高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案。
古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！
石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标：
掌握复数的乘法法与除法的运算法则，了解其几何意义，能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点：复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点：复数的乘法与除法的几何意义。
一、自主学习
一）合作探究
1、复数乘法运算法则：
z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i
2、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3、复数的乘方：
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)
4、几个特殊结论：规定i0=1
(1)i的周期性：i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果，则=，，，
1+，，，=。
(3)(1-i)2=，(1+i)2=。
5、复数的除法运算法则
(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a，b，c，d，x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者
（2）法则
==
(3)特殊结论：，，。
6、复数积与商的模：
(1)|z1z2|=|z1||z2|；(2)|zn|=|z|n(n∈N)；(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0)；
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1)；(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a，b，c，d，x，y∈R)满足(a+bi)2=(c+di)，那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。
二）典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).
例2计算.
例3设=，求证：（1）1+；（2）.
例4计算(1+2i)(3-4i)
例5已知，求
例6已知.
（1）若求;
（2）若，求的值。
例7求复数的平方根:(1)-3；(2)7-24i。
二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i，则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是_________________．
三、课堂小结
四、课后探究
在复数范围内解方程（为虚数单位）.
教师备课
学习资料
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复数的乘法与除法
经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为此，小编从网络上为大家精心整理了《复数的乘法与除法》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
复数的乘法与除法教学目标(1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算;
(2)能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题;
(3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;
(4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数,那么它们的积:
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律,实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成立,即对任何,,及,有:
,,;
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如,若由,就会得到的错误结论,对此一定要重视。
3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数,使它满足(这里,是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得:
,
由此
,
于是
得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.
4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出,也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的“”号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根。所以1在复数集C内至少有三个根:1,,。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式,在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中,要非凡注重等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.把握复数的代数形式的乘法运算法则,能熟练地进行复数代数形式的乘法运算;
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律;
3.知道复数的乘法是同复数的积,理解复数集C中正整数幂的运算律,把握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1.引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法,其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢?
教学中,可让学生先按此办法计算,然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照,从而引入新课.
2.提出复数的代数形式的运算法则:
.
指出这一法则也是一种规定,由于它与多项式乘法运算法则一致,因此,不需要记忆这个公式.
3.引导学生证实复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4.讲解例1、例2
例1求.
此例的解答可由学生自己完成.然后,组织讨论,由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质:.
教学过程中,也可以引导学生用以上公式来证实:
.
例2计算.
教学中,可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算;第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题?
5.引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中,可根据学生的情况,考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6.讲解例3
例3设,求证:(1);(2)
讲此例时,应向学生指出:(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立;(2)复数的混合运算也是乘方,乘除,最后加减,有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考:(1)课本中关于(2)小题的注解;(2)假如,则与还成立吗?
7.课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8.归纳总结
(1)学生填空:
;==.
设,则=,=,=,=.
设(或),则,.
(2)对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
3.1数系的扩充问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．
2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么怎么才能写出优秀的教案呢？小编收集并整理了“2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
1.1独立性检验
在从烟台大连的某次航运中，海上出现恶劣气候，随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如下表：
晕船不晕船合计
男人325183
女人82432
合计4075115
问题1：上述表格在数学中是如何定义的？
提示：此表格为22列联表．
问题2：据此资料，你是否认为在恶劣气候中航行，男人比女人更容易晕船？
提示：不能认为．
问题3：判断上述问题应运用什么方法？
提示：独立性检验．
1．22列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B，Ⅱ也有两类取值类1和类2，可以得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1类2合计
Ⅰ类Aaba＋b
类Bcdc＋d
合计a＋cb＋da＋b＋c＋d
将形如此表的表格称为22列联表．
2．卡方统计量
为了消除样本量对|ad－bc|的影响，统计学中引入下面的量(称为卡方统计量)：
2＝．①
其中n＝a＋b＋c＋d为样本量．
3．独立性检验
利用2统计量来研究两类对象是否有关系的方法称为独立性检验．
4．要推断Ⅰ与Ⅱ有关系，可按下面的步骤进行
(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2)根据22列联表与公式①计算2的值；
(3)查对临界值(如表)，作出判断．
P(2x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
例如：
①若210.828，则有99.9%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
②若26.635，则有99%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
③若22.706，则有90%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
④若22.706，则认为没有充分的证据显示Ⅰ与Ⅱ有关系，但也不能作出结论H0成立，即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系．
1．在列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc0.因此|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．独立性检验的基本思想类似于反证法，我们可以利用独立性检验来考察两个对象是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度．
[例1]在一项有关性别与喜欢吃甜食的关系的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
[思路点拨]在22列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析]作列联表如下：
喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计
男117413530
女492178670
合计6095911200
[一点通](1)分清类别是作列联表的关键；
(2)表中排成两行两列的数据是调查得来的结果；
(3)选取数据时，要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于5，以保证检验结果的可信度．
1．下面是一个22列联表：
y1y2合计
x1a2173
x282533
合计b46
则表中a＝________，b＝________．
解析：∵a＋21＝73，a＝73－21＝52.
又∵a＋8＝b，b＝52＋8＝60.
答案：5260
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张；性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人，作出22列联表．
解：作列联表如下：
性格内向性格外向合计
考前心情紧张332213545
考前心情不紧张94381475
合计4265941020
[例2]某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
阳性例数阴性例数合计
新防护服57075
旧防护服101828
合计1588103
问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．
[思路点拨]通过有关数据的计算，作出相应的判断．
[精解详析]提出假设H0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果．
根据列联表中的数据可求得
2＝13.826.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.82610.828，所以我们有99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效．
[一点通]根据22列联表，利用公式
计算2的值，再与临界值比较，作出判断．
3．有300人按性别和是否色弱分类如下表：
男女
正常132151
色弱125
色弱与性别是否有关？
解：提出假设H0：色弱与性别无关．
通过计算2知，
2＝
＝
3.6839.
因为H0成立时，22.706的概率约为0.10，
而这里23.68392.706，故有90%的把握说色弱与性别有关．
4．有甲、乙两个班级进行一门课的考试，按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：
优秀不优秀合计
甲班103545
乙班73845
合计177390
利用列联表的独立性检验估计成绩与班级是否有关系．
解：提出假设H0：成绩与班级没有关系．由列联表中所给数据，可得2＝0.653＜0.708.
因为当H0成立时，20.653的概率大于40%，这概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出成绩与班级有关的结论．
[例3]为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．
[思路点拨]正确地写出两个分类变量的四个取值，画出22列联表是解决问题的关键，利用2公式，计算2的值，进而与临界值比较大小，作出结论．
[精解详析]22列联表如下
合格品数次品数合计
甲在生产现场9828990
甲不在生产现场49317510
合计1475251500
提出假设
H0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．
根据2公式得
2＝13.097.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.09710.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．
[一点通](1)通过分析题可以画出列联表，然后求得2值．
(2)进行独立性检验时和反证法的思想一样，都是先假设与预定的结论相反，然后推出矛盾，在实际做题中成了程序化的步骤，只需求出2值，与临界值相比较即可．
5．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者男女合计
需要403070
不需要160270430
合计200300500
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)有多大的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(2x0)0.0500.0100.001
x03.8416.63510.828
2＝.
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)提出假设H0：该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别无关，由列联表中所给数据，可得
2＝9.967.
因为H0成立时，29.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
6．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷，已知体育迷中有10名女性．
根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为体育迷与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
合计
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育迷有25人，从而22列联表如下：
非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
合计7525100
将22列联表中的数据代入公式计算，
得2＝＝3.030.
因为3.0303.841，所以没有95%的把握认为体育迷与性别有关．
1．独立性检验与反证法的区别和联系
(1)联系
可以用反证法的思想解释独立性检验原理，它们的对应关系为：
反证法思想独立性检验
要证明结论A提出假设H0
在A不成立的前提下进行推理在H0成立的条件下推理
推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H0成立的小概率事件发生，意味着H0的反面成立的可能性很大
没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H0成立的小概率事件不发生，接受原假设
(2)区别
一是独立性检验中用有利于H0的小概率事件的发生代替了反证法思想中的矛盾；二是独立性检验中接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾．
2．利用22列联表进行独立性检验的一般步骤
一、填空题
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关、无关)
解析：∵2＝27.63，2＞10.828
有理由认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是________．
①若2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病；
③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误；
④以上三种说法均不正确．
解析：若有95%的把握认为两个变量有关系，则说明判断出错的可能性是5%.
答案：③
3．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：
理科文科合计
男131023
女72027
合计203050
已知P(23.841)0.05，P(25.024)0.025，
根据表中数据得到2＝4.844.
则有________的把握认为选修文科与性别有关．
答案：95%
4．考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如下表所示的数据：
种子处理种子未处理合计
得病32101133
不得病61213274
合计93314407
根据以上数据得2的值是________．
解析：由2＝，得2＝0.164.
答案：0.164
5．为大力提倡厉行节约，反对浪费，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到光盘行动，得到如下的列联表：
做不到光盘能做到光盘
男4510
女3015
附：
P(2x0)0.100.050.025
x02.7063.8415.024
2＝
参照附表，得到的正确结论的序号是________．
①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别无关；
③有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
④有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别无关．
解析：2＝3.03＞2.706，
有90%以上把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关，即犯错不超过10%.
答案：③
二、解答题
6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀成绩较差合计
兴趣浓厚的643094
兴趣不深厚的227395
合计86103189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解：提出假设H0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．
由公式得2的值
2＝38.459.
∵当H0成立时，210.828的概率约为0.001，
而这里238.45910.828，
有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．
7．有两个变量x，y，其一组观测值如下面的22列联表所示：
y1y2
x1a20－a
x215－a30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有90%的把握认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使x与y之间有90%的把握认为有关系，则22.706，
由题意，得2＝＝
＝，
由22.706，解得a7.19或a2.04.
又a5，且15－a5，aZ，a＝8，9.
当a等于8或9时，有90%的把握认为x与y之间有关系．
8．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在25周岁以上(含25周岁)和25周岁以下分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
规定日平均生产件数不少于80件者为生产能手，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关？
解：由已知得样本中有25周岁以上组工人100＝60人，25周岁以下组工人，100＝40人．由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上组中的生产能手有60(0.0050＋0.0200)10＝15(人)，25周岁以下组中的生产能手有40(0.0325＋0.0050)10＝15(人)，据此可得22列联表如下：
生产能手非生产能手合计
25周岁以上组154560
25周岁以下组152540
合计3070100
所以得2＝
＝
＝1.786.
因为1.786＜2.706，
所以没有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关．
选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案
作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
第三章数系的扩充与复数的引入
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.是复数为纯虚数的（）
A．充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件
2.设，则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．（）
A．B．C．D．
4．复数z满足，那么＝（）
A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i
5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（）
A.2B.23C.2D.－23
6.集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）
A｛0，2，－2｝B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2｝D.｛0，2，－2，2，－2｝
7.设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（）
8、复数，则在复平面内的点位于第（）象限。
A．一B.二C.三D.四
9.复数不是纯虚数，则有（）
10.设i为虚数单位，则的值为（）
A．4B.－4C.4iD.－4i
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。）
11.设（为虚数单位），则z=；|z|=.
12.复数的实部为，虚部为。
13.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=
14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分12分）
已知复数z=(2+)).当实数m取什么值时,复数z是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
（本小题满分13分）
17．（本小题满分13分）
设R，若z对应的点在直线上。求m的值。
18．（本小题满分14分）
已知关于的方程组有实数，求的值。
19.（本小题满分14分）
20（本小题满分13分）
若复数，求实数使。（其中为的共轭复数）
第三章数系的扩充与复数的引入
1.解析：B
2.解析：D点拨：。
3.解析：B点拨：原式＝＝
4.解析：B点拨：化简得
5.解析：D点拨：，由因为实部与虚部互为相反数，即，解得。
6.解析：A点拨：根据成周期性变化可知。
7.解析：B点拨：
8.解析：D点拨：
9.解析：C点拨：需要，即。
10.解析：B点拨：=－4
11.解析：，点拨：
12.解析：1，点拨：
13.解析：点拨：设代入解得，故
14.解析：1点拨：
16．解：
将上述结果代入第二个等式中得
20.解析：由，可知，代入得：
，即
则，解得或。
