2019年选修1-2数学第2章推理与证明单元全套学案（苏教版）。

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2.1合情推理与演绎推理
第1课时归纳推理
问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？
提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？
提示：一切金属都能导电．
问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.
年龄(岁)3035404550556065
收缩压(水
银柱/毫米)110115120125130135145
舒张压(水
银柱/毫米)70737578808388
提示：14085
问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？
提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．
问题5：数列{an}的前五项为1，3，5，7，9试写出an.
提示：an＝2n－1(nN*)．
1．推理
(1)推理的定义
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
(2)推理的组成
任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么．
2．归纳推理
(1)归纳推理的定义
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图
(3)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．
2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．
3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．
[例1]已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，)，求出a2，a3，a4，并推测an.
[思路点拨]数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决．
[精解详析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝；
当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an＝.
[一点通]在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解：∵Sn＝，a1＝，a＝1.
又∵an0，a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，
a2＝－1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，a3＝－；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
＋a4＝，a4＝2－；
观察可得，an＝－.
2．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1(21－1)；
a2＝6＝2(22－1)；
a3＝15＝3(23－1)；
a4＝28＝4(24－1)，
猜想an＝n(2n－1).
[例2]对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．
[思路点拨]
[精解详析]当n＝1时，2112；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，2332；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，2552；
当n＝6时，2662.
归纳猜想，当n＝3时，2nn2；
当nN*，且n3时，2nn2.
[一点通]对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
3．观察下列式子：
1＋，1＋＋，1＋＋＋，，猜想第n个不等式为__________________________．
解析：第1个不等式：1＋；
第2个不等式：1＋＋；
第3个不等式：1＋＋＋；
故猜想第n个不等式为
1＋＋＋＋＋.
答案：1＋＋＋＋
4．对任意正整数n，猜想nn＋1与(n＋1)n的大小关系．
解：n＝1时，1221；
n＝2时，2332，n＝3时；3443；
n＝4时，4554，n＝5时；5665.
据此猜想，当n3时，nn＋1(n＋1)n，
n3时，nn＋1(n＋1)n.
[例3]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：
由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数．
[思路点拨]将1，3，6，10分别写成，，，，据此可完成本题的求解．
[精解详析]观察项与项数的关系特点如下：
项1234
项数
分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．
归纳：第n个三角形数应为(nN*)．
[一点通]此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
5．下面是按照一定规律画出的一列树型图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n1)之间的关系是
_________________________________________________．
解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，
第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：
a3＝7,a4＝15，a5＝31.
归纳可知：a2＝3＝21＋1＝2a1＋1，
a3＝7＝23＋1＝2a2＋1，
a4＝15＝27＋1＝2a3＋1，
a5＝31＝215＋1＝2a4＋1，
由归纳推理可猜测：an＋1＝2an＋1.
答案：an＋1＝2an＋1
6．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数是______．
解析：图中点的个数依次为：1，3，7，13，21.
又1＝1＋01；3＝1＋12；7＝1＋23，13＝1＋34，21＝1＋45.
结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(nN*)．
答案：n2－n＋1(nN*)
[例4]如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．
[思路点拨]由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．
[精解详析]第8行：172135352171.
一般规律：
(1)每行左、右的数字具有对称性；
(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；
(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．
[一点通]解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：
(1)明确各行、各列数的大小；
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．
7．将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是______．
解析：第1行，第2行，第3行，分别有1，2，3，个数字，且每个数字前后差1，则第n－1行的最后一个数字加3即为第n(n3)行的从左至右的第3个数，前n－1行共有数字1＋2＋3＋＋(n－1)＝，则第n(n3)行的从左至右的第3个数为＋3＝.
答案：
1
24
357
681012
911131517
141618202224
8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若aij＝2009.则i和j的和为________．
解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝21005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2962－1
＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
答案：107
1．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质．
(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．
(3)猜想这个结论对该类事物都成立．
2．归纳推理应注意的问题
归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
一、填空题
1．(陕西高考)观察下列等式
(1＋1)＝21
(2＋1)(2＋2)＝2213
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135
照此规律，第n个等式可为________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋n)＝2n135(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋n)＝2n135(2n－1)
2．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1(x)，f3(x)＝f2(x)，f4(x)＝f3(x)，，fn(x)＝fn－1(x)，则f2016(x)＝________．
解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1(x)＝－sinx，
f3(x)＝f2(x)＝－cosx，f4(x)＝f3(x)＝sinx，
f5(x)＝f4(x)＝cosx，再继续下去会重复出现，周期为4，
f2016(x)＝f4(x)＝sinx.
答案：sinx
3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：
cos＝cos；
cos2＝2cos2－1；
cos3＝4cos3－3cos；
cos4＝8cos4－8cos2＋1；
cos5＝16cos5－20cos3＋5cos
依照规律猜想cos6＝32cos6＋mcos4＋ncos2－1.
则m＋n＝________．
解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，
即32＋m＋n－1＝1.
m＋n＝－30.
答案：－30
4．已知an＝，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11，12)＝________．
解析：每行对应的元素个数分别为1，3，5，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，
即A(11，12)＝a112＝.
答案：
5．经计算发现下列不等式：＋2，＋2，＋2，，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________________________________________________.
解析：2＋18＝20，4.5＋15.5＝20，3＋＋17－＝20，，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.
答案：当a＋b＝20，a，b(0，＋)时，有＋2
二、解答题
6．已知＝2，＝3，＝4，，若＝6(a，b均为实数)，请推测a，b的值．
解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律．
由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，
而分母是这个分子的平方减1，
由此推测中，a＝6，b＝62－1＝35，
即a＝6，b＝35.
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜出凸n边形有几条对角线？
解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋＋(n－2)＝n(n－3)(n4，nN*)．
8．观察：
①tan10tan20＋tan20tan60＋tan60tan10＝1；
②tan5tan10＋tan10tan75＋tan75tan5＝1.
由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．
解：观察到10＋20＋60＝90，5＋10＋75＝90，
因此猜测此推广为＋＋＝，
且、、都不为k＋，kZ，
则tantan＋tantan＋tantan＝1.
证明如下：由＋＋＝得＋＝－，
tan(＋)＝tan＝cot.
又∵tan(＋)＝，
tan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)
＝cot(1－tantan)．
tantan＋tantan＋tantan
＝tan(tan＋tan)＋tantan
＝tan(1－tantan)cot＋tantan
＝1－tantan＋tantan＝1.
第2课时类比推理
为了回答火星上是否有生命这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？
提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．
1．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
2．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
类比推理的特点主要体现在以下几个方面：
(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．
(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．
[例1]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n(n19，nN*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
[思路点拨]在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
[精解详析]在等差数列{an}中，a10＝0，
a1＋a2＋＋an＋＋a19＝0，
即a1＋a2＋＋an＝－a19－a18－－an＋1.
又由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
a1＝－a19，a2＝－a18，，a19－n＝－an＋1，
a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2bn＝b1b2b17－n(n17，nN*)．
[一点通]类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a，b，c，d(a，b，c分别与a，b，c相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d(d与d相似或相同)．
1．若数列{an}(nN*)是等差数列，则有数列bn＝(nN*)也是等差数列．
类比上述性质，相应地：
若数列{cn}(nN*)是等比数列，且cn0，则数列dn＝
_____________________(nN*)也是等比数列．
答案：
2．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(mn，m，nN*)，则am＋n＝.现已知等比数列{bn}(bn0，nN*)，且bm＝a，bn＝b(mn，m，nN*)，类比上述结论，求bm＋n.
解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系．
利用类比可得bm＋n＝＝.
[例2]
如图，在三棱锥S－ABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
[思路点拨]在△DEF中，有三条边，三个角，与△DEF相对应的是四面体S－ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．
[精解详析]在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
[一点通](1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形空间图形
点线
线面
边长面积
面积体积
线线角二面角
三角形四面体
3．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为___________．
图(1)(2)
解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.故有＝.
答案：＝
4.
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：
如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，，，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cos＋S2cos＋S3cos.
[例3]我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
(1)类比等差数列给出等和数列的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
[思路点拨]可先根据等差数列的定义类比出等和数列的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和．
[精解详析](1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，
所以an＋2＝an.
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
(3)当n为奇数时，令n＝2k－1，kN*，则
Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a
＝(a＋b)＋a＝a＋b；
当n为偶数时，令n＝2k，kN*，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)．
所以它的前n项和Sn＝
[一点通](1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．
(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
5．类比平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a＝1e1＋2e2.写出空间向量基本定理的是________．
答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a＝1e1＋2e2＋3e3
6．已知椭圆C：＋＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中－＝1.
设P(x，y)，由KPM＝，KPN＝，
得KPMKPN＝＝，
将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPMKPN＝.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、填空题
1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，
结论是______________________________．
答案：正方体正方体的体积为棱长的立方
2．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)180，
四边形的内角和为(4－2)180，
五边形的内角和为(5－2)180，
所以凸n边形的内角和为(n－2)180；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
___________________________________________________．
解析：△ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
4．在平面几何中，有射影定理：在△ABC中，ABAC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BDBC.类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：在三棱锥A－BCD中，AD平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有______________________________．
答案：S＝S△BOCS△BCD
5．已知结论：在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2．若把该结论推广到空间，则有结论：在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________．
解析：
如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝＝，AM＝＝，R＝，解得R＝.
于是，＝＝3.
答案：3
二、解答题
6．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：
(1)通项an＝am＋(n－m)d.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，qN*，则am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，pN*，则am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：设等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)通项an＝amqn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，qN*，
则aman＝apaq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，pN*，则a＝aman.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求．
解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求．
8．若记号*表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算符号*和＋，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式．
解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a*b＝，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号*和＋，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)．
正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．
第3课时演绎推理
看下面两个问题：
(1)是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以是集合A的真子集；
(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又说什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理
含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
2．三段论
一般模式常用格式
大前提提供了一个一般性的原理M是P
小前提指出了一个特殊对象S是M
结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P
1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．
2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．
[例1]将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，曲线C：＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(nN*)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．
[思路点拨]这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可．
[精解详析](1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)．
小前提：曲线C：＋y2＝1是椭圆．
结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)大前提：等比数列的公比都不为零．
小前提：数列{2n}(nN*)是等比数列．
结论：数列{2n}的公比不为零．
[一点通]演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．
(3)0.332是有理数．
(4)y＝sinx(xR)是周期函数．
解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
1和2不是对顶角，(小前提)
所以1和2不相等．(结论)
(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)
0．332是有限小数，(小前提)
所以0.332是有理数．(结论)
(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sinx(xR)是三角函数，(小前提)
所以y＝sinx是周期函数．(结论)
2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确．
(1)a∥b一定有a＝b(R)，向量c与向量d平行，所以c＝d.
(2)指数函数y＝ax(0a1)是减函数，而y＝是指数函数，所以y＝是减函数．
解：(1)大前提：a∥b一定有a＝b(R)．
小前提：向量c与向量d平行．
结论是错误的，原因是大前提错误．
因为当a0，b＝0时a∥b，
这时找不到实数使得a＝b.
(2)大前提：指数函数y＝ax(0a1)是减函数．
小前提：y＝是指数函数．
结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．
[例2]
在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．
[思路点拨]原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．
[精解详析](1)连结AC.
(2)AB＝CD，(已知)
BC＝AD，(已知)
CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)
△ABC与△CDA全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC△ABC≌△CDA.
(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)
△ABC和△CDA全等；(小前提)
它们的对应角相等，即1＝2，3＝4.(结论)
(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)
1与2、3与4分别是AB与CD、AD
与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)
[一点通]应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
常见的解题错误：
①条件理解错误(小前提错)；
②定理引入和应用错误(大前提错)；
③推理过程错误等．
3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________．
解析：∵由题意可得，＋＋＝10，
a2＋b2＋c2＋＋＋－ax－by－cz＝0，
即＋＋＝0.
a＝，b＝，c＝.＝＝.
答案：
4.
梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．
已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．
求证：AC平分BCD，BD平分CBA.
证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DA，DC为两腰，(小前提)
1＝2.(结论)
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)
1和3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，(小前提)，
1＝3.(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)
2和3都等于1，(小前提)
2＝3.(结论)即AC平分BCD.
(4)同理DB平分CBA.
5.
如图，平行四边形ABCD中，DAB＝60，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB平面ABD.求证：ABDE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，DAB＝60，
BD＝＝2，
AB2＋BD2＝AD2，
ABBD.
又∵平面EBD平面ABD，
平面EBD平面ABD＝BD，AB平面ABD，
AB平面EBD.
∵DE平面EBD，ABDE.
合情推理演绎推理
区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维方法归纳、类比三段论
推理
形式由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理
结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力
联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明
一、填空题
1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提__________________________________________；
小前提__________________________________________；
结论_____________________________________________．
答案：一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
2．指数函数y＝ax(a1)是增函数，y＝x(1)是指函数，所以y＝x(1)是增函数，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．
①推理完全正确②大前提不正确③小前提不正确④推理形式不正确
解析：∵y＝x(1)是幂函数，而不是指数函数，
小前提错误．
答案：③
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列．上述推理中，下列说法正确的序号是________．
①大前提错误②小前提错误③结论错误④正确
解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．
答案：④
4．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．中的小前提是序号________．
解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
答案：③
5．0，幂函数y＝x的图象在区间(0，＋)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由三段论可得结论__________________________________________________．
解析：三段论的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．
答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋)上是减函数
二、解答题
6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
(2)两直线平行，同位角相等，如果A与B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则A＝B.
解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾．
(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．
小前提：A与B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．
结论：A＝B.
7．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a1.
(1)判断函数f(x)在(－，＋)上的单调性，并加以证明；
(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．
解：(1)由已知得f(x)＝(ax＋a－x)＞0，
所以f(x)在(－，＋)上是增函数．
(2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2.
一般的结论：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(nN*)．
证明如下：
上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1，
化简得(an＋1－1)(an－1)＞0，
在a＞0且a1的条件下，(an＋1－1)(an－1)＞0显然成立，
故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(nN*)成立．
8．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn＝(n＝1，2，3，)．证明：{bn}为等比数列．
证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，
2lga2＝lga1＋lga4，即a＝a1a4.
若{an}的公差为d，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a10，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
第4课时推理案例赏析
[例1]观察如图所示的三角数阵：
记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述三角数阵的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
[精解详析]由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
[答案](1)6，16，25，25，16，6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
由此归纳：an＋1＝an＋n.
[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．
1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[]＝3，[k]＝k(kN*)．
我的发现：[]＋[]＋[]＝3；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；
通过归纳推理，写出一般性结论
_________________________________________________(用含n的式子表示)．
解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，，最后一个是[]．等号右边是n(2n＋1)．
答案：[]＋[]＋[]＋＋[]＝n(2n＋1)
2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？
顶点数边数区域数
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数边数区域数
(a)332
(b)8126
(c)695
(d)10157
(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1996，故这个平面图形有1996条边．
[例2]通过计算可得下列等式：
23－13＝312＋31＋1；
33－23＝322＋32＋1；
43－33＝332＋33＋1；
(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋＋n2)＋3(1＋2＋3＋＋n)＋n，
即12＋22＋32＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋＋n3的值．
[思路点拨]类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24，44－34，(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．
[精解详析]∵24－14＝413＋612＋41＋1，
34－24＝423＋622＋42＋1，
44－34＝433＋632＋43＋1，
(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.
将以上各式两边分别相加，
得(n＋1)4－14＝4(13＋23＋＋n3)＋6(12＋22＋＋n2)＋4(1＋2＋＋n)＋n
13＋23＋＋n3＝＝n2(n＋1)2.
[一点通](1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
(2)类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l＝2r，二维测度(面积)S＝r2，观察发现S＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4r2，三维测度(体积)V＝r3，观察发现V＝S.则四维空间中超球的三维测度V＝8r3，猜想其四维测度W＝________．
解析：(2r4)＝8r3.
答案：2r4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是______________________．
解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S＝S＋S＋S.
答案：S＝S＋S＋S
[例3]已知{an}为等差数列，首项a11，公差d0，n1且nN*.
求证：lgan＋1lgan－1(lgan)2.
[思路点拨]对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．
[精解详析]∵{an}为等差数列，
an＋1＋an－1＝2an.
∵d0，
an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2a.
∵a11，d0，an＝a1＋(n－1)d1.
lgan0.
lgan＋1lgan－1
＝＝(lgan)2，
即lgan＋1lgan－1(lgan)2.
[一点通]三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
5.
如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.
(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，
侧面BCC1B1是菱形(小前提)，
所以B1CBC1(结论)．
又线面垂直的判定定理(大前提)，
B1CA1B，且A1BBC1＝B(小前提)，
所以B1C平面A1BC1(结论)．
又面面垂直的判定定理(大前提)，
B1C平面AB1C，B1C平面A1BC1(小前提)，
所以平面AB1C平面A1BC1(结论)．
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B∥平面B1CD(小前提)，
所以A1B∥DE(结论)．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.
6．求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y＝f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为xR.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2R，且x1x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2.
因为x1x2，所以2x12x2，2x1－2x20，
所以f(x1)f(x2)．故f(x)为增函数．
1．通俗地说，合情推理是指合乎情理的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．
一、填空题
1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋___________.
解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
答案：k－1
2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝______；f(n)＝________．(答案用数字或含n的式子表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n＋n＋＝.f(4)＝42＋2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋(n－2)＝.
答案：12
3．(陕西高考)已知f(x)＝，x0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，nN*,则f2014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2014(x)＝.
答案：
4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的分裂：
23＝33＝43＝.
仿此，若m3的分裂数中有一个是2015，则m＝________．
解析：根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋2＝m3，a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2025，
猜想m＝45.
验证453＝91125＝.
答案：45
5．观察以下等式
sin230＋cos290＋sin30cos90＝；
sin225＋cos285＋sin25cos85＝；
sin210＋cos270＋sin10cos70＝.
推测出反映一般规律的等式：_______________________________________.
解析：∵90－30＝60，85－25＝60，70－10＝60，
其一般规律为sin2＋cos2(60＋)＋sincos(60＋)＝.
答案：sin2＋cos2(60＋)＋sincos(60＋)＝
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，n是等差数列，所以数列1，2，3，，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)
海王星是太阳系中的大行星，(小前提)
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)
(2)所有导体通电时发热，(大前提)
铁是导体，(小前提)
铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提)
函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)
y＝2x－1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)
数列1，2，3，，n是等差数列，(小前提)
数列1，2，3，，n的通项具有an＝pn＋q的形式．(结论)
7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直；长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)
解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；
(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．
(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；
(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．
(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；
(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.
(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；
(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．
8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)写出f(5)的值；
(2)利用合情推理的归纳推理思想，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝41，
f(3)－f(2)＝8＝42，
f(4)－f(3)＝12＝43，
f(5)－f(4)＝16＝44，
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
所以当n2时，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
f(1)＝1也适合上式，故f(n)＝2n2－2n＋1(nN*)．
(3)当n2时，
＝＝，
所以＋＋＋＋
＝1＋
＝1＋＝－.

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2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么怎么才能写出优秀的教案呢？小编收集并整理了“2020学年选修1-2数学第1章-统计案例-单元全套学案（苏教版3份）”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

1.1独立性检验
在从烟台大连的某次航运中，海上出现恶劣气候，随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如下表：
晕船不晕船合计
男人325183
女人82432
合计4075115
问题1：上述表格在数学中是如何定义的？
提示：此表格为22列联表．
问题2：据此资料，你是否认为在恶劣气候中航行，男人比女人更容易晕船？
提示：不能认为．
问题3：判断上述问题应运用什么方法？
提示：独立性检验．
1．22列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B，Ⅱ也有两类取值类1和类2，可以得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1类2合计
Ⅰ类Aaba＋b
类Bcdc＋d
合计a＋cb＋da＋b＋c＋d
将形如此表的表格称为22列联表．
2．卡方统计量
为了消除样本量对|ad－bc|的影响，统计学中引入下面的量(称为卡方统计量)：
2＝．①
其中n＝a＋b＋c＋d为样本量．
3．独立性检验
利用2统计量来研究两类对象是否有关系的方法称为独立性检验．
4．要推断Ⅰ与Ⅱ有关系，可按下面的步骤进行
(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2)根据22列联表与公式①计算2的值；
(3)查对临界值(如表)，作出判断．
P(2x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
例如：
①若210.828，则有99.9%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
②若26.635，则有99%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
③若22.706，则有90%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；
④若22.706，则认为没有充分的证据显示Ⅰ与Ⅱ有关系，但也不能作出结论H0成立，即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系．
1．在列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc0.因此|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．独立性检验的基本思想类似于反证法，我们可以利用独立性检验来考察两个对象是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度．
[例1]在一项有关性别与喜欢吃甜食的关系的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
[思路点拨]在22列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析]作列联表如下：
喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计
男117413530
女492178670
合计6095911200
[一点通](1)分清类别是作列联表的关键；
(2)表中排成两行两列的数据是调查得来的结果；
(3)选取数据时，要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于5，以保证检验结果的可信度．
1．下面是一个22列联表：
y1y2合计
x1a2173
x282533
合计b46
则表中a＝________，b＝________．
解析：∵a＋21＝73，a＝73－21＝52.
又∵a＋8＝b，b＝52＋8＝60.
答案：5260
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张；性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人，作出22列联表．
解：作列联表如下：
性格内向性格外向合计
考前心情紧张332213545
考前心情不紧张94381475
合计4265941020
[例2]某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
阳性例数阴性例数合计
新防护服57075
旧防护服101828
合计1588103
问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．
[思路点拨]通过有关数据的计算，作出相应的判断．
[精解详析]提出假设H0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果．
根据列联表中的数据可求得
2＝13.826.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.82610.828，所以我们有99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效．
[一点通]根据22列联表，利用公式
计算2的值，再与临界值比较，作出判断．
3．有300人按性别和是否色弱分类如下表：
男女
正常132151
色弱125
色弱与性别是否有关？
解：提出假设H0：色弱与性别无关．
通过计算2知，
2＝
＝
3.6839.
因为H0成立时，22.706的概率约为0.10，
而这里23.68392.706，故有90%的把握说色弱与性别有关．
4．有甲、乙两个班级进行一门课的考试，按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：
优秀不优秀合计
甲班103545
乙班73845
合计177390
利用列联表的独立性检验估计成绩与班级是否有关系．
解：提出假设H0：成绩与班级没有关系．由列联表中所给数据，可得2＝0.653＜0.708.
因为当H0成立时，20.653的概率大于40%，这概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出成绩与班级有关的结论．
[例3]为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．
[思路点拨]正确地写出两个分类变量的四个取值，画出22列联表是解决问题的关键，利用2公式，计算2的值，进而与临界值比较大小，作出结论．
[精解详析]22列联表如下
合格品数次品数合计
甲在生产现场9828990
甲不在生产现场49317510
合计1475251500
提出假设
H0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．
根据2公式得
2＝13.097.
因为H0成立时，210.828的概率约为0.001，而这里213.09710.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．
[一点通](1)通过分析题可以画出列联表，然后求得2值．
(2)进行独立性检验时和反证法的思想一样，都是先假设与预定的结论相反，然后推出矛盾，在实际做题中成了程序化的步骤，只需求出2值，与临界值相比较即可．
5．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者男女合计
需要403070
不需要160270430
合计200300500
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)有多大的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(2x0)0.0500.0100.001
x03.8416.63510.828
2＝.
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)提出假设H0：该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别无关，由列联表中所给数据，可得
2＝9.967.
因为H0成立时，29.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
6．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷，已知体育迷中有10名女性．
根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为体育迷与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
合计
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育迷有25人，从而22列联表如下：
非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
合计7525100
将22列联表中的数据代入公式计算，
得2＝＝3.030.
因为3.0303.841，所以没有95%的把握认为体育迷与性别有关．
1．独立性检验与反证法的区别和联系
(1)联系
可以用反证法的思想解释独立性检验原理，它们的对应关系为：
反证法思想独立性检验
要证明结论A提出假设H0
在A不成立的前提下进行推理在H0成立的条件下推理
推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H0成立的小概率事件发生，意味着H0的反面成立的可能性很大
没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H0成立的小概率事件不发生，接受原假设
(2)区别
一是独立性检验中用有利于H0的小概率事件的发生代替了反证法思想中的矛盾；二是独立性检验中接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾．
2．利用22列联表进行独立性检验的一般步骤
一、填空题
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关、无关)
解析：∵2＝27.63，2＞10.828
有理由认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是________．
①若2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病；
③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误；
④以上三种说法均不正确．
解析：若有95%的把握认为两个变量有关系，则说明判断出错的可能性是5%.
答案：③
3．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：
理科文科合计
男131023
女72027
合计203050
已知P(23.841)0.05，P(25.024)0.025，
根据表中数据得到2＝4.844.
则有________的把握认为选修文科与性别有关．
答案：95%
4．考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如下表所示的数据：
种子处理种子未处理合计
得病32101133
不得病61213274
合计93314407
根据以上数据得2的值是________．
解析：由2＝，得2＝0.164.
答案：0.164
5．为大力提倡厉行节约，反对浪费，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到光盘行动，得到如下的列联表：
做不到光盘能做到光盘
男4510
女3015
附：
P(2x0)0.100.050.025
x02.7063.8415.024
2＝
参照附表，得到的正确结论的序号是________．
①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该市居民能否做到光盘与性别无关；
③有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关；
④有90%以上的把握认为该市居民能否做到光盘与性别无关．
解析：2＝3.03＞2.706，
有90%以上把握认为该市居民能否做到光盘与性别有关，即犯错不超过10%.
答案：③
二、解答题
6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀成绩较差合计
兴趣浓厚的643094
兴趣不深厚的227395
合计86103189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解：提出假设H0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．
由公式得2的值
2＝38.459.
∵当H0成立时，210.828的概率约为0.001，
而这里238.45910.828，
有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．
7．有两个变量x，y，其一组观测值如下面的22列联表所示：
y1y2
x1a20－a
x215－a30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有90%的把握认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使x与y之间有90%的把握认为有关系，则22.706，
由题意，得2＝＝
＝，
由22.706，解得a7.19或a2.04.
又a5，且15－a5，aZ，a＝8，9.
当a等于8或9时，有90%的把握认为x与y之间有关系．
8．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在25周岁以上(含25周岁)和25周岁以下分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
规定日平均生产件数不少于80件者为生产能手，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关？
解：由已知得样本中有25周岁以上组工人100＝60人，25周岁以下组工人，100＝40人．由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上组中的生产能手有60(0.0050＋0.0200)10＝15(人)，25周岁以下组中的生产能手有40(0.0325＋0.0050)10＝15(人)，据此可得22列联表如下：
生产能手非生产能手合计
25周岁以上组154560
25周岁以下组152540
合计3070100
所以得2＝
＝
＝1.786.
因为1.786＜2.706，
所以没有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关．

2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．

高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标：
掌握复数的乘法法与除法的运算法则，了解其几何意义，能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点：复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点：复数的乘法与除法的几何意义。

一、自主学习
一）合作探究
1、复数乘法运算法则：
z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3、复数的乘方：
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)

4、几个特殊结论：规定i0=1
(1)i的周期性：i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果，则=，，，
1+，，，=。
(3)(1-i)2=，(1+i)2=。

5、复数的除法运算法则
(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a，b，c，d，x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者

（2）法则
==
(3)特殊结论：，，。
6、复数积与商的模：
(1)|z1z2|=|z1||z2|；(2)|zn|=|z|n(n∈N)；(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0)；
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1)；(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a，b，c，d，x，y∈R)满足(a+bi)2=(c+di)，那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。

二）典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).

例2计算.
例3设=，求证：（1）1+；（2）.

例4计算(1+2i)(3-4i)

例5已知，求
例6已知.
（1）若求;
（2）若，求的值。

例7求复数的平方根:(1)-3；(2)7-24i。

二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i，则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是_________________．

三、课堂小结

四、课后探究
在复数范围内解方程（为虚数单位）.
教师备课
学习资料

2019年选修2-2数学第3章数系的扩充与复数全册学案（人教B版）

3.1.2复数的概念
1．了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N)―整数集(Z)―有理数集(Q)―实数集(R)―复数集(C)．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件．
1．实数系
实数就是小数，它包括____________________________和________________________．
实数的性质有：①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；②0与1的性质为0＋a＝a＋0＝a，1a＝a1＝a；③加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律．实数系和数轴上的点可以建立________关系．
【做一做1】数系扩充的脉络是：________________________，用集合符号表示为________?________?________．
2．虚数单位的性质
i2＝______.
显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．
【做一做2】关于x的方程x2＋1＝0的解是()．
A．1B．iC．iD．无解
3．复数的概念
(1)设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做______，复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______，i称作虚数单位．
当b＝0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b0时，a＋bi叫做______．而当b0且a＝0时，bi叫做______．
(2)全体复数所构成的集合叫做______．复数集通常用大写字母C表示，即C＝{z|z＝a＋bi，aR，bR}．
显然，实数集R是复数集C的______，即RC.
【做一做3－1】设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是()．
A．AB＝CB．?UA＝B
C．A?UB＝D．B?UB＝C
【做一做3－2】若z＝a＋bi(a，bR)，则下列结论中正确的是()．
A．若a＝0，则z是纯虚数
B．若b＝0，则z是实数
C．若a＋(b－2)i＝5＋3i，则a＝5，b＝2i
D．z的平方不可能为－1
4．复数相等
如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数______，记作a＋bi＝c＋di.
这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么
a＋bi＝c＋di____________；
a＋bi＝0____________.
【做一做4－1】实数x，y满足方程(x＋y)＋(2x－y)i＝5＋4i，则x＝________，y＝________.
【做一做4－2】若复数(m2－5m－6)＋(m2＋4m＋3)i等于零，则实数m的值是()．
A．－3或－1B．6或－1
C．－3D．－1
如何理解两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等，不能比较大小？
剖析：(1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bic＋di.
(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为0)．
(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小．不能比较大小的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：
①对于任意实数a，b来说，a＜b，a＝b，b＜a这三种情况有且只有一种成立；
②若a＜b，b＜c，则a＜c；
③若a＜b，则a＋c＜b＋c；
④若a＜b，c＞0，则ac＜bc.
题型一复数的分类
【例题1】实数k为何值时，复数(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
分析：根据定义求解．
题型二复数相等
【例题2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
分析：因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(bR，b0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
反思：一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
题型三复数与实数之间的关系
【例题3】已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10，(mR)
若z1＜z2，求实数m的取值范围．
分析：由z1＜z2，可知z1，z2R，故虚部为0.
反思：两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小．
题型四易错辨析
易错点：本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系．
【例题4】下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b0时z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋ix＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是()．
A．0B．1
C．2D．3
错解：B
1若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()．
A．1B．2C．1或2D．－1
2若z1＝sin2＋icos，z2＝cos＋i