高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案。

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的教师教学。教案的内容要写些什么更好呢？以下是小编收集整理的“高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案”，但愿对您的学习工作带来帮助。

石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标：
1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾：
数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的需要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究：
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
例2复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
课堂巩固
1、设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
归纳反思

课后探究
1、设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.

2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.

扩展阅读

高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标：
掌握复数的乘法法与除法的运算法则，了解其几何意义，能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点：复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点：复数的乘法与除法的几何意义。

一、自主学习
一）合作探究
1、复数乘法运算法则：
z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3、复数的乘方：
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)

4、几个特殊结论：规定i0=1
(1)i的周期性：i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果，则=，，，
1+，，，=。
(3)(1-i)2=，(1+i)2=。

5、复数的除法运算法则
(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a，b，c，d，x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者

（2）法则
==
(3)特殊结论：，，。
6、复数积与商的模：
(1)|z1z2|=|z1||z2|；(2)|zn|=|z|n(n∈N)；(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0)；
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1)；(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a，b，c，d，x，y∈R)满足(a+bi)2=(c+di)，那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。

二）典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).

例2计算.
例3设=，求证：（1）1+；（2）.

例4计算(1+2i)(3-4i)

例5已知，求
例6已知.
（1）若求;
（2）若，求的值。

例7求复数的平方根:(1)-3；(2)7-24i。

二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i，则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是_________________．

三、课堂小结

四、课后探究
在复数范围内解方程（为虚数单位）.
教师备课
学习资料

数系的扩充与复数的概念

3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：

归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di_______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中，x,y为实数，求x与y．

四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x与y.

2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.

2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．

选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

第三章数系的扩充与复数的引入
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.是复数为纯虚数的（）
A．充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件
2.设，则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．（）
A．B．C．D．
4．复数z满足，那么＝（）
A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i
5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（）
A.2B.23C.2D.－23
6.集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）
A｛0，2，－2｝B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2｝D.｛0，2，－2，2，－2｝
7.设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（）
8、复数，则在复平面内的点位于第（）象限。
A．一B.二C.三D.四
9.复数不是纯虚数，则有（）
10.设i为虚数单位，则的值为（）
A．4B.－4C.4iD.－4i
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。）
11.设（为虚数单位），则z=；|z|=.
12.复数的实部为，虚部为。
13.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=
14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分12分）
已知复数z=(2+)).当实数m取什么值时,复数z是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。

（本小题满分13分）

17．（本小题满分13分）
设R，若z对应的点在直线上。求m的值。

18．（本小题满分14分）
已知关于的方程组有实数，求的值。

19.（本小题满分14分）

20（本小题满分13分）
若复数，求实数使。（其中为的共轭复数）

第三章数系的扩充与复数的引入
1.解析：B
2.解析：D点拨：。
3.解析：B点拨：原式＝＝
4.解析：B点拨：化简得
5.解析：D点拨：，由因为实部与虚部互为相反数，即，解得。
6.解析：A点拨：根据成周期性变化可知。
7.解析：B点拨：
8.解析：D点拨：
9.解析：C点拨：需要，即。
10.解析：B点拨：=－4
11.解析：，点拨：
12.解析：1，点拨：
13.解析：点拨：设代入解得，故
14.解析：1点拨：
16．解：
将上述结果代入第二个等式中得
20.解析：由，可知，代入得：
，即
则，解得或。