初三数学归纳与猜想专题复习。

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专题四归纳与猜想
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．
考向一数字规律问题
数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．
【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.
1234321
2345432
3456543
4567654
5678765
6789876
78910987
则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.
(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.
解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，
a52＝6，a53＝7，
所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.
对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．
根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.
答案：(1)0(2)0
方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．
考向二数式规律问题
解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．
【例2】给出下列命题：
命题1：直线y＝x与双曲线y＝1x有一个交点是(1,1)；
命题2：直线y＝8x与双曲线y＝2x有一个交点是12，4；
命题3：直线y＝27x与双曲线y＝3x有一个交点是13，9；
命题4：直线y＝64x与双曲线y＝4x有一个交点是14，16；
……
(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；
(2)请验证你猜想的命题n是真命题．
解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝nx有一个交点是1n，n2；
(2)将1n，n2代入直线y＝n3x得：右边＝n3×1n＝n2，左边＝n2，
∴左边＝右边．
∴点1n，n2在直线y＝n3x上．
同理可证：点1n，n2在双曲线y＝nx上，
∴直线y＝n3x与双曲线y＝nx有一个交点是1n，n2.
方法归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．
对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．
考向三数形规律问题
根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．
【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．
解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，
所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)．
答案：12n(n＋1)
方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．
一、选择题
1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2011等于()
A．2011π2B．2011π3C．2011π4D．2011π6
2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为()
A．5322010B．5942011C．5942009D．5324020
二、填空题
3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．
4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．
5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为__________．
三、解答题
6．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1
②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1
④__________________________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
7．观察图形，解答问题：
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①图②图③
三个角上三个数的积1×(－1)×2＝－1](－3)×(－4)×(－5)＝－60
三个角上三个数的和1＋(－1)＋2＝2(－3)＋(－4)＋(－5)＝－12
积与和的商－2÷2＝－1
(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.
8．(1)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
图1
图2图3
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2＝__________.
(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．
参考答案
专题提升演练
1．B可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，Kn－1Kn的半径为n，所以l2011＝60π×2011180＝2011π3.
2．D由题意知，OA＝1，OD＝2，DA＝5，∴AB＝AD＝5，利用互余关系证得△DOA∽△ABA1，∴DOAB＝OABA1，∴BA1＝12AB＝125，∴A1B1＝A1C＝32AB＝352，同理，A2B2＝32A1B1＝3225，一般地AnBn＝32n5，第2011个正方形的面积为(A2010B2010)2＝5324020，故选D.
3．3n－2思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n个数是1＋3×(n－1)，即3n－2.
思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n个数是3n－2.
4.128因为A1，B1分别是EF，FD的中点，所以A1B1＝12ED.因为正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积∶正六角星形AFBDCE的面积＝122＝14.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝14.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积∶正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝122＝14，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积＝14×14＝142.如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积等于144＝128.
5．(2,1006)
6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；
(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；
(3)一定成立．理由：
因为n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立．
7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5，
图③：(－2)×(－5)×17＝170，
(－2)＋(－5)＋17＝17，
170÷10＝17.
(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360，
5＋(－8)＋(－9)＝－1，
y＝360÷(－12)＝－30，
图⑤：1×x×31＋x＋3＝－3，解得x＝－2.
8．解：(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝22，解得x＝223.
∴S正方形PNMQ＝2232＝89.
又∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．
(2)S2＝12.
(3)S10＝129.
解法1：探索规律可知：Sn＝12n－1.
剩余三角形的面积和为2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－1＋12＋14＋…＋129＝129.
解法2：由题意可知，
第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1.
第2次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－12＝12＝S2.
第3次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝12－14＝14＝S3.
…
第10次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝129.

扩展阅读

初三数学阅读与理解专题复习

专题二阅读与理解
阅读理解题是近年来中考的常见题型．它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．解答这类题关键是理解阅读材料的实质，把握方法、规律，然后加以解决．阅读理解题是近几年考试的热点，出现形式多样．
考向一新知学习型问题
新知学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，从中获取新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力，便于学生养成良好的学习习惯．
【例1】(2011北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当ij时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2,1＝1.按此规定，a1,3＝__________；表中的25个数中，共有__________个1；计算a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5的值为__________.
a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25个数中共有1＋2＋3＋4＋5＝15个1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因为a1,1ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1ai,1＋a1,2ai,2＋a1,3ai,3＋a1,4ai,4＋a1,5ai,5＝1.
答案：0151
方法归纳根据题目的规定把有关字母用数表示出来，再根据运算法则进行计算是解题关键．本题难点是不能根据规则把表格中的数据进行转化，不能很好的理解所求式，未能利用任何数与0相乘均得0.
考向二探索归纳型问题
这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读、理解、分析，归纳出一般规律．
【例2】(2011广东珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
分析：(1)将(m＋n3)2展开得m2＋3n2＋2mn3，因为a＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a，b和m，n的关系式，取得的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n3)2展开，由(1)可知a，m，n满足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均为正整数，2mn＝4，判断出m，n的值，分类讨论，得出a的值．
解：(1)m2＋3n22mn(2)4211(答案不唯一)
(3)根据题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法归纳通过阅读，理解式子之间的关系，找到内在的规律，写出关系式，问题可获解决．
考向三方法模仿型问题
方法模仿型阅读理解题，是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题．
【例3】(2011北京)阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
图1图2
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．
请你回答：图2中△BDE的面积等于__________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图3
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________．
分析：本题利用平移对角线完成梯形和三角形面积之间的转化，从而得到△BDE的面积为1；对于(1)过点A，C分别作BC，AD的平行线，交点为P，连接EP，△CFP即为所求；(2)由作图知四边形APCD，PEBF为平行四边形，所以BE＝PF.根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面积等于1.
(1)如图．
以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
方法归纳本题通过平行线构造平行四边形实现线段等值转化，涉及到的知识点有三角形中位线平行且等于底边的一半及等底等高的三角形的面积相等．解题的难点是由于线段较多，不能从复杂图形中分解出较简单的图形．
一、选择题
1．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．则P2011(1，－1)＝()
A．(0,21005)B．(0，－21005)C．(0，－21006)D．(0,21006)
2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7＋2＝72.那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为()
A．1,2B．1,3C．4,2D．4,3
3．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()
A．a4a2a1B．a4a3a2C．a1a2a3D．a2a3a4
4．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()
A．2B．1C．4D．3
5．定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1,3,4,5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是()
A．14B．310C．12D．34
二、填空题
6．若记y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示当x＝12时y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；则f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2011)＋f12011＝__________.
7．对实数a，b，定义运算★如下：a★b＝ab(ab，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.计算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答题
8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝__________.
(2)对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是__________．
(3)如图②，已知sinA＝35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
图①图②
9．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物．比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形．
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识．
请解决以下问题：
(1)如图，我们把满足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”，写出“筝形”的两个性质(定义除外)；
(2)写出“筝形”的两个判定方法(定义除外)并选出一个进行证明．
参考答案
专题提升演练
1．D根据定义的变换法则P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，从而找出其规律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2011(1，－1)＝(0,21006)．
2．A由题意，在计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在计算6×7时，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c，设圆的直径为d，则
正三角形正方形正六边形圆
图形的边长(直径)abcd
图形的“直径”a2b
2cd
图形的周长3a4b6cπd
图形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
从上表可看出a4＞a3＞a2，故本题选B.
4．C5.C
6．201012本题是找规律的题目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝910，f13＝110.由此可以发现：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推，f(2011)＋f12011＝1，共有2010个1，所以，答案是201012.
7．1原式＝2－4×(－4)2＝116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sadA＜2
(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.
如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连接BD.则CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sadA＝BDAD＝105.
9．解：(1)性质1：只有一组对角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性质2：只有一条对角线平分对角．
性质有如下参考选项：
性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；
性质4：两组对边都不平行．
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是“筝形”．
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是“筝形”．
判定方法的条件有如下参考选项：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的证明：
已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D.
求证：四边形ABCD为“筝形”．
证明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四边形ABCD为“筝形”．

初三数学实验与操作专题总复习

专题五实验与操作
[专题名师解读]

实验操作题要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论．这类题型一方面考查了学生的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神，在命题中越来越受到重视，其形式主要有选择题、填空题和解答题．

[热点考向例析]

考向一图形的展开与折叠问题
折纸是最富有自然情感而又形象的实验，它的实质是对称问题，折痕就是对称轴，而一个点折叠前后的不同位置就是对称点，“遇到折叠就用对称”就是运用对称的性质：
(1)关于一条直线对称的两个图形全等；
(2)对称轴是对称点连线的中垂线．
此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
【例1】(2011江苏徐州)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)；沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如图⑥)．
(1)求图②中∠BCB′的大小；
(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
分析：(1)先判定△B′BC是等边三角形，再根据等边三角形性质说明∠BCB′的度数；(2)利用轴对称性证出G′C＝GC，∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°，再运用角的和差关系证出∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判断△GCC′是等边三角形．
解：(1)连接BB′，由折叠知，EF是线段BC的对称轴，
∴BB′＝B′C．
又∵BC＝B′C，
∴△B′BC是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°.
(2)由折叠知，GH是线段CC′的对称轴，
∴G′C＝GC．
根据题意，GC平分∠BCB′，
∴∠GCB＝∠GCB′＝12∠BCB′＝30°.
∴∠GCC′＝∠BCD－∠BCG＝60°.
∴△GCC′是等边三角形．
方法归纳解决图形的折叠问题要抓住以下两点：(1)折叠前后的图形是全等图形；(2)折痕就是对称轴，且垂直平分对称点的连线．
考向二图形的分割与拼接
图形的分割与拼接是中考中常见问题．一般地解答时需要发挥空间想象力，借助示意图进行研究解答．
【例2】七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①，②，③的三块板(如图1)经过平移、旋转拼成图形．
(1)拼成矩形，在图2中画出示意图；
(2)拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．
分析：(1)由①③的斜边叠合在一起，叠出一个正方形，再与②拼成矩形；(2)一个等腰三角形放在正方形上面，另一等腰三角形跟前一个等腰三角形以相同的方向拼在正方形上，即可．
解：(1)(2)参考图形如下(答案不唯一)
方法归纳在解决图形的分割与拼接问题时，注意一方面观察图形的特点关系，即线段的关系、角的关系；另一方面可借助计算，必要时需要实际操作．
考向三利用图形的分割与拼接进行探索研究
大家知道，勾股定理的证明方法多种多样．大量的方法就是借助拼图完成的．
【例3】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图．
(2)证明勾股定理．
分析：(1)用所给的图形拼图，这需要同学们善于动手操作；(2)通过不同的途径计算图的面积，便可证明．
解：方法一：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为(a＋b)2，
大正方形的面积也可表示为c2＋4×12ab，
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：(1)
(2)证明：∵大正方形的面积表示为c2，
又可以表示为12ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
∴c2＝a2＋b2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法归纳在利用拼图研究勾股定理的证明时，主要借助图形之间的面积和差关系和完全平方公式．

[专题提升演练]

一、选择题
1．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是()
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是()
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
3．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是________．
4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那么在图③中剪下△ABC时，应使∠ABC的度数为__________．
三、解答题
5．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)．
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
图1图2图3
6．阅读并操作：
如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．
请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．
(1)新图形为平行四边形；
(2)新图形为等腰梯形．
参考答案
专题提升演练
1．D将小三角形绕点E旋转可得到矩形，绕点D旋转可得到等腰梯形，再翻折可得到平行四边形．
2．B本题属于实验操作题，当火柴根数为5,7,8时都能围成梯形(见下图)，而当火柴根数为6时不能围成梯形，故选B.
3．梯形利用矩形对边平行极易得到∠ABC＝∠DCB，所以四边形ABCD为梯形．
4．126°由折叠过程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每个角为36°，但被折叠了一次，所以36°÷2＝18°，根据三角形内角和为180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.
5．解：(1)如图，直线CM即为所求．
(2)图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形．
6．解：(1)(2)

初三数学方案设计与决策专题总复习

专题六方案设计与决策
方案设计与决策在中考中是常见题型．涉及代数方面的有方程(组)、不等式(组)和函数两类；涉及几何方面的有测量、包装等．
考向一利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计
生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策．
【例1】(2011湖南永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．
(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
分析：(1)已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．可以设它们的单价分别为8x,3x,2x元，列一元一次方程来解决；(2)根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系，再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案．
解：(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．
(2)设购买篮球的数量为y个，则购买羽毛球拍的数量为4y副，购买乒乓球拍的数量为(80－y－4y)副，根据题意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3000，80－y－4y≤15，①②
由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.
于是，不等式组的解集为13≤y≤14，
因为y取整数，所以y只能取13或14.
因此，一共有两个方案：
方案一，当y＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；
方案二，当y＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．
方法归纳本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；
(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答．
需要说明的是利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策．
考向二利用二次函数进行方案设计
在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题．解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计．
【例2】(2011江津)在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示)，其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)
(1)试用含x的代数式表示y.
(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为w元，求w关于x的函数关系式．
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由．
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
分析：(1)根据圆周长列出关于x，y的等式；(2)①根据三个区域的面积和价格标准，列出关于x的函数关系式；②比较二次函数的最小值与1千万的大小，给出判断；③根据“建设刚好把政府投入的1千万与企业募捐资金64.82万元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根，根据长宽的要求进行取舍．
解：(1)由题意得πy＋πx＝628.
∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.
∴x＋y＝200.则y＝200－x.
(2)①w＝428xy＋400πy22＋400πx22＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－40000x＋12560000.
②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务，其理由如下：
由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，
所以不能．
③由题意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.
∴0≤x≤80.
又根据题意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.
整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合题意，舍去)．
∴只能取x＝79，则y＝200－79＝121.
∴设计的方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．
方法归纳利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当x＝－b2a时，y有最大(小)值4ac－b24a求得最值．最后要结合问题情境确定方案．注意有时确定最值时，需要考虑要在x的取值范围内．
考向三利用几何知识进行方案设计与决策
利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用．
【例3】某校数学研究性学习小组准备作测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图1.经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．
图1
(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；
(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？
分析：针对该问题所提供的情境知道：(1)旗杆垂直于地面；(2)旗杆AB顶端A垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部分可度量．因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨具体测量方案．
解：(1)测量方案设计如下：
①测量绳子比旗杆多出的部分BC＝am；
②把绳子ABC拉紧到地面D处如图2，测量B到D的距离BD＝bm.
图2
推算过程：设旗杆的高度为xm，则AD是(x＋a)m.
在直角△ABD中，根据AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝b2－a22a.
(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：
图3图4
方法归纳关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．
一、选择题
1．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密辅地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是()
2．现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须载满，其中A型客车最多租2辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有()
A．3种B．4种C．5种D．6种
二、填空题
3．某班为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有__________种购买方案．
4．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有__________．
三、解答题
5．某楼盘一楼是车库(暂不出售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款)．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)．
(1)请写出每平方米售价y(元/米2)与楼层x(2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式．
(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．
6．一块洗衣肥皂长、宽、高分别是16cm,6cm,3cm.一箱肥皂30条，请你为雕牌肥皂厂设计一种符合下列要求的包装箱，并使包装箱所用材料最少．
(1)肥皂装箱时，相同的面积要互相对接；
(2)包装箱是一个长方形；
(3)装入肥皂后不留空隙．
7．如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．
8．知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图)．
(1)实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6)，体积为0.3立方米．
①按方案1(如图)做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
(2)拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉(1)中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．
纸箱示意图纸箱展开图(方案1)
纸箱展开图(方案2)
备用图形
参考答案
专题提升演练
1．B正八边形的内角度数为135°，正三角形一个内角度数为60°，设密铺时，一个接缝点周围有m块正八边形，n块正三角形，则有135m＋60n＝360，通过试根，没有满足条件的正整数m，n的值使方程成立，因此A选项错误；依次类推，分别把60°换成90°，120°，经过试根，只有90°可以找到满足条件的正整数m，n的值使方程成立，因此，选B.
2．B因为A型车最多租用2辆，所以有两种情况，租用1辆A型车或租用2辆A型车，设租用B型车x辆，C型车y辆．①租用1辆A型车时，50＋30x＋10y＝150，其正整数解为x＝1，y＝7，x＝2，y＝4，x＝3，y＝1；②租用2辆A型车时，100＋30x＋10y＝150，其正整数解为x＝1，y＝2.
综上所述，共有4种情况．
3．2设购买甲、乙两种运动服分别为x套和y套(x，y为正整数)，
依题意，得20x＋35y＝365，
整理，得4x＋7y＝73.
y＝73－4x7＝11－4(x＋1)7≥1.
∵x，y为正整数，∴x＋1是7的倍数．
∴73－4x≥7，x＋1＝7k(k为正整数)，解得27≤k≤52，
∴整数k＝1或2，
∴x＝6，y＝7，或x＝13，y＝3.
4．6种从点A1出发，先向下走有三种走法，先向右走也有三种走法，共6种．
5．解：(1)1°当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－(8－x)×20＝20x＋2840(元/平方米)．
2°当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000＋(x－8)40＝40x＋2680(元/平方米)．
∴y＝20x＋2840(2≤x≤8)，40x＋2680(9≤x≤23)，x为正整数．
(2)由(1)知：
1°当2≤x≤8时，小张首付款为(20x＋2840)12030%＝36(20x＋2840)≤36(208＋2840)＝108000元＜120000元．
∴2～8层可任选．
2°当9≤x≤23时，小张首付款为(40x＋2680)12030%＝36(40x＋2680)元．
36(40x＋2680)≤120000，解得：x≤493＝1613.
∵x为正整数，∴9≤x≤16.
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y1＝(4016＋2680)12092%－60a(元)．
若按老王的想法则要交房款为：y2＝(4016＋2680)12091%(元)．
∵y1－y2＝3984－60a，
当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
6．解：方案一：以16×3的面相对连放三块构成底层，再如此放10层，整个表面积为最小值2616cm2；
方案二：以16×3的面相对连放五块构成底层，再如此放6层，整个表面积仍为最小值2616cm2.
7．解：答案不唯一．
(1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM，BM.
(2)第一步，在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；
第二步，在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ；
其中AN＝d＋BN，解得MN＝dtanαtanβtanβ－tanα.
8．解：(1)①设这个纸箱底面的长为x，则宽为0.6x.
∵x×0.6x×0.5＝0.3，
∴x2＝1，解得x＝1.
由图示可知，
＝[1＋2×(0.5＋0.5)]×[0.6＋2×(0.5＋0.3)]＝3×2.2＝6.6(平方米)．
②方案2优惠．由图示
可知，h1h1＋1＝0.30.3＋0.8，解得h1＝38.
h2h2＋0.8＝0.50.5＋1，解得h2＝25.
∴＝12×3＋2×38×2.2＋2×25＝12×308×3＝5.625(平方米)．
∵5.625平方米＜6.6平方米，
∴采用方案2优惠．
(2)设现在设计的纸箱的底面长为x米，宽为y米，
则x＋y＝0.8，xy＝0.3.
即y＝0.8－x和y＝0.3x，其图象如图所示．
因为两个函数图象无交点，所以要将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，水果商的这种要求不能办到．