初三数学圆的有关计算总复习。
教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家静下心来写教案课件了。只有规划好了教案课件新的工作计划，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写教案课件的范文吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“初三数学圆的有关计算总复习”，相信能对大家有所帮助。
第26讲圆的有关计算
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.会计算圆的弧长和扇形的面积．
2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．
3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.
[导学必备知识]
知识梳理
一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝12lr；扇形的周长＝2r＋l.
二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
三、正多边形和圆
1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．
2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．
3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．
4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．
温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．
(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
四、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
自主测试
1．已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是()
A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2
2．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为()
A．15πcm2B．30πcm2C．60πcm2D．391cm2
3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()
A．120°B．180°C．240°D．300°
4．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.
(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
[探究重难方法]
考点一、弧长、扇形的面积
【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为()
A．43cmB．8cmC．163πcmD．83πcm
解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°.
又AC＝4，
∴的长l＝120×π×4180＝83π(cm)．故选D．
答案：D
方法总结当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝nπr2360，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝12lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝nπr180.
触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是()
A．24πB．36πC．48πD．72π
考点二、圆柱和圆锥
【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是()
A．5πB．4πC．3πD．2π
解析：侧面积是：12×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C．
答案：C
方法总结圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
触类旁通2如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.
考点三、阴影面积的计算
【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝12DE＝3.
∵DE平分AO，∴CO＝12AO＝12OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE中，OE＝CEcos30°＝332＝2.
∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF，如图所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝90360×π×22＝π，S△OEF＝12×OE×OF＝12×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法总结阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：
(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
[品鉴经典考题]
1.(2012湖南娄底)如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是()
A．4πB．3πC．2πD．π
2．(2012湖南长沙)在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.
3．(2012湖南张家界)已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为__________．
4．(2012湖南郴州)圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2.(结果保留π)
5．(2012湖南衡阳)如图，已知⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，是劣弧的长为__________cm.
6.(2012湖南岳阳)如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与弦AB交于点F，连接BC．
(1)求证：AC2＝ABAF；
(2)若⊙O的半径为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．
[研习预测试题]
1.如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长为()
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
2．已知圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为()
A．48cm2B．48πcm2C．120πcm2D．60πcm2
3．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PC＝23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是()
A．4＋6πcmB．5cmC．35cmD．7cm
4．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为()
A．6cmB．35cmC．8cmD．53cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以12AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．
6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________cm2.
7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是AB的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．
参考答案
【知识梳理】
一、1.nπr1802.nπr2360
二、1.矩形周长高h
2．扇形周长母线长
三、1.相等也相等
2．各个顶点
3．外接圆外接圆
4．距离
5．外接圆360°n
导学必备知识
自主测试
1．B
2．B因为底面半径为3cm，则周长为6πcm，
所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．
3．B设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为12×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，
所以n＝180°.
4．24240π
5．解：(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝12OC＝1，∴CE＝32OC＝3，
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝23.
(2)∵S△ABC＝12ABCE＝12×4×3＝23，
∴S阴影＝12π×22－23＝2π－23.
探究考点方法
触类旁通1.CS＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.
触类旁通2.4因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4(cm)．
品鉴经典考题
1．D由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的14，即14π422＝π.
2.23πl＝nπr180＝120π1180＝23π.
3．50πS侧＝πrl＝π×5×10＝50π.
4．27πS侧＝πrl＝π×3×9＝27π.
5．2π连接AO，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC的长为60π×6180＝2πcm.
6．解：(1)证明：∵，∴∠ACF＝∠ABC.
∵∠A＝∠A，∴△ACF∽△ABC.∴ACAB＝AFAC.
∴AC2＝ABAF.
(2)连接OA，OC，作OE⊥AC，垂足为点E，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°.
∴∠OAE=∠OCE=30°.
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2，
∴OE＝1，AE＝3.
∴AC＝2AE＝23.
∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝120×π×22360－12×23×1＝43π－3.
研习预测试题
1．B2.D3.B
4．B留下的扇形的弧长为1－13×2×π×9＝12π，
所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.
则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.
而圆锥的母线长为9，
所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝35(cm)．
5．8－2π6.2π7.25π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝2.5.
(2)∠A＝12∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sinA＝OEOA，∴OA＝2.5sin25°.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的长＝130×2.5π180sin25°≈13.4.WWw.jAB88.cOm
相关知识
中考数学总复习圆的有关计算导学案(湘教版)
第33课圆的有关计算
【知识梳理】
1.圆周长公式：
2.n°的圆心角所对的弧长公式：
3.圆心角为n°的扇形面积公式：、．
4.圆锥的侧面展开图是；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为：
；圆锥的表面积的计算方法是：
5.圆柱的侧面展开图是：；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是：；圆柱的表面积的计算方法是：
【注意点】
【例题精讲】
【例1】如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长．
【例2】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．
【例3】如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）
A.3B.4C.D.
【例4】（庆阳）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6㎝，AB=㎝．
求：（1）⊙O的半径；（2）图中阴影部分的面积．
【当堂检测】
1．圆锥的底面半径为3cm，母线为9，则圆锥的侧面积为（）
A．6B．9C．12D．27
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是()
A．25πB．65πC.90πD．130π
3．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cmB．cmC．3cmD．cm
4.圆锥侧面积为8πcm2,侧面展开图圆心角为450,则圆锥母线长为（）A.64cmB.8cmC.㎝D.㎝
5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（）
A．B．C．D．
6．如图，有一圆心角为120o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一
圆锥侧面，那么圆锥的高是（）
A．cmB．cmC．cmD．cm
7．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是㎝2.
8．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为
9．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）
10．王小刚制作了一个高12cm，底面直径为10cm的圆锥，则这个圆锥的侧面积
是cm2.
11．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是．
12.制作一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心
角为度．
13.如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条
直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为．
14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB的长为9米，那么半径OA=______米.
15.如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=，DE=3．
求：(1)⊙O的半径；(2)弦AC的长；(3)阴影部分的面积．
九年级数学圆的有关性质总复习
第24讲圆的有关性质
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.
[导学必备知识]
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧；
(3)________相等的两个圆是等圆；
(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．
二、垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________．
4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
四、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
自主测试
1．(2012重庆)如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
2．(2012山东泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()
A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
5．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝23，OC＝1，则半径OB的长为__________．
6．(2012山东青岛)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__________°.
[探究重难方法]
考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()
A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米
分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，设OE=x，则OF=x-1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.
解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝12AB＝3，CF＝12CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4.
∴半径OA＝32＋42＝5.∴直径MN＝2OA＝10(分米)．
故选C．
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD．
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
解：(1)证明：∵AB＝BC，
∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．
(2)由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BEBD＝3×9＝27.∴AB＝33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为()
A．40°B．50°C．80°D．90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝()
A．116°B．32°C．58°D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD．还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.
[品鉴经典考题]
1．(2012湖南湘潭)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()
A．20°B．40°C．50°D．80°
2．(2012湖南益阳)如图，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝__________.
3．(2012湖南娄底)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__________.
4.(2012湖南长沙)如图，点A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD．
5.(2012湖南怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD，DB．
(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
(2)若AC＝23，求证：△ACD∽△OCB．
[研习预测试题]
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为()
A．5B．4C．3D．2
2.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()
A．12B．34C．32D．45
3.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()
A．16B．10C．8D．6
4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为()
A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位
5．如图，已知在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝________.
6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________．
8.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：
(1)△ABD为等腰三角形；
(2)ACAF=DFFE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心半径
2．(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合
二、1.平分平分
2．(1)不是直径(2)圆心两条
3．相等
三、1.相等相等
四、1.圆心圆相交
2．(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径
导学必备知识
自主测试
1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°.故选A.
2．D∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；
B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D.
3．B∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，
∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.
4．8如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案为8.
5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，
∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，
OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2.
故答案为2.
6．150因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.
探究考点方法
触类旁通1.24连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24cm.
触类旁通2.B由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鉴经典考题
1．D∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝40°.
∴∠BOD＝2∠C＝2×40°＝80°.
2．120°∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°.
3．24°连接OB，∵CD⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝48°.
∴∠BDC＝12∠BOC＝12×48°＝24°.
4．(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于点D，∴OD＝12OB＝4.
5.(1)解：连接OA.
∵∠ADC=18°，
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
在Rt△OBE中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴BE＝OBcos30°＝4×32＝23.
∵OE⊥AB，∴AB＝2BE＝43.
∵AC＝23，∴C，E重合．
∴∠ACD＝∠OCB＝90°，
∠AOC＝∠COB＝90°－∠OBC＝60°.
∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.
∴∠ADC＝∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1．C2.C3.A4.B
5．150°6.18°
7.52连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，
∴AD=4.∴AE=52.
8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，∠CDB＝∠FDA，
∴＝，∴CD＝DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE＝CDAF，
∴ACAF＝CDFE.
而CD＝DF，∴ACAF＝DFFE.
初三数学数据的分析总复习
第29讲数据的分析
考标要求考查角度
1.会求一组数据的平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，能理解它们在实际问题中反映的意义，而且会运用样本估计总体的思想方法解决实际应用问题．
2．了解样本方差、总体方差的意义．会根据同类问题的两组样本数据的方差比较两组样本数据的波动情况.本讲中考主要考查算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差的计算，结合实际问题来描述一组数据的集中趋势和离散程度．题型以选择题、填空题为主，还常与统计图、概率等知识进行综合考查.
知识梳理
一、平均数、众数与中位数
1．平均数
(1)平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这组数据的算术平均数，简称__________，记为x.
(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n.
2．众数
在一组数据中，出现次数__________的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)．
3．中位数
将一组数据按__________依次排列，把处在__________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
二、数据的波动
1．极差
一组数据中__________与__________的差，叫做这组数据的极差．
2．方差
在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的__________的平均数叫做这组数据的方差，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
3．极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．
自主测试
1．(2012上海)数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是()
A．5B．6C．7D．8
2．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“＋”，不足标准重量的记作“－”，他记录的结果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是()
A．0,1.5B．29.5,1C．30,1.5D．30.5,0
3．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是()
A．s2甲＜s2乙B．s2甲＞s2乙C．s2甲＝s2乙D．不能确定
4．(2012浙江宁波)我市某一周每天的最高气温统计如下：27,28,29,29,30,29,28(单位：℃)，则这组数据的极差与众数分别为()
A．2,28B．3,29C．2,27D．3,28
考点一、平均数、众数、中位数
【例1】(1)某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是__________分．
(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店统计了2012年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如下：
文具店2012年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图
3种文具盒销售情况条形统计图
①请把条形统计图补充完整；
②小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为13(10＋15＋20)＝15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格．
分析：(1)直接利用算术平均数的求法求；
(2)该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格是求加权平均数．
解：(1)9(2)①
3种文具盒销售情况条形统计图
②不正确，平均销售价格为(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8700÷600＝14.5(元)．
方法总结平均数、众数和中位数是以不同角度反映一组数据的集中趋势．众数是一组数据中出现次数最多的，而中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列处于中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数则是所有数的和与个数的商，求解时一定要明确其求法．
触类旁通1我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温/℃25262728
天数1123
则这组数据的中位数与众数分别是()
A．27,28B．27.5,28C．28,27D．26.5,27
考点二、极差与方差
【例2】(1)(2012湖南株洲)在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93,138,98,152,138,183，则这组数据的极差是()
A．138B．183C．90D．93
(2)(2012湖南怀化)为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9,15.8，则下列说法正确的是()
A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定
解析：(1)根据极差的概念求；(2)比较甲、乙方差的大小，方差越小，出苗越整齐．
答案：(1)C(2)A
方法总结极差和方差都是表示该组数据的波动大小的数据，从统计的角度看，在平均成绩相同的情况下看成绩的稳定性就是比较方差的大小．
触类旁通2一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图．
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分方差中位数合格率优秀率
甲组6.92.491.7%16.7%
乙组1.383.3%8.3%
(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
1．(2012湖南湘潭)已知一组数据3，a,4,5的众数为4，则这组数据的平均数为()
A．3B．4C．5D．6
2．(2012湖南娄底)一组数据为：2,2,3,4,5,5,5,6，则下列说法正确的是()
A．这组数据的众数是2B．这组数据的平均数是3
C．这组数据的极差是4D．这组数据的中位数是5
3．(2012湖南常德)已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差s2甲＝1.3275，乙种棉花的纤维长度的方差s2乙＝1.8775，则甲、乙两种棉花质量较好的是__________．
4．(2012湖南张家界)一组数据是4，x,5,10,11共有五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是__________．
1．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：
区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山
最高气温/℃32323032303229323032
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是()
A．32,32B．32,30C．30,32D．32,31
2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()
A．平均数B．极差C．中位数D．方差
3．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况如图所示：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是()
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
4．某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表：
节电量/千瓦时20304050
户数10403020
则4月份这100户节电量的平均数、中位数、众数分别是()
A．35,35,30B．25,30,20C．36,35,30D．36,30,30
5．一个样本为1,3,2,2，a，b，C．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为__________．
6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s2甲＝3.6，s2乙＝15.8，则______种小麦的长势比较整齐．
7．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图(1)所示：
(1)(2)
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：
测试项目测试成绩/分
甲乙丙
笔试929095
面试859580
图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)平均数2.最多3．大小最中间
二、1.最大值最小值2.平方
导学必备知识
自主测试
1．B因为这组数据从小到大排列为5,5,5,6,7,8,13，第四个数6为中位数．
2．C
3．A根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小．
∵甲的成绩比乙的成绩稳定，∴有s2甲＜s2乙．故选A.
4．B因为这组数中，最大的数是30，最小的数是27，
所以极差为30－27＝3.
29出现了3次，出现的次数最多，
所以众数是29.
探究考点方法
触类旁通1.A由统计表可知，温度为25℃有1天，温度为26℃有1天，温度为27℃有2天，温度为28℃有3天．
触类旁通2.分析：评价成绩的好坏，不能只看某一方面，应多方面考虑．
解：(1)甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；
(2)(答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多．
品鉴经典考题
1．B∵众数为4，∴a＝4，∴x＝3＋4×2＋54＝4.
2．C这组数据中，5出现的次数最多，所以众数是5，故A不正确；2×2＋3＋4＋5×3＋68＝4，故B不正确；6－2＝4，这组数据的极差是4，C正确；数据按从大到小排列后，处在中间位置的两个数是4和5，所以中位数为4＋52＝4.5，故D不正确．
3．甲
4．54＋x＋5＋10＋115＝7，解得x＝5，∴这组数据的众数是5.
研习预测试题
1．A2.C3.D4.C
5.87∵这个样本的众数为3，
∴a，b，c中至少有两个为3，设a＝b＝3，
∴1＋3×3＋2×2＋c7＝2，∴c＝0.
∴s2＝17×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝87.
6．甲
7．解：(1)
(2)甲的票数：200×34%＝68(票)，乙的票数：200×30%＝60(票)，丙的票数：200×28%＝56(票)．
(3)甲的平均成绩：x1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，
乙的平均成绩：x2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，
丙的平均成绩：x3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7.
∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．
