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个．
6．(2009年梅州市)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．
7．观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．
8．如图，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An＋1An＋2⊥AnB，垂足为An＋2，则线段An＋1An＋2(n为自然数)的长为（）．
（A）（B）
（C）（D）
9．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第个正方形的边长为________________．
10．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．
（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
11.如图所示，已知：点，，
在内依次作等边三角形，使一边在轴上，
另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是
第1个，第2个，第3个
，…，则第个等边三角形的边长等于．
12．如图，AD是⊙O的直径．
(1)如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；
(2)如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，
∠B3的度数；
(3)如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
13.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：
(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若AB＝kAC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
