88教案网

你的位置: 教案 > 高中教案 > 导航 > 数系的扩充和复数的概念导学案

高中复数教案

发表时间:2020-10-13

数系的扩充和复数的概念导学案。

古人云,工欲善其事,必先利其器。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《数系的扩充和复数的概念导学案》,供您参考,希望能够帮助到大家。

石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标:
1、了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点:
复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点:
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾:
数的概念是从实践中产生和发展起来的,由于计数的需要,就产生了1,2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数,叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究:
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1,即;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2.与-1的关系:就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-!
2、的周期性:4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.
7、两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等
这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d
复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数?
答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-;虚部分别是3,,-,-;-i是纯虚数.
例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?
答:实部是3.14,虚部是-2.
易错为:实部是-2,虚部是3.14!
例3实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
[分析]因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;
(3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z是纯虚数.
例4已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.
解:根据复数相等的定义,得方程组,所以x=,y=4
课堂巩固
1、设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足()
A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2
3、复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i.
归纳反思

课后探究
1、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数,求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.

延伸阅读

高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案


石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标:
1、了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点:
复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点:
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾:
数的概念是从实践中产生和发展起来的,由于计数的需要,就产生了1,2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数,叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究:
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1,即;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2.与-1的关系:就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-!
2、的周期性:4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.
7、两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等
这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d
复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数?
答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-;虚部分别是3,,-,-;-i是纯虚数.
例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?
答:实部是3.14,虚部是-2.
易错为:实部是-2,虚部是3.14!
例3实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
[分析]因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;
(3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z是纯虚数.
例4已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.
解:根据复数相等的定义,得方程组,所以x=,y=4
课堂巩固
1、设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足()
A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2
3、复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i.
归纳反思

课后探究
1、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数,求m的值.

2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.

数系的扩充与复数的引入


数系的扩充与复数的引入

1、了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用.
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
3、了解复数的代数表示法及其几何意义,能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

重视复数的概念和运算,注意复数问题实数化.
第1课时复数的有关概念

1.复数:形如的数叫做复数,其中a,b分别叫它的和.
2.分类:设复数:
(1)当=0时,z为实数;
(2)当0时,z为虚数;
(3)当=0,且0时,z为纯虚数.
3.复数相等:如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等.
4.共轭复数:当两个复数实部,虚部时.这两个复数互为共轭复数.(当虚部不为零时,也可说成互为共轭虚数).
5.若z=a+bi,(a,bR),则|z|=;z=.
6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做,叫虚轴.
7.复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系.
8.两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数,就比较它们的大小.

例1.m取何实数值时,复数z=+是实数?是纯虚数?
解:①z是实数
②z为纯虚数
变式训练1:当m分别为何实数时,复数z=m2-1+(m2+3m+2)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
解:(1)m=-1,m=-2;(2)m≠-1,m≠-2;(3)m=1;(4)m=-1.
例2.已知x、y为共轭复数,且,求x.
解:设代入由复数相等的概念可得
变式训练2:已知复数z=1+i,如果=1-i,求实数a,b的值.
由z=1+i得
==(a+2)-(a+b)i
从而,解得.
例3.若方程至少有一个实根,试求实数m的值.
解:设实根为,代入利用复数相等的概念可得=
变式训练3:若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.
解:t=-3,x1=0,x2=3i.提示:提示:设出方程的纯虚数根,分别令实部、虚部为0,将问题转化成解方程组.
例4.复数满足,试求的最小值.
设,则,
于是
变式训练4:已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、,其中,设对应的复数为.
(1)求复数;
(2)若复数对应的点P在直线上,求的值.
解:(1)
(2)将代入
可得.

1.要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时,对实部和虚部的约束条件.
2.设z=a+bi(a,bR),利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.
第2课时复数的代数形式及其运算

1.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:
设,则
(1)=;
(2)=;
(3)=().
2.几个重要的结论:

⑵==.
⑶若z为虚数,则=
3.运算律
⑴=.
⑵=.
⑶=.

例1.计算:
解:提示:利用
原式=0
变式训练1:求复数
(A)(B)(C)(D)
解:故选C;
例2.若,求
解:提示:利用
原式=
变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲.
解:2
例3.已知,问是否存在复数z,使其满足(aR),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由
解:提示:设利用复数相等的概念有
变式训练3:若,其中是虚数单位,则a+b=__________
解:3
例4.证明:在复数范围内,方程(为虚数单位)无解.
证明:原方程化简为
设、y∈R,代入上述方程得
将(2)代入(1),整理得无实数解,∴原方程在复数范围内无解.
变式训练4:已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若,求a的取值范围.
解:由题意得z1==2+3i,
于是==,=.
由,得a2-8a+70,1a7.

1.在复数代数形式的四则运算中,加减乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化,必须准确熟练地掌握.
2.记住一些常用的结果,如的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.
3.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别,在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.
复数章节测试题
一、选择题
1.若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为()
A、-6B、13C.D.
2.定义运算,则符合条件的复数对应的点在()
A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限;
3.若复数是纯虚数(是虚数单位),则实数()
A.-4;B.4;C.-1;D.1;
4.复数=()
A.-IB.IC.2-iD.-2+i
6.若复数在复平面上对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是()
A.B.C.D.
7.已知复数z满足,则z=()
(A)-1+i(B)1+i(C)1-i(D)-1-i
8.若复数,且为纯虚数,则实数为()
A.1B.-1C.1或-1D.0
9.如果复数的实部和虚部相等,则实数等于()
(A)(B)(C)(D)
10.若z是复数,且,则的一个值为()
A.1-2B.1+2C.2-D.2+
11.若复数为纯虚数,其中为虚数单位,则=()
A.B.C.D.
12.复数在复平面中所对应的点到原点的距离为()
A.12B.22C.1D.2
二、填空题
13.设,a,b∈R,将一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数为a,第二次得到的点数为b,则使复数z2为纯虚数的概率为.
14.设i为虚数单位,则.
15.若复数z满足方程,则z=.

16..已知实数x,y满足条件,(为虚数单位),则的最小值是.
17.复数z=,则|z|=.
18.虚数(x-2)+y其中x、y均为实数,当此虚数的模为1时,的取值范围是()
A.[-,]B.∪(
C.[-,]D.[-,0∪(0,
19.已知(a0),且复数的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数的模.

20..复平面内,点、分别对应复数、,且,,
,若可以与任意实数比较大小,求的值(O为坐标原点).

复数章节测试题答案
一、选择题
1.A2.答案:A3.答案:B
4.答案:B
6.答案:A
7.A
8.B
9.B
10.B
11.D
12.B
二、填空题
13.
14.2i
15.
16.答案:22
17.答案:
18.答案:B∵,设k=,
则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点
的直线斜率,作图如下,k≤,
又∵y≠0,∴k≠0.由对称性选B.
【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力,利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0,这一易错点.
【误区警示】本题属于基础题,每步细心计算是求解本题的关键,否则将会遭遇“千里之堤,溃于蚁穴”之尴尬.
19.解:
20.解:依题意为实数,可得

数系的扩充与复数的引入导学案及练习题


一、基础过关
1.“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”是“a=0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.下列命题正确的是()
A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数
B.若a,b∈R且ab,则a+ib+i
C.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1
D.两个虚数不能比较大小
3.以-5+2i的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是()
A.2-2iB.-5+5i
C.2+iD.5+5i
4.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()
A.12B.2C.0D.1
5.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()
A.-1B.0C.1D.-1或1
二、能力提升
6.若sin2θ-1+i(2cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为()
A.2kπ-π4(k∈Z)B.2kπ+π4(k∈Z)
C.2kπ±π4(k∈Z)D.k2π+π4(k∈Z)
7.z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=______,n=______.
8.给出下列几个命题:
①若x是实数,则x可能不是复数;
②若z是虚数,则z不是实数;
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;
④-1没有平方根.
则其中正确命题的个数为________.
9.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},
则实数a=________.
10.实数m分别为何值时,复数z=2m2+m-3m+3+(m2-3m-18)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

11.已知(2x-y+1)+(y-2)i=0,求实数x,y的值.

12.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1z2,求实数m的取值范围.

高二数学数系的扩充学案练习题


§3.1数系的扩充
一、知识要点
1.复数的概念;
2.复数的表示;
3.两个复数相等的充要条件;
4.两个虚数只有相等与不等关系,不能比较大小.
二、典型例题
例1.写出复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?

例2.实数取什么值时,复数是
①实数?②虚数?③纯虚数?

例3.已知,求实数的值.

例4.已知复数,求实数的值.

三、巩固练习
1.下列结论中,正确的是()
A.B.
C.D.
2.实数为何值时,复数分别是①实数;②虚数;③纯虚数.

3.求满足下列条件的实数的值.
四、小结
五、作业
1.是复数为纯虚数的条件.
2.复数的虚部是.
3.如果复数是虚数,则满足的条件是.
4.以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是.
5.当实数=时,是纯虚数.
6.若复数和相等,则的值为.
7.若,则是的条件.
8.若,则实数的值(或范围)是.
9.若为纯虚数,求实数的值.

10.已知.①求实数;②求复数.

订正栏: