初三数学阅读与理解专题复习。

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好了教案课件新的工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们知道适合教案课件的范文有哪些呢？下面是小编帮大家编辑的《初三数学阅读与理解专题复习》，欢迎您参考，希望对您有所助益！

专题二阅读与理解
阅读理解题是近年来中考的常见题型．它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．解答这类题关键是理解阅读材料的实质，把握方法、规律，然后加以解决．阅读理解题是近几年考试的热点，出现形式多样．
考向一新知学习型问题
新知学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，从中获取新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力，便于学生养成良好的学习习惯．
【例1】(2011北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当ij时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2,1＝1.按此规定，a1,3＝__________；表中的25个数中，共有__________个1；计算a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5的值为__________.
a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25个数中共有1＋2＋3＋4＋5＝15个1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因为a1,1ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5＝1.
答案：0151
方法归纳根据题目的规定把有关字母用数表示出来，再根据运算法则进行计算是解题关键．本题难点是不能根据规则把表格中的数据进行转化，不能很好的理解所求式，未能利用任何数与0相乘均得0.
考向二探索归纳型问题
这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读、理解、分析，归纳出一般规律．
【例2】(2011广东珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
分析：(1)将(m＋n3)2展开得m2＋3n2＋2mn3，因为a＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a，b和m，n的关系式，取得的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n3)2展开，由(1)可知a，m，n满足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均为正整数，2mn＝4，判断出m，n的值，分类讨论，得出a的值．
解：(1)m2＋3n22mn(2)4211(答案不唯一)
(3)根据题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法归纳通过阅读，理解式子之间的关系，找到内在的规律，写出关系式，问题可获解决．
考向三方法模仿型问题
方法模仿型阅读理解题，是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题．
【例3】(2011北京)阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
图1图2
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．
请你回答：图2中△BDE的面积等于__________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图3
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________．
分析：本题利用平移对角线完成梯形和三角形面积之间的转化，从而得到△BDE的面积为1；对于(1)过点A，C分别作BC，AD的平行线，交点为P，连接EP，△CFP即为所求；(2)由作图知四边形APCD，PEBF为平行四边形，所以BE＝PF.根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面积等于1.
(1)如图．
以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
方法归纳本题通过平行线构造平行四边形实现线段等值转化，涉及到的知识点有三角形中位线平行且等于底边的一半及等底等高的三角形的面积相等．解题的难点是由于线段较多，不能从复杂图形中分解出较简单的图形．
一、选择题
1．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．则P2011(1，－1)＝()
A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)
2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7＋2＝72.那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为()
A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3
3．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()
A．a4a2a1B．a4a3a2C．a1a2a3D．a2a3a4
4．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()
A．2B．1C．4D．3
5．定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1,3,4,5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是()
A．14B．310C．12D．34
二、填空题
6．若记y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示当x＝12时y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；则f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2011)＋f12011＝__________.
7．对实数a，b，定义运算★如下：a★b＝ab(ab，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.计算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答题
8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝__________.
(2)对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是__________．
(3)如图②，已知sinA＝35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
图①图②
9．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物．比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形．
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识．
请解决以下问题：
(1)如图，我们把满足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”，写出“筝形”的两个性质(定义除外)；
(2)写出“筝形”的两个判定方法(定义除外)并选出一个进行证明．
参考答案
专题提升演练
1．D根据定义的变换法则P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，从而找出其规律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2011(1，－1)＝(0,21006)．
2．A由题意，在计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在计算6×7时，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c，设圆的直径为d，则
正三角形正方形正六边形圆
图形的边长(直径)abcd
图形的“直径”a2b
2cd
图形的周长3a4b6cπd
图形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
从上表可看出a4＞a3＞a2，故本题选B.
4．C5.C
6．201012本题是找规律的题目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝910，f13＝110.由此可以发现：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推，f(2011)＋f12011＝1，共有2010个1，所以，答案是201012.
7．1原式＝2－4×(－4)2＝116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sadA＜2
(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.
如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连接BD.则CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sadA＝BDAD＝105.
9．解：(1)性质1：只有一组对角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性质2：只有一条对角线平分对角．
性质有如下参考选项：
性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；
性质4：两组对边都不平行．
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是“筝形”．
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是“筝形”．
判定方法的条件有如下参考选项：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的证明：
已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D.
求证：四边形ABCD为“筝形”．
证明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四边形ABCD为“筝形”．

延伸阅读

初三数学归纳与猜想专题复习

专题四归纳与猜想
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．
考向一数字规律问题
数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．
【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.
1234321
2345432
3456543
4567654
5678765
6789876
78910987
则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.
(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.
解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，
a52＝6，a53＝7，
所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.
对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．
根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.
答案：(1)0(2)0
方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．
考向二数式规律问题
解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．
【例2】给出下列命题：
命题1：直线y＝x与双曲线y＝1x有一个交点是(1,1)；
命题2：直线y＝8x与双曲线y＝2x有一个交点是12，4；
命题3：直线y＝27x与双曲线y＝3x有一个交点是13，9；
命题4：直线y＝64x与双曲线y＝4x有一个交点是14，16；
……
(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；
(2)请验证你猜想的命题n是真命题．
解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝nx有一个交点是1n，n2；
(2)将1n，n2代入直线y＝n3x得：右边＝n3×1n＝n2，左边＝n2，
∴左边＝右边．
∴点1n，n2在直线y＝n3x上．
同理可证：点1n，n2在双曲线y＝nx上，
∴直线y＝n3x与双曲线y＝nx有一个交点是1n，n2.
方法归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．
对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．
考向三数形规律问题
根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．
【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．
解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，
所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)．
答案：12n(n＋1)
方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．
一、选择题
1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2011等于()
A．2011π2B．2011π3C．2011π4D．2011π6
2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为()
A．5322010B．5942011C．5942009D．5324020
二、填空题
3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．
4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．
5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为__________．
三、解答题
6．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1
②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1
④__________________________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
7．观察图形，解答问题：
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①图②图③
三个角上三个数的积1×(－1)×2＝－1](－3)×(－4)×(－5)＝－60
三个角上三个数的和1＋(－1)＋2＝2(－3)＋(－4)＋(－5)＝－12
积与和的商－2÷2＝－1
(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.
8．(1)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
图1
图2图3
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2＝__________.
(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．
参考答案
专题提升演练
1．B可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，Kn－1Kn的半径为n，所以l2011＝60π×2011180＝2011π3.
2．D由题意知，OA＝1，OD＝2，DA＝5，∴AB＝AD＝5，利用互余关系证得△DOA∽△ABA1，∴DOAB＝OABA1，∴BA1＝12AB＝125，∴A1B1＝A1C＝32AB＝352，同理，A2B2＝32A1B1＝3225，一般地AnBn＝32n5，第2011个正方形的面积为(A2010B2010)2＝5324020，故选D.
3．3n－2思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n个数是1＋3×(n－1)，即3n－2.
思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n个数是3n－2.
4.128因为A1，B1分别是EF，FD的中点，所以A1B1＝12ED.因为正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积∶正六角星形AFBDCE的面积＝122＝14.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝14.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积∶正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝122＝14，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积＝14×14＝142.如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积等于144＝128.
5．(2,1006)
6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；
(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；
(3)一定成立．理由：
因为n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立．
7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5，
图③：(－2)×(－5)×17＝170，
(－2)＋(－5)＋17＝17，
170÷10＝17.
(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360，
5＋(－8)＋(－9)＝－1，
y＝360÷(－12)＝－30，
图⑤：1×x×31＋x＋3＝－3，解得x＝－2.
8．解：(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝22，解得x＝223.
∴S正方形PNMQ＝2232＝89.
又∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．
(2)S2＝12.
(3)S10＝129.
解法1：探索规律可知：Sn＝12n－1.
剩余三角形的面积和为2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－1＋12＋14＋…＋129＝129.
解法2：由题意可知，
第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1.
第2次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－12＝12＝S2.
第3次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝12－14＝14＝S3.
…
第10次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝129.

中考数学专题：阅读理解题专题

中考数学专题9阅读理解题专题

【前言】

新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to“求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。

【例1】

请阅读下列材料?

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．?

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．?

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．??

【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。

【解析】

（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=．

连结PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°．

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2．

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．

∴∠AP′B=135°．

∴∠BPC=∠AP′B=135°．…

（2）过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．

∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．

∴∠BPC=135°，正方形边长为．

【例2】

若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：.我们把它们称为根与系数关系定理.

如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形.

（1）当为等腰直角三角形时，求

（2）当为等边三角形时，.

（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且,试问如何平移此抛物线，才能使？

【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求取何值时△ABC为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。

【解析】．⑴解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，

则

∵抛物线与轴有两个交点，∴，（不要忘记这一步的论证）

∴

∵

又∵，

∵，

∴

∴（看成一个整体）

∴

∴…

⑵当为等边三角形时，

⑶∵，

∴．

即，

∴

因为向左或向右平移时，的度数不变，

所有只需要将抛物线向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意个单位即可．

设向上或向下平移后的抛物线解析式为：，

∵平移后，∴，

∴．

∴抛物线向下平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使的度数由变为

【例3】

阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图1，正方形中，、、、分别是、、和边上靠近、、、的等分点，连结、、、，形成四边形．求四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）．

小明的做法是：

先取，如图2，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；

然后取，如图3，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是，即；

……

请你参考小明的做法，解决下列问题：

（1）在图4中探究时四边形与正方形的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；

（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．

【思路分析】本题属于典型的那种花10分钟读懂材料画1分钟就可以做出来题的类型。材料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这道题可以做，以后碰见类似的题目都可以用这种方法。材料中所给方法就是将周边的四个三角形其中的两个旋转90°，将三角形放在矩形当中去讨论面积。事实上无论是几等分点，所构造出来的四个小三角形△AMD，△ABN，△BPC，△CQD都是全等的，并且都是90度，那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的BN`PC和CM`DQ。而矩形的面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用N等分点去证明面积比例的）于是顺理成章当N等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。至于第二问和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成。于是按下图，连接BC，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截线段的比例性质去找寻答案。

【解析】

四边形与正方形的拼接后的正方形是正方形．

面积比是．

【例4】

阅读：如图1，在和中，,,、、、四点都在直线上，点与点重合.

连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：（）.

证明过程如下:

∵

即.

∴.

∴.

解决下列问题：

（1）现将△沿直线向右平移，设,且.如图2,当时,.利用此图,仿照上述方法,证明不等式：（）.

（2）用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.

【思路分析】本题是均值不等式的一种几何证明方法。材料中的思路就是利用两个共底三角形的面积来构建不等式，利用来证明。其中需要把握的几个点就是（b-a）是什么，以及如何通过(b-a)来造出。首先看第一问说要平移△DEF，在平移过程中，DE的长度始终不变，EF垂直于M的关系也始终不变。那么此时（b-a）代表什么？自然就是BD和ED之和了。于是看出K值。接下来就是找那两个可以共底的三角形，由于材料所给提示，我们自然想到用BD来做这个底，而高自然就是AB和EF。于是连接AD，△ABD和△BDF的面积就可以引出结果了。第二问答案不唯一，总之就是先调整出（b-a）可以用什么来表达，然后去找b和a分别和这个（b-a）的关系，然后用面积来表达出的式子就可以了，大家可以继这个思路多想想。

【解析】（1）

证明：连接、.

延长BA、FE交于点I.

∵，

∴，

即.

∴.

∴.

四个直角三角形的面积和，

大正方形的面积.

∵，

∴.

∴.

【例5】

阅读下列材料:

将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）

请你参考以上做法解决以下问题：

（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；

（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.

【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么直接利用中点这一个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是可以想到平行四边形的对角线所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行四边形的对角线出发，去拆分出8个小三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。

【总结】这种阅读理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的重点不在于考察解题能力，而在于考察分析，理解和应用能力。专门去找大量的类似题目去做倒也不必，而培养审题，分析的能力才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，N等分点等特殊的元素。综合来说只要仔细理解材料中的意图，那么这一部分的分数十分好拿，考生不用太过担心。

第二部分发散思考

【思考1】几何模型：

条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；

（2）如图2，的半径为，点在上，，，是上一动点，则的最小值是___________；

（3）如图3，，是内一点，，分别是上

的动点，则周长的最小值是___________．

【思路分析】利用对称性解题的例题。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称性就可以了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从P点到Q，然后到R再折回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就可以了。

【思考2】

直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.

【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线，并且由底边顶点做中位线的垂线。那么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一样，所以这种裁减方法就是利用全等来走。第一问纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就可以了。第二问说裁剪梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按照第一问的思路去做就可以了。

【思考3】

将图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，

△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.

图①图②图③

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是；

（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是.

【思路分析】本题虽然给出了一个“叠加矩形”的定义，但是和其他题目相比来说依然是换汤不换药。其实就是先要找出一个矩形，然后再去把三角形或者四边形的锐角部分都轴对称进来即可。但是注意，能叠成这样一个叠加矩形的图形，很重要的一条就是三角形的一边长和该边的高相等，然后只有借助垂直关系才能构造出矩形来，所以第四问中的四边形满足的条件也应该是和垂直且相等的关系有关。（有兴趣的同学可以自己证明一下看看）。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

⑴的最小值是；

⑵的最小值是；

⑶周长的最小值是．

【思考2解析】

（3）三角形的一边长与该边上的高相等.

（4）对角线互相垂直.（这里回答菱形，正方形是没有分的，因为只需对角线互相垂直即可叠成矩形，并不一定要四边有相等关系，试试看，梯形也可以）

初三数学实验与操作专题总复习

专题五实验与操作
[专题名师解读]

实验操作题要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论．这类题型一方面考查了学生的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神，在命题中越来越受到重视，其形式主要有选择题、填空题和解答题．

[热点考向例析]

考向一图形的展开与折叠问题
折纸是最富有自然情感而又形象的实验，它的实质是对称问题，折痕就是对称轴，而一个点折叠前后的不同位置就是对称点，“遇到折叠就用对称”就是运用对称的性质：
(1)关于一条直线对称的两个图形全等；
(2)对称轴是对称点连线的中垂线．
此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
【例1】(2011江苏徐州)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)；沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如图⑥)．
(1)求图②中∠BCB′的大小；
(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
分析：(1)先判定△B′BC是等边三角形，再根据等边三角形性质说明∠BCB′的度数；(2)利用轴对称性证出G′C＝GC，∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°，再运用角的和差关系证出∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△GCC′是等边三角形．
解：(1)连接BB′，由折叠知，EF是线段BC的对称轴，
∴BB′＝B′C．
又∵BC＝B′C，
∴△B′BC是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°.
(2)由折叠知，GH是线段CC′的对称轴，
∴G′C＝GC．
根据题意，GC平分∠BCB′，
∴∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°.
∴∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°.
∴△GCC′是等边三角形．
方法归纳解决图形的折叠问题要抓住以下两点：(1)折叠前后的图形是全等图形；(2)折痕就是对称轴，且垂直平分对称点的连线．
考向二图形的分割与拼接
图形的分割与拼接是中考中常见问题．一般地解答时需要发挥空间想象力，借助示意图进行研究解答．
【例2】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①，②，③的三块板(如图1)经过平移、旋转拼成图形．
(1)拼成矩形，在图2中画出示意图；
(2)拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．
分析：(1)由①③的斜边叠合在一起，叠出一个正方形，再与②拼成矩形；(2)一个等腰三角形放在正方形上面，另一等腰三角形跟前一个等腰三角形以相同的方向拼在正方形上，即可．
解：(1)(2)参考图形如下(答案不唯一)
方法归纳在解决图形的分割与拼接问题时，注意一方面观察图形的特点关系，即线段的关系、角的关系；另一方面可借助计算，必要时需要实际操作．
考向三利用图形的分割与拼接进行探索研究
大家知道，勾股定理的证明方法多种多样．大量的方法就是借助拼图完成的．
【例3】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图．
(2)证明勾股定理．
分析：(1)用所给的图形拼图，这需要同学们善于动手操作；(2)通过不同的途径计算图的面积，便可证明．
解：方法一：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为(a＋b)2，
大正方形的面积也可表示为c2＋4×12ab，
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为c2，
又可以表示为12ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
∴c2＝a2＋b2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法归纳在利用拼图研究勾股定理的证明时，主要借助图形之间的面积和差关系和完全平方公式．

[专题提升演练]

一、选择题
1．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是()
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是()
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
3．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是________．
4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那么在图③中剪下△ABC时，应使∠ABC的度数为__________．
三、解答题
5．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)．
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
图1图2图3
6．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．
(1)新图形为平行四边形；
(2)新图形为等腰梯形．
参考答案
专题提升演练
1．D将小三角形绕点E旋转可得到矩形，绕点D旋转可得到等腰梯形，再翻折可得到平行四边形．
2．B本题属于实验操作题，当火柴根数为5,7,8时都能围成梯形(见下图)，而当火柴根数为6时不能围成梯形，故选B.
3．梯形利用矩形对边平行极易得到∠ABC＝∠DCB，所以四边形ABCD为梯形．
4．126°由折叠过程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每个角为36°，但被折叠了一次，所以36°÷2＝18°，根据三角形内角和为180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.
5．解：(1)如图，直线CM即为所求．
(2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形．
6．解：(1)(2)