两角和与差的正弦。

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家收集的“两角和与差的正弦”欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

第2课时
【学习要求】
1．掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2．通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3．掌握诱导公式
重点难点
重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和的正弦公式的推导
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2：已知，求的值.

例3已知sin(+)=,sin()=求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα:tanβ的值.
【解】

思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练一】：
1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（）
（A）（B）
（C）（D）
2.已知，，，，求sin(+)的值.
3.已知sin+sin=，求cos+cos的范围.
4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.
4．已知sin+sin=
①cos+cos=②求cos()
【解】

【选修延伸】
例5化简.
【解】

思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2)sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追踪训练二】：
1．化简
2．求证：cosx+sinx=cos(x).
3.求证：cosa+sina＝2sin(+a).

学生质疑
教师释疑
4.已知，求函数的值域.
5.求的值.

延伸阅读

两角和与差的正弦、余弦函数导学案

第三章第二节两角和与差的三角函数（一）
3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数
斗鸡中学高一数学备课组设计人：强彩红评审人：张博
【学习目标】
1.利用两角差的余弦三角函数公式推导两角和与差的其它三角公式
2.初步理解两角和与差的正弦、余弦公式的结构及功能
3.能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.
【学习重点】
两角和与差的正弦、余弦三角函数公式的推导
【学习难点】
能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.
【学习方法】
阅读课本，独立完成导学案
【学习过程】
一、自主学习
1.两角和与差的余弦
2.两角和与差的余弦公式是cos(+)=
3.cos()=，其中，为
2.两角和与差的正弦
两角和与差的正弦sin(+)

sin()=其中，为

3.
4.
5.
二、公式推导

sin(+)=sincos+cossin,sin()=sincoscossin.

证明:在两角和的余弦公式中,利用诱导公式,可得到
sin(+)===sincos+cossin,

即sin(+)=sincos+cossin.
用代替上面公式中的,可得到sin(-)=sincos(-)+cossin(-),

三．活用公式

例1．计算：(1)cos65cos115cos25sin115
;
(2)cos70cos20+sin110sin20.

例2.已知sin=，cos=均为锐角，求cos()的值.

例3.（1）已知均为锐角且，求的值

（2）已知均为锐角，且，，求的值

三、巩固公式
1.下列关系式中一定成立的是（）
A.B.
C.D.
2.的值为（）
A.B.C.D.
3..
3.，，则
4.
5.已知，且，求的值
四、归纳整理
1.本节课所学的知识内容有哪些？
2.本节课学习过程中，还有哪些不明白的地方，请提出来。
3.通过本节课的学习，你有那些收获呢？
五、课后巩固练习
1.已知，，求的值

2.已知，且，求的值

两角和与差的余弦

第三章三角恒等变换
【学习导航】
1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构

学习要求
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3.运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=
=
6．探究由=导出公式
展开并整理得
所以
可记为
7．探究特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1计算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．计算：cos65cos115cos25sin115

4计算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追踪训练】：
学生质疑
教师释疑
1．满足的一组的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，则的值为（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），则cos（α－π3）=。
4．化简：
=。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

两角和与差的正切

第3课时
【学习导航】
1．掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2．通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点：
学习重点
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和与差的正、余弦公式
2．tan(a+b)公式的推导
∵cos(a+b)0
tan(a+b)=
当cosacosb0时,分子分母同时除以cosacosb得：
以-b代b得：
其中都不等于
3．注意：
1°必须在定义域范围内使用上述公式tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.
2°注意公式的结构，尤其是符号.
4．请大家自行推导出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示
当sinasinb0时,cot(a+b)=
同理，得：cot(a-b)=
【精典范例】
例1已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中090,90180.
【解】

例2求下列各式的值：
（1）
（2）tan17+tan28+tan17tan28
（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°
【解】

点评：可在△ABC中证明
例3已知求证tan=3tan(+).
【证】

例4已知tan和是方程的两个根，证明：pq+1=0.
【证】
例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值.
【解】

思维点拔：
两角和与差的正弦及余弦公式,解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．
【追踪训练一】
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为()
2.在△ABC中，若0＜tanAtanB＜1则
△ABＣ一定是()
A.等边三角形B.直角三角形
Ｃ.锐角三角形Ｄ.钝角三角形
3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于.
4.＝.
5.已知.

6.已知
（１）求；
（２）求的值（其中）．

【选修延伸】
例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
【证】

思维点拔：
可类似地证明以下命题：
(1)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；
(2)若α＋β＝，
则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；
(3)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2.
【追踪训练二】
1.an67°30′－tan22°30′等于()
A.1B.Ｃ.2Ｄ.4
2.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为(B)
A.－1B.1Ｃ.Ｄ.－
3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝.
4.＝
5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，则tan（α＋β）=
6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值.

7.已知函数的图象与轴交点为、，
求证：.
学生质疑
教师释疑
【师生互动】

高二数学下册《两角和与差的正弦和余弦》知识点复习

高二数学下册《两角和与差的正弦和余弦》知识点复习

正弦余弦公式的逆向思维

对于形如cos(-)cos()-sin(-)sin()这样的形式，运用逆向思维，化解为：

cos(-)cos()-sin(-)sin()=cos[(-)+]=cos()

正切公式的逆向思维

比如，由tn(+)=[tn()+tn()]/[1-tn()tn()]

可得：

tn()+tn()=tn(+)[1-tn()tn()]

[1-tn()tn()]=[tn()+tn()]/tn(+)

tn()tn()tn(+)=tn(+)-tn()-tn()

二倍角公式的灵活转化

比如：1+sin2=sin2()+cos2()+2sin()cos()

=[sin()+cos()]2

cos(2)=2cos2()-1=1-2sin2()=cos2()-sin2()=[cos()+sin()][cos()-sin()]

cos2()=[1+cos(2)]/2

sin2()=[1-cos(2)]/2

1+cos()=2cos2(/2)

1-cos()=2sin2(/2)

sin(2)/2sin()=2sin()cos()/2sin()=cos()

sin(2)/2cos()=2sin()cos()/2cos()=sin()

两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比

比如：

sin(+)=sin()cos()+cos()sin()1

sin(-)=sin()cos()-cos()sin()2

1式+2式，得到

sin(+)+sin(-)=2sin()cos()

1式-2式，得到

sin(+)-sin(-)=2cos()sin()

1式比2式，得到

sin(+)/sin(-)=[sin()cos()+cos()sin()]/[sin()cos()-cos()sin()]

=[tn()+tn()]/[tn()-tn()]

练习题：

1.sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()

A．－12

B.12

C.32

D．－32

解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin20°cos20°cos310°＝sin40°2cos50°＝sin40°2sin40°＝12.

答案：B

2.已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()

A.16

B.13

C.12

D.23

解析：cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2

＝1－232＝16.

答案：A

3．已知α，β都是锐角，若sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β等于()

A.π4

B.3π4

C.π4和3π4

D．－π4和－3π4

解析：由于α，β都为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝255，

cosβ＝1－sin2β＝31010.

所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22，

所以α＋β＝π4.

答案：A