初三数学实验与操作专题总复习。

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家在认真写教案课件了。各行各业都在开始准备新的教案课件工作计划了，我们的工作会变得更加顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《初三数学实验与操作专题总复习》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

专题五实验与操作
[专题名师解读]

实验操作题要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论．这类题型一方面考查了学生的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神，在命题中越来越受到重视，其形式主要有选择题、填空题和解答题．

[热点考向例析]

考向一图形的展开与折叠问题
折纸是最富有自然情感而又形象的实验，它的实质是对称问题，折痕就是对称轴，而一个点折叠前后的不同位置就是对称点，“遇到折叠就用对称”就是运用对称的性质：
(1)关于一条直线对称的两个图形全等；
(2)对称轴是对称点连线的中垂线．
此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
【例1】(2011江苏徐州)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)；沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如图⑥)．
(1)求图②中∠BCB′的大小；
(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
分析：(1)先判定△B′BC是等边三角形，再根据等边三角形性质说明∠BCB′的度数；(2)利用轴对称性证出G′C＝GC，∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°，再运用角的和差关系证出∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△GCC′是等边三角形．
解：(1)连接BB′，由折叠知，EF是线段BC的对称轴，
∴BB′＝B′C．
又∵BC＝B′C，
∴△B′BC是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°.
(2)由折叠知，GH是线段CC′的对称轴，
∴G′C＝GC．
根据题意，GC平分∠BCB′，
∴∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°.
∴∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°.
∴△GCC′是等边三角形．
方法归纳解决图形的折叠问题要抓住以下两点：(1)折叠前后的图形是全等图形；(2)折痕就是对称轴，且垂直平分对称点的连线．
考向二图形的分割与拼接
图形的分割与拼接是中考中常见问题．一般地解答时需要发挥空间想象力，借助示意图进行研究解答．
【例2】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①，②，③的三块板(如图1)经过平移、旋转拼成图形．
(1)拼成矩形，在图2中画出示意图；
(2)拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．
分析：(1)由①③的斜边叠合在一起，叠出一个正方形，再与②拼成矩形；(2)一个等腰三角形放在正方形上面，另一等腰三角形跟前一个等腰三角形以相同的方向拼在正方形上，即可．
解：(1)(2)参考图形如下(答案不唯一)
方法归纳在解决图形的分割与拼接问题时，注意一方面观察图形的特点关系，即线段的关系、角的关系；另一方面可借助计算，必要时需要实际操作．
考向三利用图形的分割与拼接进行探索研究
大家知道，勾股定理的证明方法多种多样．大量的方法就是借助拼图完成的．
【例3】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图．
(2)证明勾股定理．
分析：(1)用所给的图形拼图，这需要同学们善于动手操作；(2)通过不同的途径计算图的面积，便可证明．
解：方法一：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为(a＋b)2，
大正方形的面积也可表示为c2＋4×12ab，
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为c2，
又可以表示为12ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
∴c2＝a2＋b2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法归纳在利用拼图研究勾股定理的证明时，主要借助图形之间的面积和差关系和完全平方公式．

[专题提升演练]

一、选择题
1．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是()
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是()
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
3．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是________．
4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那么在图③中剪下△ABC时，应使∠ABC的度数为__________．
三、解答题
5．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)．
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
图1图2图3
6．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．
(1)新图形为平行四边形；
(2)新图形为等腰梯形．
参考答案
专题提升演练
1．D将小三角形绕点E旋转可得到矩形，绕点D旋转可得到等腰梯形，再翻折可得到平行四边形．
2．B本题属于实验操作题，当火柴根数为5,7,8时都能围成梯形(见下图)，而当火柴根数为6时不能围成梯形，故选B.
3．梯形利用矩形对边平行极易得到∠ABC＝∠DCB，所以四边形ABCD为梯形．
4．126°由折叠过程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每个角为36°，但被折叠了一次，所以36°÷2＝18°，根据三角形内角和为180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.
5．解：(1)如图，直线CM即为所求．
(2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形．
6．解：(1)(2)JAB88.coM

扩展阅读

初三数学图表信息专题总复习

专题一图表信息
图表信息问题主要考查收集信息和处理信息的能力．解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问题．
这种题型命题广泛，应用知识多，是中考的一种新题型，也是今后命题的热点，考查形式有选择题、填空题、解答题．
考向一表格信息问题
表格信息问题涉及知识点比较广泛，主要有统计、方程(组)、不等式(组)、函数等．解答时关键要根据表格提供的信息，建立相应的数学模型．
【例1】2011年4月25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案)》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算.
级数全月应纳税所得额税率
1不超过1500元的部分5%
2超过1500元至4500元的部分10%
3超过4500元至9000元的部分20%
………………
依据草案规定，解答下列问题：
(1)李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？
(2)若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由．
分析：(1)由于当工资为8000元时，应该纳税，而且应该按照三个级别分别纳税；(2)由于工资为10000元时，要分三种情况进行讨论：①工资小于等于4500元；②工资大于4500元但小于等于7500元；③工资大于7500元小于10000元．
解：(1)李工程师每月纳税：1500×5%＋3000×10%＋(8000－7500)×20%
＝75＋300＋100＝475(元)
(2)设该纳税人的月工薪为x元，则
当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%.
当4500＜x≤7500时，由1500×5%＋(x－4500)×10%8%x，
得x＞18750，不满足条件．
当7500＜x≤10000时，由1500×5%＋3000×10%＋(x－7500)×20%8%x，
解得x＞9375，故9375＜x≤10000.
答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%.
方法归纳本题涉及的数学思想是分类思想．解题时分类讨论是解决问题的关键．
考向二图象信息问题
图象信息问题涉及的知识点主要是函数问题．解答时要注意分析图象中特殊“点”反映的信息．
【例2】在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示．
(1)填空：A，C两港口间的距离为__________km，a＝__________；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
分析：根据函数图象，容易发现A，B，C三港口位置示意图如下：
图象中点P表示当甲到达B港口后再经过一段时间，甲、乙二船与B港口的距离相等，因此可以有两种解法，一种是利用函数解析式来求交点坐标；另一种则是利用追及问题一般方法来解，设甲船追上乙船时，用了t小时，则可知甲船t小时比乙船多行了30km，由图容易知道甲、乙两船的速度分别是60km/h,30km/h，于是可列方程60t＝30t＋30轻松求解．对于第(3)小题，应该通过分类讨论来解决问题．
解：(1)1202
(2)由点(3,90)求得，y2＝30x.
当x＞0.5时，由点(0.5,0)，(2,90)求得y1＝60x－30.
当y1＝y2时，60x－30＝30x，解得x＝1.
此时y1＝y2＝30.所以点P的坐标为(1,30)．
该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km.
求点P的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为300.5＝60(km/h)，
乙的速度为903＝30(km/h)．
则甲追上乙所用的时间为3060－30＝1(h)．
此时乙船行驶的路程为30×1＝30(km)．
所以点P的坐标为(1,30)．
(3)①当x≤0.5时，由点(0,30)，(0.5,0)求得，y1＝－60x＋30.
依题意，(－60x＋30)＋30x≤10.
解得x≥23，不合题意．
②当0.5＜x≤1时，依题意，30x－(60x－30)≤10.
解得x≥23.所以23≤x≤1.
③当x＞1时，依题意，(60x－30)－30x≤10.
解得x≤43.所以1＜x≤43.
综上所述，当23≤x≤43时，甲、乙两船可以相互望见．
方法归纳本题涉及数形结合、分类讨论的数学思想．解题的关键是确定三个港口的位置．难点是对P点的含义理解．
考向三图表综合问题
图表综合问题主要分布于统计之中．解题时注意将图表中的信息综合在一起分析解答．
【例3】某市“希望”中学为了了解学生“大间操”的活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查(每人只能选一项)．调查结果的部分数据如下表(图)所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10.
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目排球篮球跳绳踢毽其他
人数/人78146
八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
请根据统计表(图)解答下列问题：
(1)本次调查抽取了多少名学生？
(2)补全统计表和统计图，并求出“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比；
(3)该校共有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽”的学生每4人提供一个毽子，那么学校在“大间操”时至少应提供多少个毽子？
分析：(1)因为三个年级都抽取了相同数量的学生，所以只需算出一个年级抽取的学生数即可；(2)根据(1)补充完整表格与统计图；(3)至少应提供的毽子个数＝该校学生总人数乘以最喜欢踢毽人数所占的比例再除以4.
解：(1)10÷20%＝50(人),50×3＝150(人)．
(2)七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目排球篮球跳绳踢毽其他
人数/人7815146
八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比为22%.
(3)14＋13＋15150×1800÷4＝126(个)．
方法归纳本题考查了统计图、统计表及根据样本估计总体，也是考查统计知识常见题型．解题时读懂图表并将图表信息综合考虑是关键.
一、选择题
1．某住宅小区6月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是()
A．30吨B．31吨C．32吨D．33吨
2．(2011浙江台州)如图，反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点M，N，已知点M的坐标为(1,3)，点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程mx＝kx＋b的解为()
A．－3,1B．－3,3C．－1,1D．3，－1
二、填空题
3.上、下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为____________.
4．某村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：
第一年第二年第三年…
应还款(万元)30.5＋9×0.4%0.5＋8.5×0.4%…
剩余房款(万元)98.58…
若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款__________万元(n＞1)．
三、解答题
5．2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．
(1)求这份快餐中所含脂肪质量；
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
6．如图①，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为yA，yB，yC(单位：升)，时间为t(单位：分)．开始时，B容器内有水50升，yA，yC与t的函数图象如图②所示．请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：
(1)求t＝3时，yB的值；
(2)求yB与t的函数关系式，并在图②中画出其函数图象；
(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4时t的值．
图①图②
7．某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x123456789
价格y1(元/件)560580600620640660680700720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)，求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其他成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)
参考答案
专题提升演练
1．C根据平均数公式可得这5天平均每天的用水量是30＋32＋36＋28＋345＝32(吨)．
2．A把M点的坐标代入y＝mx，求得m＝3，所以得y＝3x，再把y＝－1代入y＝3x求得x＝－3，故关于x的方程mx＝kx＋b的解为x＝－3，或1.
3．431.76cm由图可知，正六边形的对角线长为60cm，则其半径为30cm，边心距为153cm，故所需胶带长度至少为153×12＋20×6≈431.76(cm)．
4．0.54－0.002n(填0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%)
关键是要理解付款的方式，第一年还掉3万元后，第二年付0.5万元和剩下的9万元的利息，第三年还0.5万元和剩下的(9－0.5)万元的利息，第四年则要还0.5万元和剩下的(9－2×0.5)万元的利息，…，所以除了第一年以外，第n年都是要还0.5万元和剩下的[9－(n－2)0.5]万元的利息，可列式：0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%，化简可知第n年应还款(0.54－0.002n)万元．
5．解：(1)400×5%＝20(克)．
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．
(2)设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，
∴x＝44，∴4x＝176.
答：所含蛋白质的质量为176克．
(3)解法一：设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为(380－5y)克，∴4y＋(380－5y)≤400×85%，
∴y≥40，∴380－5y≤180，
∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．
解法二：设所含矿物质的质量为n克，则n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，
∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．
6．解：(1)当t＝3时，yB＝50＋4×3＝62(升)．
(2)根据题意，
当0≤t≤5时，yB＝50＋4t.
当5＜t≤10时，
yB＝70－10(t－5)＝－10t＋120.
yB与t的函数图象如图所示．
图②
(3)根据题意，设yA＝2x，yB＝3x，yC＝4x.
2x＋3x＋4x＝50＋60＋70.解得x＝20.
∴yA＝2x＝40，yB＝3x＝60，yC＝4x＝80.
由图象可知，当yA＝40时，5≤t≤10，此时yB＝－10t＋120，yC＝10t＋20.
∴－10t＋120＝60，解得t＝6.
10t＋20＝80，解得t＝6.
∴当t＝6时，yA∶yB∶yC＝2∶3∶4.
7．解：(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630.
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)
＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋16x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0,1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月份销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12＋2.9＝1.7(万件)，
今年原材料的价格为：750＋60＝810(元)，
今年人力成本为：50×(1＋20%)＝60(元)，
由题意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，
设t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120，
∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409，
∴9401≈97.
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.
∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.
答：a的整数值为10.

初三数学开放与探索总复习

专题三开放与探索
开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．题型以填空题、解答题为主．
考向一条件开放问题
条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．
【例1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．
解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．
答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任选其中一个)
方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．
考向二结论开放问题
结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．
【例2】(2011广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果)
(2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．
(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)
图1图2
分析：(1)设等边△APC边长为x，高为32x，则面积为34x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为32(2a－x)，则面积为34(2a－x)2，
面积之和为S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题．
当x＝a时，S最小＝32a2.
(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC．
(3)根据(2)证明过程或直观可得结论．
解：(1)a
(2)α的大小不会随点P的移动而变化．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°.
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB．
∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°－120°＝60°.
(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.
方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．
考向三条件与结论开放问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．
【例3】(1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
图1图2
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)
分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中，∵∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
在边AB上截取AE＝MC，连接ME.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°.
∵AE＝MC，∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°.
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n－2)180°n.
方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．
一、选择题
1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有()
A．4个B．6个C．7个D．9个
2．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象(如图2)，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ.则以下结论
①x＜0时，y＝2x，
②△OPQ的面积为定值，
③x＞0时，y随x的增大而增大，
④MQ＝2PM，
⑤∠POQ可以等于90°.
图1图2
其中正确的结论是()
A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二、填空题
3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)
4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)
三、解答题
5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°α120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.
图1图2备用图
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．
(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．
6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.
(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；
(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；
(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
图1图2
7．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
8．已知：二次函数y＝x2＋bx－3的图象经过点P(－2,5)．
(1)求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围．
(2)设点P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在这个二次函数的图象上．
①当m＝4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．
②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
参考答案
专题提升演练
1．C以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.
2．B根据图中所示程序，可得y与x的函数关系式为y＝－2x(x0)，4x(x0)，易知①错误；∵PQ∥x轴，∴点P在y＝－2x上，∴S△POM＝12×OM×PM＝12|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正确；当x＞0时，y＝4x，y随x的增大而减小，∴③错误；设OM＝a，当y＝a时，P点的横坐标为－2a，Q点的横坐标为4a，则PM＝2a，MQ＝4a，则MQ＝2PM，∴④正确；当点M在y轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正确．
3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可)由已知条件AB＝DC，AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．
4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等由于这个方程有实数根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.
5．解：(1)①②④
(2)α＝90°.依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝12AC＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83.
6．解：(1)△HGA△HAB
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，
∴CGAB＝ACBH，即x9＝9y，
∴y＝81x.
(3)由(1)知△AGC∽△HGA.
∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．
有两种情况，(1)CG为底，AC＝AG时，得AG＝9，此时CG等于92，(2)CG为腰，CG＝AG时，此时CG＝922.
7．解：(1)证明：由折叠可知EF⊥AC，AO＝CO.
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四边形AFCE是菱形．
(2)由(1)得AF＝AE＝10.
设AB＝a，BF＝b，得
a2＋b2＝100①，ab＝48②.
①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一负值舍去)．
∴△ABF的周长为24cm.
(3)存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意．
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP.
∴AOAE＝AEAP，得AE2＝AOAP，即2AE2＝2AOAP.
又AC＝2AO，
∴2AE2＝ACAP.
8．解：(1)把点P代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.
所以二次函数解析式为y＝x2－2x－3.
当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，
所以当1＜x≤3时，y的取值范围为－4＜y≤0.
(2)①m＝4时，y1，y2，y3的值分别为5,12,21，
由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，由图象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分别为m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，当m不小于5时成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长．

初三数学阅读与理解专题复习

专题二阅读与理解
阅读理解题是近年来中考的常见题型．它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．解答这类题关键是理解阅读材料的实质，把握方法、规律，然后加以解决．阅读理解题是近几年考试的热点，出现形式多样．
考向一新知学习型问题
新知学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，从中获取新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力，便于学生养成良好的学习习惯．
【例1】(2011北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当ij时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2,1＝1.按此规定，a1,3＝__________；表中的25个数中，共有__________个1；计算a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5的值为__________.
a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25个数中共有1＋2＋3＋4＋5＝15个1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因为a1,1ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5＝1.
答案：0151
方法归纳根据题目的规定把有关字母用数表示出来，再根据运算法则进行计算是解题关键．本题难点是不能根据规则把表格中的数据进行转化，不能很好的理解所求式，未能利用任何数与0相乘均得0.
考向二探索归纳型问题
这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读、理解、分析，归纳出一般规律．
【例2】(2011广东珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
分析：(1)将(m＋n3)2展开得m2＋3n2＋2mn3，因为a＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a，b和m，n的关系式，取得的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n3)2展开，由(1)可知a，m，n满足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均为正整数，2mn＝4，判断出m，n的值，分类讨论，得出a的值．
解：(1)m2＋3n22mn(2)4211(答案不唯一)
(3)根据题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法归纳通过阅读，理解式子之间的关系，找到内在的规律，写出关系式，问题可获解决．
考向三方法模仿型问题
方法模仿型阅读理解题，是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题．
【例3】(2011北京)阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
图1图2
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．
请你回答：图2中△BDE的面积等于__________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图3
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________．
分析：本题利用平移对角线完成梯形和三角形面积之间的转化，从而得到△BDE的面积为1；对于(1)过点A，C分别作BC，AD的平行线，交点为P，连接EP，△CFP即为所求；(2)由作图知四边形APCD，PEBF为平行四边形，所以BE＝PF.根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面积等于1.
(1)如图．
以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
方法归纳本题通过平行线构造平行四边形实现线段等值转化，涉及到的知识点有三角形中位线平行且等于底边的一半及等底等高的三角形的面积相等．解题的难点是由于线段较多，不能从复杂图形中分解出较简单的图形．
一、选择题
1．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．则P2011(1，－1)＝()
A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)
2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7＋2＝72.那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为()
A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3
3．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()
A．a4a2a1B．a4a3a2C．a1a2a3D．a2a3a4
4．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()
A．2B．1C．4D．3
5．定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1,3,4,5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是()
A．14B．310C．12D．34
二、填空题
6．若记y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示当x＝12时y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；则f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2011)＋f12011＝__________.
7．对实数a，b，定义运算★如下：a★b＝ab(ab，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.计算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答题
8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝__________.
(2)对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是__________．
(3)如图②，已知sinA＝35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
图①图②
9．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物．比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形．
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识．
请解决以下问题：
(1)如图，我们把满足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”，写出“筝形”的两个性质(定义除外)；
(2)写出“筝形”的两个判定方法(定义除外)并选出一个进行证明．
参考答案
专题提升演练
1．D根据定义的变换法则P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，从而找出其规律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2011(1，－1)＝(0,21006)．
2．A由题意，在计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在计算6×7时，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c，设圆的直径为d，则
正三角形正方形正六边形圆
图形的边长(直径)abcd
图形的“直径”a2b
2cd
图形的周长3a4b6cπd
图形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
从上表可看出a4＞a3＞a2，故本题选B.
4．C5.C
6．201012本题是找规律的题目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝910，f13＝110.由此可以发现：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推，f(2011)＋f12011＝1，共有2010个1，所以，答案是201012.
7．1原式＝2－4×(－4)2＝116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sadA＜2
(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.
如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连接BD.则CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sadA＝BDAD＝105.
9．解：(1)性质1：只有一组对角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性质2：只有一条对角线平分对角．
性质有如下参考选项：
性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；
性质4：两组对边都不平行．
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是“筝形”．
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是“筝形”．
判定方法的条件有如下参考选项：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的证明：
已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D.
求证：四边形ABCD为“筝形”．
证明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四边形ABCD为“筝形”．