《方程的根与函数的零点》教案设计。
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编为大家整理的“《方程的根与函数的零点》教案设计”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
《方程的根与函数的零点》教案设计
1、教学设计的理念
本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的“再创造”，积极启发学生思考。
2、教学分析
在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.
3、教学目标
（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；
（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；
（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。
4、教学重点、难点
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
5、教学过程
环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题
环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系
环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件（即函数的零点存在性定理）
环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设置
师生双边互动
创
设
情
境
《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
方程与函数
方程与函数
方程与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
组
织
探
究
二次函数的零点：
二次函数
．
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
环节
教学内容设置
师生双边互动
组
织
探
究
函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：
求函数的零点：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
代数法；
几何法．
环节
教学内容设置
师生互动设计
探
究
与
发
现
零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
在区间上有零点______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞）．
在区间上有零点______；
·____0（＜或＞）．
由以上探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
环节
教学内容设置
师生互动设计
例
题
研
究
例1．求函数的零点个数．
问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
《方程的根与函数的零点》教学设计
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
6、小结与反馈：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
分享：
0
喜欢
0
赠金笔赠金笔
相关知识
方程的根与函数的零点教案
3.1.1方程的根与函数的零点
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
（三）教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入观察下列三组方程与函数
方程函数
x2–2x–3=0y=x2–2x–3
x2–2x+1=0y=x2–2x+1
x2–2x+3=0y=x2–2x+3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系师生合作
师：方程x2–2x–3=0的根为–1，3函数y=x2–2x–3与x轴交于点(–1，0)(3，0)
生：x2–2x+1=0有相等根为1.
函数y=x2–2x+1与x轴有唯一交点(1，0).
x2–2x+3=0没有实根
函数y=x2–2x+3与x轴无交点
以旧引新，导入课题
概念形成1.零点的概念
对于函数y=f(x),称使y=f(x)=0的实数x为函数y=f(x)的零点
2.函数的零点与方程根的关系
方程f(x)=0有实数根函数
y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)的零点
3.二次函数零点的判定
对于二次函数y=ax2+bx+c与二次方程ax2+bx+c，其判别式△=b2–4ac
判别
式
方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的零点
△＞0两不相等实根两个零点
△=0两相等实根一个零点
△＜0没有实根0个零点
师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义
师：考察函数①y=lgx
②y=lg2(x+1)③y=2x
④y=2x–2的零点
生：①y=lgx的零点是x=1
②y=lg2(x+1)的零点是x=0
③y=2x没有零点
④y=2x–2的零点是x=1
归纳总结
感知概念
分析特征
形成概念
概念深化引导学生回答下列问题
①如何求函数的零点？
②零点与图象的关系怎样？
师生合作，学生口答，老师点评，阐述
生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根
②零点即函数图象与x轴交点的横坐标
③求零点可转化为求方程的根
以问题讨论代替老师的讲援
应用举例练习1.求函数y=–x2–2x+3的零点，并指出y＞0，y=0的x的取值范围
练习2.求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象
练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）–x2+3x+5=0；（2）2x(x–2)=–3；
（3）x2=4x–4；
（4）5x2+2x=3x2+5.学生自主尝试练习完成练习1、2、3
生：练习1解析：零点–3，1
x∈(–3，1)时y＞0
时y＜0
练习2解析：因为x3–2x2–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，
在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示
练习3解析：（1）令f(x)=–x2+3x+5，作出函数f(x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
（2）2x(x–2)=–3可化为2x2–4x+3=0
令f(x)=2x2–4x+3作出函数f(x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x(x–2)=–3无实数根
（3）x2=4x–4可化为x2–4x+4=0,令f(x)=x2–4x+4，作出函数f(x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2=4x–4有两个相等的实数根
（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x–5=0，令f(x)=2x2+2x–5，作出函数f(x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根
师：点评板述练习的解答过程让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结（1）知识方面
零点的概念、求法、判定
（2）数学思想方面
函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想学生归纳，老师补充、点评、完善回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力
课后作业3.1第一课时习案学生独立完成固化知识，提升能力
备选例题
例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2–6x+8|=a的实数解的个数.
【解析】令f(x)=|x2–6x+8|，g(x)=a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，
f(x)=|(x–3)2–1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a=0时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a=0时，原方程实数解的个数为2.
方程的根与函数的零点教学设计
教学设计
3.1.1方程的根与函数的零点
作者：董雁飞，黑龙江大庆实验中学教师．本教学设计获第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动优秀课一等奖．
整体设计
教学目标
知识与技能
1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；
2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；
3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．
过程与方法
1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；
2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；
3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．
情感、态度与价值观
1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；
3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．
教学重点与难点
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．
教学的方法与手段
授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习
教学课件自制Powerpoint课件多媒体设备计算机
教学过程
【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标
教师活动：用屏幕显示
第三章函数的应用
3.1.1方程的根与函数的零点
教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．
教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)．
【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想
教师活动：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？
(1)x2－2x－3＝0；(2)lnx＋2x－6＝0.
学生活动：回答，思考解法．
教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题．对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？
学生活动：思考作答．
教师活动：用屏幕显示函数y＝x2－2x－3的图象．
学生活动：观察图象，思考作答．
教师活动：我们来认真地对比一下．用屏幕显示表格，让学生填写x2－2x－3＝0的实数根和函数图象与x轴的交点．
学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论．
教师活动：我们就把使方程成立的实数x称为函数的零点．
【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系
教师活动：这是我们本节课的第一个知识点．板书(一、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点)．
教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？
学生活动：对比定义，思考作答．
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？
学生活动：思考作答．
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点．板书(二、方程的根与函数零点的等价关系)．
教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系．如果已知函数y＝f(x)有零点，你怎样理解它？
学生活动：思考作答．
教师活动：对于函数y＝f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)＝0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体．
在屏幕上显示：
教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力．
【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化
教师活动：用屏幕显示
求下列函数的零点．
(1)y＝3x；(2)y＝log2x；(3)y＝1x；(4)y＝
学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法．画图象时要求用语言描述4个图象的画法．
教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考)．
教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决lnx＋2x－6＝0的根的存在性问题？
学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解．
教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程．这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题．看来我们的探究过程是非常有价值的．
教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了吗？现在最棘手的问题是y＝lnx＋2x－6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？
【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑
教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y＝x2－2x－3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面．
学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论．
教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y＝f(x)具备什么条件时，能在区间(a，b)上存在零点？
学生活动：得出f(a)f(b)＜0的结论．
教师活动：若f(a)f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a，b)上就存在零点吗？
学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a，b]上连续不断的函数，在满足f(a)f(b)＜0的条件时，才会存在零点的结论．
【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质
教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理．这是我们本节课的第三个知识点．板书(三、零点存在性定理)．
教师活动：用屏幕显示
(函数零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．)
教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容．
学生活动：读出定理．
教师活动：大家注意到了吗，定理中，开始时是在闭区间[a，b]上连续，结果推出时却是在开区间(a，b)上存在零点．你怎样理解这种差异？
学生活动：思考作答．
教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然吗？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？
学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内会是只有一个零点吗？
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内就一定没有零点吗？
3．在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点？
教师活动：那我们就来解决一下这些问题．
学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论．
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则只能确定f(x)在区间(a，b)内有零点，有几个不一定．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．
3．在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点．
【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题
教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了．那解决lnx＋2x－6＝0的根的存在性问题应该是游刃有余了．
用屏幕显示
判断下列方程是否有实根，有几个实根？
lnx＋2x－6＝0
学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法.
【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识
教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用．愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！
【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题
设置四个练习题，检验学生对本节课内容的掌握情况，增强学生对所学新知的应用意识．
1．函数f(x)＝x(x2－16)的零点为()
A．(0,0)，(4,0)B．0,4
C．(－4,0)，(0,0)，(4,0)D．－4,0,4
2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为()
A．3B．2C．1D．不确定
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x1234567
f(x)239－711－5－12－26
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有()
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间为()
A．(－2,0)B．(1,2)C．(0,1)D．(0,0.5)
【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识
已知f(x)＝|x2－2x－3|－a，求a取何值时能分别满足下列条件．
(1)有2个零点；(2)有3个零点；(3)有4个零点．
板书设计
屏幕方程的根与函数的零点
一、函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
二、方程的根与函数零点之间的等价关系
三、零点存在性定理
3.1.1方程的根与函数的零点教案
§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目的：
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；
2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。
课时安排：3课时
教学过程：
一、引入课题
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y=x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y=x2-2x+3的图象之间的关系.
二、新课教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：
判别式
△=b2-4ac
△0
△=0
△0
二次函y=ax2+bx+c
的图象
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
y
x
与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0)
与x轴有唯一的交点（x1,0）
与x轴没有交点
一元一次方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个不等的
实数根x1，x2
x1x2
有两个相等实数
根x1=x2
没有实数根
2、函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
练习：P103第1、2题．
思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1);
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2)若f(a)·f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3)若f(b)·f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到0.1）。
练习：P106第1、2题．
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或
计算机用二分法求相应方程的近似解。
四、作业布置
1．必做题：教材P108习题3．1（A组）第1－6题．
2．选做题：教材P109习题3．1（B组）第2题
高一数学教案：《方程的根与函数的零点》教学设计
高一数学教案：《方程的根与函数的零点》教学设计
一、内容和内容解析
本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．
从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．
从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．
基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．
二、目标和目标解析
1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，
2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．
4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．
三、教学问题诊断分析
1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．
2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．
3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．
基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．
四、教学支持条件分析
考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．
通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．
五、教学过程设计
（一）引入课题
问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
变式：解方程3x5＋6x－1=0的实数根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。）
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。
（二）新知探究
1、零点的概念
问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；
方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。
问题2 观察形式上函数y＝x2－2x－3与相应方程x2－2x－3＝0的联系。
函数y＝0时的表达式就是方程x2－2x－3＝0。
问题3 由于形式上的联系，则方程x2－2x－3＝0的实数根在函数y＝x2－2x－3的图象中如何体现？
y＝0即为x轴，所以方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。
设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。
初步提出零点的概念：-1、3既是方程x2－2x－3＝0的根，又是函数y＝x2－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。
问题4 函数y＝x2－2x＋1和函数y＝x2－2x＋3零点分别是什么？
函数y＝x2－2x＋1的零点是-1。函数y＝x2－2x＋3不存在零点。
设计意图：应用定义，加深对概念的理解。
提出零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
2、函数零点的判定：
研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。（Ⅰ）
问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ （Ⅱ）
第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。
设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。
问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
A、B两点在x轴的两侧。
设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。
问题7 A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）
设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。
问题8 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？
一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。
设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。
通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：
一般地，我们有：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）
（三）新知应用与深化
