2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么怎么才能写出优秀的教案呢？小编收集并整理了“2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

1.1独立性检验
在从烟台大连的某次航运中，海上出现恶劣气候，随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如下表：
晕船不晕船合计
男人325183
女人82432
合计4075115
问题1：上述表格在数学中是如何定义的？
提示：此表格为22列联表．
问题2：据此资料，你是否认为在恶劣气候中航行，男人比女人更容易晕船？
提示：不能认为．
问题3：判断上述问题应运用什么方法？
提示：独立性检验．
1．22列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B，Ⅱ也有两类取值类1和类2，可以得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1类2合计
Ⅰ类Aaba＋b
类Bcdc＋d
合计a＋cb＋da＋b＋c＋d
将形如此表的表格称为22列联表．
2．卡方统计量
为了消除样本量对|ad－bc|的影响，统计学中引入下面的量(称为卡方统计量)：
2＝．①
其中n＝a＋b＋c＋d为样本量．
3．独立性检验
利用2统计量来研究两类对象是否有关系的方法称为独立性检验．
4．要推断Ⅰ与Ⅱ有关系，可按下面的步骤进行
(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2)根据22列联表与公式①计算2的值；
(3)查对临界值(如表)，作出判断．
P(2x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
例如：
①若210.828，则有99.9%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
②若26.635，则有99%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
③若22.706，则有90%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
④若22.706，则认为没有充分的证据显示Ⅰ与Ⅱ有关系，但也不能作出结论H0成立，即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系．
1．在列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc0.因此|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．独立性检验的基本思想类似于反证法，我们可以利用独立性检验来考察两个对象是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度．
[例1]在一项有关性别与喜欢吃甜食的关系的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
[思路点拨]在22列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析]作列联表如下：
喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计
男117413530
女492178670
合计6095911200
[一点通](1)分清类别是作列联表的关键；
(2)表中排成两行两列的数据是调查得来的结果；
(3)选取数据时，要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于5，以保证检验结果的可信度．
1．下面是一个22列联表：
y1y2合计
x1a2173
x282533
合计b46
则表中a＝________，b＝________．
解析：∵a＋21＝73，a＝73－21＝52.
又∵a＋8＝b，b＝52＋8＝60.
答案：5260
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张；性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人，作出22列联表．
解：作列联表如下：
性格内向性格外向合计
考前心情紧张332213545
考前心情不紧张94381475
合计4265941020
[例2]某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
阳性例数阴性例数合计
新防护服57075
旧防护服101828
合计1588103
问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．
[思路点拨]通过有关数据的计算，作出相应的判断．
[精解详析]提出假设H0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果．
根据列联表中的数据可求得
2＝13.826.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.82610.828，所以我们有99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效．
[一点通]根据22列联表，利用公式
计算2的值，再与临界值比较，作出判断．
3．有300人按性别和是否色弱分类如下表：
男女
正常132151
色弱125
色弱与性别是否有关？
解：提出假设H0：色弱与性别无关．
通过计算2知，
2＝
＝
3.6839.
因为H0成立时，22.706的概率约为0.10，
而这里23.68392.706，故有90%的把握说色弱与性别有关．
4．有甲、乙两个班级进行一门课的考试，按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：
优秀不优秀合计
甲班103545
乙班73845
合计177390
利用列联表的独立性检验估计成绩与班级是否有关系．
解：提出假设H0：成绩与班级没有关系．由列联表中所给数据，可得2＝0.653＜0.708.
因为当H0成立时，20.653的概率大于40%，这概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出成绩与班级有关的结论．
[例3]为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．
[思路点拨]正确地写出两个分类变量的四个取值，画出22列联表是解决问题的关键，利用2公式，计算2的值，进而与临界值比较大小，作出结论．
[精解详析]22列联表如下
合格品数次品数合计
甲在生产现场9828990
甲不在生产现场49317510
合计1475251500
提出假设
H0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．
根据2公式得
2＝13.097.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.09710.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．
[一点通](1)通过分析题可以画出列联表，然后求得2值．
(2)进行独立性检验时和反证法的思想一样，都是先假设与预定的结论相反，然后推出矛盾，在实际做题中成了程序化的步骤，只需求出2值，与临界值相比较即可．
5．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者男女合计
需要403070
不需要160270430
合计200300500
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)有多大的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(2x0)0.0500.0100.001
x03.8416.63510.828
2＝.
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)提出假设H0：该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别无关，由列联表中所给数据，可得
2＝9.967.
因为H0成立时，29.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
6．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷，已知体育迷中有10名女性．
根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为体育迷与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
合计
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育迷有25人，从而22列联表如下：
非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
合计7525100
将22列联表中的数据代入公式计算，
得2＝＝3.030.
因为3.0303.841，所以没有95%的把握认为体育迷与性别有关．
1．独立性检验与反证法的区别和联系
(1)联系
可以用反证法的思想解释独立性检验原理，它们的对应关系为：
反证法思想独立性检验
要证明结论A提出假设H0
在A不成立的前提下进行推理在H0成立的条件下推理
推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H0成立的小概率事件发生，意味着H0的反面成立的可能性很大
没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H0成立的小概率事件不发生，接受原假设
(2)区别
一是独立性检验中用有利于H0的小概率事件的发生代替了反证法思想中的矛盾；二是独立性检验中接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾．
2．利用22列联表进行独立性检验的一般步骤
一、填空题
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关、无关)
解析：∵2＝27.63，2＞10.828
有理由认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是________．
①若2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病；
③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误；
④以上三种说法均不正确．
解析：若有95%的把握认为两个变量有关系，则说明判断出错的可能性是5%.
答案：③
3．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：
理科文科合计
男131023
女72027
合计203050
已知P(23.841)0.05，P(25.024)0.025，
根据表中数据得到2＝4.844.
则有________的把握认为选修文科与性别有关．
答案：95%
4．考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如下表所示的数据：
种子处理种子未处理合计
得病32101133
不得病61213274
合计93314407
根据以上数据得2的值是________．
解析：由2＝，得2＝0.164.
答案：0.164
5．为大力提倡厉行节约，反对浪费，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到光盘行动，得到如下的列联表：
做不到光盘能做到光盘
男4510
女3015
附：
P(2x0)0.100.050.025
x02.7063.8415.024
2＝
参照附表，得到的正确结论的序号是________．
①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别无关；
③有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
④有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别无关．
解析：2＝3.03＞2.706，
有90%以上把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关，即犯错不超过10%.
答案：③
二、解答题
6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀成绩较差合计
兴趣浓厚的643094
兴趣不深厚的227395
合计86103189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解：提出假设H0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．
由公式得2的值
2＝38.459.
∵当H0成立时，210.828的概率约为0.001，
而这里238.45910.828，
有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．
7．有两个变量x，y，其一组观测值如下面的22列联表所示：
y1y2
x1a20－a
x215－a30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有90%的把握认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使x与y之间有90%的把握认为有关系，则22.706，
由题意，得2＝＝
＝，
由22.706，解得a7.19或a2.04.
又a5，且15－a5，aZ，a＝8，9.
当a等于8或9时，有90%的把握认为x与y之间有关系．
8．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在25周岁以上(含25周岁)和25周岁以下分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
规定日平均生产件数不少于80件者为生产能手，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关？
解：由已知得样本中有25周岁以上组工人100＝60人，25周岁以下组工人，100＝40人．由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上组中的生产能手有60(0.0050＋0.0200)10＝15(人)，25周岁以下组中的生产能手有40(0.0325＋0.0050)10＝15(人)，据此可得22列联表如下：
生产能手非生产能手合计
25周岁以上组154560
25周岁以下组152540
合计3070100
所以得2＝
＝
＝1.786.
因为1.786＜2.706，
所以没有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关．

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2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．

高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标：
掌握复数的乘法法与除法的运算法则，了解其几何意义，能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点：复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点：复数的乘法与除法的几何意义。

一、自主学习
一）合作探究
1、复数乘法运算法则：
z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3、复数的乘方：
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)

4、几个特殊结论：规定i0=1
(1)i的周期性：i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果，则=，，，
1+，，，=。
(3)(1-i)2=，(1+i)2=。

5、复数的除法运算法则
(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a，b，c，d，x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者

（2）法则
==
(3)特殊结论：，，。
6、复数积与商的模：
(1)|z1z2|=|z1||z2|；(2)|zn|=|z|n(n∈N)；(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0)；
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1)；(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a，b，c，d，x，y∈R)满足(a+bi)2=(c+di)，那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。

二）典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).

例2计算.
例3设=，求证：（1）1+；（2）.

例4计算(1+2i)(3-4i)

例5已知，求
例6已知.
（1）若求;
（2）若，求的值。

例7求复数的平方根:(1)-3；(2)7-24i。

二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i，则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是_________________．

三、课堂小结

四、课后探究
在复数范围内解方程（为虚数单位）.
教师备课
学习资料

苏教版高中数学必修1全套学案

§1.1集合的含义及其表示（1）
【教学目标】
1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.
2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.
3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．
【考纲要求】
1．知道常用数集的概念及其记法.
2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.
【课前导学】
1．集合的含义：构成一个集合.
（1）集合中的元素及其表示：.
（2）集合中的元素的特性：.
（3）元素与集合的关系：
（i）如果a是集合A的元素，就记作__________读作“___________________”；
（ii）如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”.
【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】
2．常用数集及其记法：
一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________，
整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.
3．集合的分类：
按它的元素个数多少来分：
（1）________________________叫做有限集；
（2）________________________叫做无限集；
（3）_______________叫做空集，记为_____________
4.集合的表示方法：
（1）________________________叫做列举法；
（2）________________________叫做描述法.
（3）_______________叫做文氏图
【例题讲解】
例1、下列每组对象能否构成一个集合？
(1)高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；
(3)所有正三角形的全体；(4)方程的实数解；(5)不等式的所有实数解.

例2、用适当的方法表示下列集合
①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作；
②直线上点的集合记作；
③不等式的解组成的集合记作；
④方程组的解组成的集合记作；
⑤第一象限的点组成的集合记作；
⑥坐标轴上的点的集合记作.
例3、已知集合,若中至多只有一个元素，求实数的取值范围.

【课堂检测】
1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________
2．已知2a∈A，a2-a∈A，若A含2个元素，则下列说法中正确的是
①a取全体实数；②a取除去0以外的所有实数；
③a取除去3以外的所有实数；④a取除去0和3以外的所有实数
3．已知集合，则满足条件的实数x组成的集合

【教学反思】

§1.1集合的含义及其表示（2）
【教学目标】
1．进一步加深对集合的概念理解；
2．认真理解集合中元素的特性；
3.熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性.
【考纲要求】
3．知道常用数集的概念及其记法.
4．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.
【课前导学】
1．集合，则集合中的元素有个.
2．若集合为无限集，则.
3.已知x2∈{1，0，x}，则实数x的值.
4.集合,则集合=.
【例题讲解】
例1、观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？
(1)(2)(3)

例2、含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求.

例3、已知集合，若,求的值.

【课堂检测】
1.用适当符号填空：
(1)(2)
2．设,集合，则.
3．将下列集合用列举法表示出来:

【教学反思】

§1.2子集全集补集（1）

【教学目标】
1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；
2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.
【考纲要求】
1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.
2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
【课前导学】
1．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（），则称
集合A为集合B的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符号语言可表示为：________________，如右图所示：________________.
2．子集的性质：①AA②③,则
【思考】:与能否同时成立？
【答】
3．真子集的概念及记法：
如果，并且，这时集合称为集合的真子集,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①是任何的真子集符号表示为___________________
②真子集具备传递性符号表示为___________________
【例题讲解】
例1、下列说法正确的是_________
（1）若集合是集合的子集，则中的元素都属于；
（2）若集合不是集合的子集，则中的元素都不属于；
（3）若集合是集合的子集，则中一定有不属于的元素；
（4）空集没有子集.
例2.以下六个关系，其中正确的是_________
（1）；（2）（3）（4）（5）（6）

【人教B版】2019年高中选修2-2数学：第1章-导数及其应用-全册学案（7份，含答案）

1.1导数
1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率．
2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．
3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x＝x1－x0，y＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)，则当x0时，商________________称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋x](或[x0＋x，x0])的平均变化率．
x，y的值可正、可负，但x的值不能为0，y的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则y＝0.
【做一做1－1】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，x＝0.1时，y的值为()．
A．0.40B．0.41
C．0.43D．0.44
【做一做1－2】在x＝1附近，取x＝0.3，在四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平均变化率最大的是()．
A．④B．③C．②D．①
2．瞬时变化率与导数
(1)设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为x时，函数值相应地改变y＝f(x0＋x)－f(x0)．
如果当x趋近于0时，平均变化率yx＝f(x0＋x)－f(x0)x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的__________．
(2)当x趋近于0时，f(x0＋x)－f(x0)x趋近于常数l可以用符号记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)xl，或记作f(x0＋x)－f(x0)x＝l，符号读作趋近于．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的______，并记作f(x0)．
这时又称f(x)在点x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)x________或f(x0＋x)－f(x0)x＝________．
(3)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)______．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)．于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的______，记为f(x)或y(或yx)．
导函数通常简称为______．
(1)x是自变量x在x0处的改变量，x0，而y是函数值的改变量，可以是零．
(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：
y＝f(x＋x)－f(x)x；
y＝f(x)－f(x＋x)－x；
y＝f(x－x)－f(x)－x；
y＝f(x)－f(x0)x－x0.
【做一做2－1】若质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()．
A．6B．18C．54D．81
【做一做2－2】已知函数f(x)在x＝x0处可导，则limx0f(x0＋x)－f(x0)x()．
A．与x，x0都有关
B．仅与x0有关而与x无关
C．仅与x有关而与x0无关
D．与x0，x均无关
3．导数的几何意义
设函数y=f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0+x，f(x0+x))的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．于是，当x0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即f(x0＋x)－f(x0)x＝切线AD的斜率．
由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于________．
【做一做3－1】曲线y＝－3x2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为()．
A．－6B．6C．0D．不存在
【做一做3－2】下面说法正确的是()．
A．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f(x0)必存在
C．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f(x0)有可能存在
1．函数f(x)在点x＝x0处的导数导函数导数三者有何关系？
剖析：(1)函数在点x＝x0处的导数f(x0)是一个数值，不是变量．
(2)导函数也简称导数，所以
(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．
2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：
在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．
观察图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．
一般地，过曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)作曲线的割线PQ，当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
在这里，要注意，曲线y＝f(x)在点P处的切线：(1)与点P的位置有关；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．
题型一求瞬时速度
【例题1】已知物体的运动方程如下：求此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m，时间的单位：s)
分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．
反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度．
题型二导数定义的应用
【例题2】过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋x,1＋y)作曲线的割线，求出当x＝0.1时割线的斜率．
分析：割线PQ的斜率即为函数f(x)在x＝1到x＝1＋x之间的平均变化率yx.
反思：一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线上的定点，点Q(x0＋x，y0＋y)是C上与点P邻近的点，有
y0＝f(x0)，y0＋y＝f(x0＋x)，
y＝f(x0＋x)－f(x0)，
割线PQ的斜率为
tan＝yx＝f(x0＋x)－f(x0)x，
曲线C在点P处的斜率为
tan＝＝.
题型三求切线方程
【例题3】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．
反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：
①求函数值的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；
②求割线的斜率tan＝yx；
③求极限＝；
④若极限存在，则切线的斜率.
(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：
①先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)；
②根据点斜式得切线方程为y－y0＝f(x0)(x－x0)．
题型四易错辨析
易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．
【例题4】试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
错解：yx＝(x＋x)3＋1－x3－1x＝3x(x)2＋3x2x＋(x)3x＝3xx＋3x2＋(x)2，yx＝3x2，因此y＝3x2，所以切线在x＝1处的斜率k＝3.故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
1一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在时间[1,1＋t]内的平均速度为()．
A．3t＋6B．－3t＋6
C．3t－6D．－3t－6
2设函数f(x)＝ax3＋2，若f(－1)＝3，则a＝()．
A．－1B．12C．1D．13
3设f(x)为可导函数且满足,则过曲线y＝f(x)上的点(1，f(1))的切线的斜率为()．
A．2B．－1
C．1D．－2
4一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为______m/s.
5已知函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线方程为____________________．
答案：
基础知识梳理
【做一做1－1】B∵x＝2，x＝0.1，y＝f(x＋x)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
【做一做1－2】B根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.
2．(1)瞬时变化率(2)导数f(x0)f(x0)
(3)可导导函数导数
【做一做2－1】B瞬时速度v＝limt0st＝limt0s?3＋t?－s?3?t＝limt0(3t＋18)＝18.
【做一做2－2】B由导数的定义，对给定的可导函数f(x)有f?x0＋x?－f?x0?x＝f(x0)．显然，f(x0)仅与x0有关而与x无关．
3．f(x0)
【做一做3－1】Cf(0)＝－3?0＋x?2＋2－?0＋2?x＝(－3x)＝0.
【做一做3－2】C函数f(x)在一点x＝x0处的导数f(x0)的几何意义是y＝f(x)在这一点处切线的斜率，但f(x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．
典型例题领悟
【例题1】解：当t＝1时，s＝3t2＋1，
v＝st＝s?t＋t?－s?t?t
＝3?1＋t?2＋1－312－1t
＝6t＋3?t?2t＝6(m/s)．
当t＝3时，s＝2＋3(t－3)2，
v＝s?t＋t?－s?t?t＝2＋3?3＋t－3?2－2－3?3－3?2t
＝3?t?2t＝3t＝0(m/s)．
物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为6m/s和0m/s.
【例题2】解：∵y＝f(1＋x)－f(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2＋(x)3.
割线PQ的斜率
yx＝?x?3＋3?x?2＋3xx＝(x)2＋3x＋3.
当x＝0.1时，设割线PQ的斜率为k，
则k＝yx＝(0.1)2＋30.1＋3＝3.31.
【例题3】解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，
得y＝1，所以切点为P(1,1)．
因为y＝yx＝?x＋x?3－x3x＝3x2x＋3x?x?2＋?x?3x＝[3x2＋3xx＋(x)2]＝3x2，
所以.
所以过点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由y－1＝3?x－1?，y＝x3，可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝x2＝1，x3＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．
【例题4】错因分析：错解中将点M(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．
正解：由错解可知y＝3x2，因为点M(1,1)不在曲线y＝x2＋1上，所以设过点M(1,1)的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x20①，过点M(1,1)的切线的斜率k＝x30＋1－1x0－1②，由①＝②得，3x20＝x30x0－1，解之得x0＝0或x0＝32，所以k＝0或k＝274，因此曲线y＝x3＋1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y－1＝274(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
随堂练习巩固
1．Dv＝5－3?1＋t?2－?5－312?t＝－3t－6.
2．C∵f(－1)＝f?－1＋x?－f?－1?x＝[a(x)2－3ax＋3a]＝3a＝3，a＝1.
3．Bf?1?－f?1－2x?2x＝f?1－2x?－f?1?－2x＝f[1＋?－2x?]－f?1?－2x＝f(1)＝－1.
4．12t＝2s时瞬时速度为limt018?2＋t?2－1822t＝limt018(4＋t)＝12.
5．2x－y＋2＝0和2x－y－2＝0令x－1x＝0，得x＝1，曲线与x轴的交点坐标为(1,0)，又f(x)＝1＋1x2，f(1)＝2，所求切线方程为y＝2(x1)，即2x－y2＝0.