中考数学操作型问题专题复习。

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，是认真规划好自己教案课件的时候了。认真做好教案课件的工作计划，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们清楚有哪些教案课件范文呢？以下是小编为大家收集的“中考数学操作型问题专题复习”希望能为您提供更多的参考。

初三第二轮复习专题二：操作型问题

【知识梳理】

操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进行图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换，通过动手操作和理性的思考，考查学生的空间想象、推理和创新能力。

解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．关键是抓住图形变化中的不变性。

【课前预习】

1、如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形，以上图形一定能被拼成的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，那么展开后三角形的周长是()

A．2＋B．2＋2C．12D．18

3．将两个形状相同的三角尺放置在一张矩形纸片上，按如图所示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_______．

【例题精讲】

例1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图①所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______．

例2、如图，在一块正方形ABCD木板上需贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．

【探究1】如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需________元；

【探究2】如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；

【探究3】设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？如果用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板多少块？

例3、如下图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图②，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．

(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离．

(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度．

(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.

例4．如图所示，有一张长为5，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

(1)该正方形的边长为______(结果保留根号)；

(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．

【巩固练习】

1、七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图①）经过平移、旋转拼成图形．

(1)拼成矩形，在图②中画出示意图；

(2)拼成等腰直角三角形．在图③中画出示意图．

注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格的顶点上．

2、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母

(保留作图痕迹，不写作法)．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；

③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.

(2)综合与运用:在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，

则：①AD与⊙O的位置关系是_______．②线段AE的长为_______．

【课后作业】班级姓名

一、必做题：

1、如图，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是()

2、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是()A．669B．670C．671D．672

3、如图，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()

A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2

4、请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形．

5．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．

(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；

(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形，

直接写出点B的对应点的坐标；

(3)请直接写出:以A,B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.

6、如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．

(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．

二、选做题：

7、在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的()

A．5B．4C．3D．1

8、正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝b(b2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动△FAG和△CBG的位置可构成正方形FGCH.

(1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

⑵要使(1)中所剪拼的新图形是正方形须满足BG:AE=.

9、阅读下面的材料：

小伟遇到这样一个问题，如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图②）．

请你回答：图②中△BDE的面积等于_______．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下面的问题：

如图③，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．

(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______．

延伸阅读

中考数学阅读理解型专题复习

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，接下来的工作才会更顺利！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？下面是小编为大家整理的“中考数学阅读理解型专题复习”，希望能对您有所帮助，请收藏。

中考数学专题复习（三）：阅读理解型

一、课标要求

阅读理解题，题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，又高于课本。这类问题，不仅能考查同学们阅读题中文字且获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等。同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力。

二、课前热身

1.已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°A180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为()

A.(-1，-)B.(-1，)C.(，-1)D.(-，-1)

2.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．已知加密规则为：明文对应的密文．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（）

Ａ．4，5，6Ｂ．6，7，2Ｃ．2，6，7Ｄ．7，2，6

3.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是()A.8B．15C．20D．30

4.已知x0，符号表示大于或等于x的最小正整数，如：［0.3］=1，［3.2］=4，［5］=5……

填空：［］=；［6.01］=＿＿＿＿；若［x］=3，则x的取值范围是。

5.符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1），，，，……

（2）,,,,……

利用以上规律计算：．

6.已知一元二次方程的两个根满足，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边.若a=c，求∠B的度数.

小敏很快解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答.

（1）若在原题中，将方程改为，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的的值作怎样的改变？并说明理由.

（2）若在原题中，将方程改为（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的的值应改为多少（不必说明理由）？

三、典型例题

例1.问题解决

如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于；

若则的值等于；

若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于．（用含的式子表示）

例2.对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数,表示这三个数中最大的数．例如：；；；

解决下列问题：（1）填空：；

如果，则的取值范围为．

（2）①如果，求；

②根据①，你发现了结论“如果，那么（填的大小关系）”．证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

若，则．

（3）小明认为：将（2）中“min”改为“max”，结论仍然成立。如果你认为他的结论正确，那么请你说明理由；如果认为不正确，那么请你给出一个反例。

四、课后练习

一、选择题

1.在生活中，我们有时用抽签的方法来决定某件事情．如，用抽签的方法从3名同学中选1名去参加音乐会，准备3张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画．把3张纸条折叠后放入一个盒子中搅匀，然后让甲、乙、丙依次去摸纸条，他们抽到画有记号的纸条的概率记P甲、P乙、P丙，则（）

A．P甲＞P乙＞P丙B．P甲＜P乙＜P丙C．P甲＞P乙＝P丙D．P甲＝P乙＝P丙

2.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中均为0或1，传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()

A．11010B．10111C．01100D．00011

3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（）

A．甲B．乙C．丙D．不能确定

二、填空题

1.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m=．

2.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是＿＿＿＿＿．

3.对于正数x，规定f（x）=,例如f（3）=，f（）=，计算f（）+f（）+f（）+…f（）+f（x）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）=.

4.一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第7个式子是，第个式子是（为正整数）．

5.在直角坐标系中，已知点A(3,2).作点A关于y轴的对称点为A1,作点A1关于原点的对称点为A2,作点A2关于x轴的对称点为A３，作点A３关于y轴的对称点为A4，…按此规律，则点A8的坐标为.

6.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于.

三、解答题

1.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”.（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾＝3时，股4＝(9-1)，弦5＝(9+1)；当勾＝5时，股12＝(25-1)，弦13＝(25+1)；……

请你根据小明发现的规律用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；

(2)继续观察4，3，5；6，8，10；，8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。请你直接用m(m为偶数且m≥4)的代数式来表示他们的股和弦.

2.请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；

（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．

解：（1）线段与的位置关系是；．

（2）

中考数学归纳猜想型问题复习导学案

2012年中考复习二轮材料

归纳猜想型问题

一．专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二．解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三．考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…则排在第六个位置的整式为．

【分析】符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n．

【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x6=﹣32x6．

故答案为：﹣32x6．

【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想＝；

（2）证明你猜想的结论；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根据的定义规则，可知，，，．则有．

（2）观察数表可知，第1问中的恰是的具体形式，若将赋值于不同的行与列，我们不难发现．

【解答】（1）

（2）证明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律．从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题．

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例1．（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．

【解答】∵图②平行四边形有5个=1+2+2，

图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，

图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故选C．

【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．

例2．（2011浙江舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．

【解答】由题意设被截去部分为5n+2+1=5n+3，从其选项中看，故选D．

【评注】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．

考点三：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

图甲

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

图乙

【分析】（1）显而易见，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

【评注】这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。

例2．（2011浙江衢州）是一张等腰直角三角形纸板，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【分析】解决问题的关键看内接正方形的一边与三角形重合的边落在三角形的哪条边上，通过对例题的分析，直角三角形的内接正方形有两种，比较两者的大小，可知，直角边上的内接正方形的边长比斜边上的内接正方形的边长大。

【解答】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得

又

甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，

解法2：如图甲，由题意得

如图乙，设

甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索规律可知：‘

剩余三角形的面积和为：

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为

第二次剪取后剩余三角形面积和为

第三次剪取后剩余三角形面积和为

……

第十次剪取后剩余三角形面积和为

【评注】类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法，它可以使一些数学问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。数学思维呈现形式是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求在教学过程中，有目的地进行思维训练，通过思维类比，不断在解决问题中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。

考点四：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例1．（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如右图所示。

前三次变换过程为下图所示：

可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换了一次，所以状态为上图所示，骰子朝上一面的点数是5。

【解答】B。

【评注】历年以“骰子”形式出现的中考题不在少数。本题以考查学生空间想象能力为出发点，将空间转化融入到正方体的旋转中。正方体表面展开图识别对面本不难，但这样一来难度陡然上升。三次变换循环的规律也要煞费周折。有点动手操作题的味道。题目呈现方式灵活，考查形式新颖，使日常熟悉的东西平中见奇。要求考生有很强的空间感，给平时靠死记硬背得分的同学一个下马威，也给教学中不重视动手探究的老师敲响了警钟。

例2.（2011湖南邵阳）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。

（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）

（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

【分析】证明线段相等，三角形全等是一种重要的方法。根据题目条件，结合图形，对应边角还是不难找的。关键是到正方形、正多边形，哪些条件变了，哪些没变。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）结论成立；

（3）。

【评注】三角形全等的判定是初中数学中的重点知识，第一问明显考查“角边角”方法的条件寻找。而从三角形到正方形的变化，抓住不变的东西，透视问题的本质，也不难得到正确答案。再到正多边形，是一个质的飞跃。在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，难度不算大，具有一定的区分度．

四．真题演练

1.（2011四川成都）设,,,…,

设，则S=_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

2.（2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.（用含n的代数式表示）

3．（2011河北）如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.

如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.

若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是____________.

4.（2010四川内江）阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（x1＋x22，y1＋y22）.

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为；

（2）另取两点B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为，;

拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆项法即可求和．

2.或

3.根据“移位”的特点，然后根据例子寻找规律，从而得出结论．

∵小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3，

同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，即连续循环两次，故仍回到顶点3．

故答案为：3．

4.设A、P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且为正整数).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵点P3与P2关于点B成中心对称，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵点P4与P3关于点C成中心对称，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012(2，3);

在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分练习部分

1.（2011湖南常德）先找规律，再填数：

2.（2011四川内江）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：

(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)归纳结论：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是．

3.（2011广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．

4.（2011广东东莞）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面积为.

5．（2011广东汕头）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；

（3）求第n行各数之和．

6.（2011四川凉山）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出的展开式。

（2）利用上面的规律计算：

7.（2011江苏南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y＝33x相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)计算:如图10①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C，求OA的长（用含的代数式表示）.

（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.

（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.设直线y＝33x与三个半圆分别切于A，

B，C，作AEX轴于E，则在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。则。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.

根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得

解得

∵为正整数∴=35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x为偶数时，结果为；当x为奇数时，结果为，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3．所以选择B。

3.图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，第2个图案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3个图案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此规律可得第6个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面积，第二个正三角形的面积是前一个正三角形面积的四分之一，第8个正△A8B8C8的面积是第一个正方形面积的，所以，第8个正△A8B8C8的面积是，选择C。

5.当OAn与轴正半轴重合时，度数为360m＋90是10的倍数，从2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必须是8的倍数或是8的倍数多4，当m为1，2，3时，无解，当m为4时，360m＋90＝1530，符合题意。故答案选B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.

根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得

解得

∵为正整数∴=35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江绍兴中考题）(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的长.

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如图2,过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。

中考数学开放性问题专题复习

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“中考数学开放性问题专题复习”，仅供参考，欢迎大家阅读。

初三第二轮复习专题一：开放性问题
【知识梳理】
1、条件开放型：指在结论不变的前提下，去探索添加必要的条件（不唯一）的题目．
2、结论开放型：即给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论．
3、策略开放型：一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题.
【课前预习】
1、如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使得△ABP≌△CDP
(不能添加辅助线)，你增加的条件是．
2、反比例函数与一次函数的图象如图所示，请写出一条正确的结论：．
3、如果．
【例题精讲】
例1、如图，△ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD，交直线OD于点E。
（1）求证：OE＝OD；
（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，还需△ABC满足什么条件时，四边形
BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明。

例2、如图，BC为⊙○的直径，AD⊥BC,垂足为D，弧AD=弧AF,BF与AD交与点E，试判断AE与BE的大小关系，并加以证明

例3、如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；
(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE.若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【巩固练习】
1、写出绝对值小于2的一个负数：．
2、两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．
3．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x＋4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有▲个．
4、如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的结论有(写出全部正确结论)．
5、如图AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
【课后作业】班级姓名
一、必做题：
1、写出一个开口向下的二次函数的表达式________．
2、在同一坐标平面内，图象不可能由函数y＝3x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是________．
3、抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：________，________.(对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外)
4、如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件______，使得AC＝DF.
5、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1＝2、r2＝4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是.
6、如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD.要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是．
7、如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
8、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是________．(写出一个即可)
9、如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.
(1)求证：AD＝AE；
(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

10、如图，在和中，、交于点M.
（1）求证：≌；
（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.
二、选做题：
11、如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.
12、如图，正方形ABCD的边长为2a,H是BC为直径的半圆上的一点，过点H作一条直线与半圆相切交AB、CD分别于点E、F。
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否变化？证明你的结论。
（2）若∠BEF=,求四边形BEFC的周长。
（3）若a=6,△BOE的面积为，△COF的面积为面积为，正方形ABCD的面积为s,若+=s,求BE、CF的长。

13、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．