高二数学《复数的代数形式的乘除运算》学案。

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写教案时要注意些什么呢？以下是小编为大家精心整理的“高二数学《复数的代数形式的乘除运算》学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高二数学《复数的代数形式的乘除运算》学案

教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．理解共轭复数的概念．
教学重难点
〖学习重点〗熟练掌握复数乘法与除法运算法则以及运算律
〖学习难点〗复数共轭以及他们之间关系，实数与复数转化
教学过程
一．情景导入，激发欲望
首先回顾一下上节课所学知识
1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算．
2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|__≦_|z1|＋|z2|.
这节课我们主要学习复数乘法法则与除法法则。
二．组内合作，自学讨论
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
复数的代数形式的乘除运算＝___复数的代数形式的乘除运算___
结合律
(z1·z2)·z3＝_z1·(z2·z3_)____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝_z1.z2+__z1.z3_______
3.共轭复数：如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时称他们为共轭复数。即复数的代数形式的乘除运算
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则z2z1＝c＋dia＋bi＝复数的代数形式的乘除运算+复数的代数形式的乘除运算
三．班内交流，确定难点
复数的代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算
2．z2与|z|2有什么关系？
提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.
3．对于复数z，z·0＝0成立吗？
提示：仍然成立．
结论：(1)复数的乘法可以按照实数乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．
(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．简称分母实数化
(1)复数的乘法可以按照实数乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．
(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．简称分母实数化
计算（1）复数的代数形式的乘除运算（2）复数的代数形式的乘除运算
（3）复数的代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算复数的代数形式的乘除运算
【思维总结】对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．
变式训练一
计算复数的代数形式的乘除运算
四．点拨精讲，解难释疑
复数的代数形式的乘除运算
例如：已知复数的代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算
思维总结】本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．
虚数单位i的周期性：
(1)i（4n＋1）＝i，i（4n＋2）＝－1，i（4n＋3）＝－i，i（4n）＝1(n∈N)．
(2)i∧n＋i（n＋1）＋i（n＋2）＋i（n＋3）＝0(n∈N)．
n也可以推广到整数集．
五．随堂练习，当堂反馈
例：计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.
【思路点拨】解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．
复数的代数形式的乘除运算
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，
∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010)
＝i－1＋0＝－1＋i.
【思维总结】等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
六．归纳总结，科学评价
方法技巧
1．复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)
复数的代数形式的乘除运算

扩展阅读

复数代数形式的加减运算及几何意义

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。优秀有创意的教案要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“复数代数形式的加减运算及几何意义”，希望能为您提供更多的参考。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义（教案）
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：
一．学生探究过程：
1.与复数一一对应的有？
2.试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4.类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1．计算（1）（2）（3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1）（2）（3）
练习：已知复数，试画出，，

（三）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。

（四）巩固练习：
1．计算
（1）（2）（3）

2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。

3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。

复数的运算

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心为您整理的“复数的运算”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

人教版高中数学选修系列：4.2复数的运算(备课资料)
备课资料
(一)补充例题?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，说明z一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以z为变量的复数方程来求解z.?
解：∵f(z)=2z+-3i,?
∴f(+i)=2(+i)+-3i??
=2+z-2i,?
又f(+i)=6-3i,?
∴2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i.?
设z=a+bi(a、b∈R),则将=a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由两复数相等的充要条件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一定要注意知识之间的横、纵联系.?
［例2］已知复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2=,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可设出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根据｜z2｜=1又得出一实数方程，联立即可求解.?
解法一：设z1=a+bi(a、b∈R),则a2+b2=1.①?
∵z1+z2=,?
∴z2=-a+(-b)i.?
∵｜z2｜=1,∴,?
即a+b=1.②?
将a=1-b代入①,解得b=0或.?
将b=0代入②得a=1;?
将代入②得.?
∴或.?
分析二：从几何角度入手分析这个题，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所对应的点都在以原点为圆心，1为半径的圆上.再结合z1+z2实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在
图4-5
单位圆上，如图,由z1+z2=+,不难找出相应点为Z.又因z1+z2实部是,故图中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2对应，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即或
解题回顾：（1）对本题的解法一，若是设z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据z1+z2=又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.?
(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.?
［例3］（1）复数z满足｜z+5-12i｜=3,求z的轨迹；?
(2)复数z满足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的轨迹；?
(3)已知｜z｜=2,试求z+3-4i对应点的轨迹.?
（1）解：由｜z-z0｜意义可知｜z+5-12i｜=3表示动点Z到定点Z0距离为定值3，故z轨迹为以（-5+12i）对应点为圆心，3为半径的圆.?
(2)解：本题由方程直接看不出z满足的条件，故可设
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程为
(x-4)2+(y-4)2=8.故z轨迹为?以(4,4)为圆心，22为半径的圆.?
(3)解法一：设ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z轨迹为以(3,-4)为圆心，2为半径的圆.?
解法二：设ω=z+3-4i?,?
则z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z轨迹为以3-4i对应点为圆心，2为半径的圆.?
解题回顾：（1）本题属于求轨迹问题.方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.?
（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的几何意义可知，只需弄清z的轨迹即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z轨迹如图46,以z0=3-4i为圆心，2为半径的圆.?
图4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)时，等号成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴，?
即当时，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)时，等号成立，即.?
∴当时，｜z｜min=3.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜的最值，相当于在圆上求一点到z1对应点距离的最值，此时，不论z1点与圆位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此问题实质上是在圆上求一点P，使P到两点（-1，0）、（1，0）距离和最大.此问题，若用圆的参数方程解时较繁，此时可利用向量加、减法几何意义将问题转化为（1）来求解.?
图4-7
解：如图,设A（1，0），B（-1，0），在图上任取一点P，以PA、PB为邻边作平行四边形，则由模性质得?
｜PA｜2+｜PB｜2
=［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
=［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值为100，最小值为20.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.设z1、z2对应点仍为A、B，线段AB中点为C，则｜z-z1｜2+｜z-z2｜2=［｜AB｜+4｜PC｜2］,问题转化为在图上求点P到点C的最大、最小值.?
（二）名篇欣赏?
对挖掘数学课本知识的实践与思考?
方均斌（浙江温州师范学院325027）?
一个有经验的教师，应该对挖掘课本知识非常重视.笔者经常在各种中学数学杂志上看到诸如《谈课本某某知识的挖掘》《要重视课本知识的挖掘》《要挖掘数学知识的思想方法》等等之类的文章，笔者非常同意这些作者的观点.但在如何把握挖掘数学知识的度，挖掘的过程中应注意的事项以及挖掘课本知识的策略方面，谈得不多.为此，笔者想借贵刊一角谈谈自己的一点想法，供大家参考.?
1.“典型、适时、有度”地挖掘充分调动学生的积极性?
1.1“挖”得典型减轻负担?
要“挖”得典型，“挖”是为了教师今后“不挖”，重在教会学生“如何挖”.数学发展到现在，已经形成一门体系庞大的科学，就算经过长期实践和论证而纳入中学生必须学习的数学知识，如果教师处理不当，也会让学生负担过重而苦不堪言.例如对每一个定理、公式都进行推广和变形的挖掘,由于这种挖掘都是教师一厢情愿下进行的，对学生来说是被动的，这些经教师挖掘出来的内容，将成为学生的一种新的负担.挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养他们的探索能力和创新精神，教师应教会学生掌握对问题采用诸如归纳、类比、演绎、映射与反演、普遍化和特殊化、开放性处理以及条件的变更等挖掘知识的方法,而并非是让学生掌握挖掘出来的知识，否则将增加学生的负担.因此，挖掘课本知识要选择典型的内容.那么到底哪些内容需要挖掘，哪些知识不需要挖掘呢？一般说来，这样的几个内容需要挖掘：（1）方法典型，培养学生的创新能力效果较好的内容；（2）思想蕴涵丰富的内容；（3）实际应用较广的内容；（4）对后续知识学习作用较大的内容.当然，教师应着重考虑课程标准（或大纲）范围内的内容.?
［例1］判断下列函数是否具有奇偶性：（高中数学第一册（上）试验修订本必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
该题教师要不要对奇偶函数经过四则运算后的函数奇偶性判断的一般规律进行挖掘？笔者认为，需要挖掘.因为挖掘过程可以培养学生运用一般化的思想方法，而且学生也容易得出结论，对提高判断函数的奇偶性的速度大有好处.但是要让学生记住“非空公共定义域内非零奇函数与非零偶函数的和为非奇非偶函数”“非空公共定义域内奇函数和为奇函数”等等，恐怕就可能增加学生的不必要负担了.其实学生如果记不住，只要简单推导一下就可以了.至于是否在讲解该例时就马上进行挖掘，恐怕还为时过早.笔者认为，应该在学生完成习题2.3第7题后的作业评讲或在小结课时进行总结和挖掘较好.如何把握好挖掘课本知识的时机是本文要讨论的另一个话题.?
［例2］求下列两条直线的交点：（高中数学第二册（上）修订本必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教师感觉每一次都要求两条直线的交点较麻烦，干脆将一般化的方程组：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解告诉学生，让学生记住结论.虽然这样做可以避免每一次都要解二元一次方程组的麻烦,但是增加了学生记忆公式的负担（因为该公式容易记混，尽管有些教师采用行列式帮助学生记忆），而且会削弱学生解一次方程组的变形能力.当然，学生如果自己产生挖掘的需要，那就另当别论了.教师应积极鼓励学生去挖掘，不要以高考不作要求为由，阻止学生对课本知识的挖掘.因为学生探索新知识的兴趣和欲望是至关重要的.只要教师正确引导，相信一定能培养出具有强烈好奇心和探索能力的创新人才.?
1.2把握时机恰到好处?
判断哪些知识需要挖掘，需要较多的经验积累，而如何在恰当的时机进行挖掘，更需要教师有一个实践的过程.一般说来，刚传授的新知识不宜马上进行挖掘，需要学生有一个接触和熟悉新知识的过程.这些新知识对学生来说是一片未开发的处女地，让学生在学习和熟悉新知识的过程中去感悟，给学生一点自由的开发时间和空间，教师最多只能做一些暗示、表扬等一些外围工作.此外，教师应充分感悟教材编者的意图，课本中的例题、练习、习题等陆续重复出现的类似问题和结论，很可能是编者有意识地安排并暗示学生进行挖掘的内容，以培养学生的创新和发现能力.教师切勿在学生刚开始学习或在学习中途就一挖到底，来个赶尽杀绝！?
［例3］如何处理以下来自教材（高中数学第二册（上）试验修订本必修）的类题？?
1.求证：+2.（P12例6）?
2.求证：（1）+4；?
(2)-2.(P17习题6.3第4题)?
3.已知a≥3,求证：--.(P17习题6.3第5题)?
4.已知ab0,求证：-.(P30复习参考题六A组第6题)?
5.求证：+1+.(P30复习参考题六A组第7题)?
这些都是“若ab≥cd0,且a+d=b+c，则++”的推论和变形.如果教师“一眼洞穿”，刚开始或在中途将一般规律给学生，并且给予证明，那么很可能将课本编者的意图付诸东流，对培养学生的探索和发现能力是一个败笔之举.如果有学生发现这些问题的共同性，教师应个别表扬，鼓励这些学生作更多的探索，不应惊动其他学生，给其他学生一个探索和发现的时间和空间.等到整章学习完毕以及学生已经完成全部的练习后，教师在总复习或习题总评时，提示学生对整章例题、习题进行归纳和分类（题型和方法分类），鼓励学生去发现和探索，激发学生的学习兴趣.?

高二数学《古代数学中的算法》教案

高二数学《古代数学中的算法》教案

一．三维教学目标：

1.知识与技能目标

(1)了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法；

(2)通过对“更相减损之术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“更相减损术”的操作步骤。

2.过程与方法目标

(1)改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力；

(2)学会借助实例分析，探究数学问题。

3.情感与价值目标

(1)通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；

(2)体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。

二．教学重点与难点

重点：了解“更相减损之术”的算法。

难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。

三．教学方法

通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。

四．教学过程

1.复习导入

我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。

设计意图：通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。

2.学习新知

例１：求７８和３６的最大公约数

（1）利用辗转相除法步骤：

计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。

理论依据：，得与有相同的公约数

（2）更相减损之术步骤：

以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数

即

理论依据：由，得与有相同的公约数

设计意图：求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解

决问题的过程整理成程序框图。

3.例题讲解

例1：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。

（1）225，135（2）98，280

例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。

设计意图：巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。

4.课后小结

（1）求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；

（2）体会数学文化在学习中的应用。

设计意图：学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。

高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标：
掌握复数的乘法法与除法的运算法则，了解其几何意义，能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点：复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点：复数的乘法与除法的几何意义。

一、自主学习
一）合作探究
1、复数乘法运算法则：
z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3、复数的乘方：
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)

4、几个特殊结论：规定i0=1
(1)i的周期性：i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果，则=，，，
1+，，，=。
(3)(1-i)2=，(1+i)2=。

5、复数的除法运算法则
(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a，b，c，d，x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者

（2）法则
==
(3)特殊结论：，，。
6、复数积与商的模：
(1)|z1z2|=|z1||z2|；(2)|zn|=|z|n(n∈N)；(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0)；
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1)；(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a，b，c，d，x，y∈R)满足(a+bi)2=(c+di)，那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。

二）典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).

例2计算.
例3设=，求证：（1）1+；（2）.

例4计算(1+2i)(3-4i)

例5已知，求
例6已知.
（1）若求;
（2）若，求的值。

例7求复数的平方根:(1)-3；(2)7-24i。

二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i，则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是_________________．

三、课堂小结

四、课后探究
在复数范围内解方程（为虚数单位）.
教师备课
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