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高中必修一函数教案

发表时间：2020-02-19

高一数学《函数的对称性》知识点总结。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“高一数学《函数的对称性》知识点总结”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

高一数学《函数的对称性》知识点总结

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，

f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+

∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)

例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，

f(x)=x，则f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)

延伸阅读

高一数学《函数的性质》知识点总结

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编为大家收集的“高一数学《函数的性质》知识点总结”仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学《函数的性质》知识点总结

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

1任取x1，x2∈D，且x12；

2作差f(x1)－f(x2)；

3变形（通常是因式分解和配方）；

4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2利用图象求函数的最大（小）值

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

4.函数，若，则=

5.求下列函数的值域：

⑴⑵

(3)(4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴⑵⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

高一数学教案：《函数图象对称性与周期性的关联》教学设计

【教学目标】：

1．掌握特殊到一般的分析方法：学会从特殊化中发现性质结论，再证明一般化性质结论.

2．更好地认知建构数学知识的过程：能从自己已有的数学知识和认知经验出发，经过思考研究，得出新的数学结论.

3．训练抽象能力，提高目标推理能力.

重点：掌握研究抽象问题的一种方法.

难点：周期性的代数推导.

【回顾复习】（提问式复习）

提问：奇、偶函数有什么特点？（图象特点、代数表达式）

进一步提问，更一般的关于x=a或M（a,0）对称的代数表达式是什么呢？

【引申问题】

刚才说的函数图象都是一条对称轴或一个对称点的问题。那么我们是否可以引申问题呢？学生积极思考提出想法，进而引申出新的问题：

两条对称轴（两线）、一条对称轴一个对称中心（一点一线）、两个对称中心（两点）

从中选取一个问题（如：两线）具体化，提出思考：

定义在R上的偶函数的图象关于x=1对称，那么会具有什么样的性质呢？

【迁移问题】

一般结论1：设是定义在上的函数，其图像关于直线和对称，探究的性质.（学生讨论研究，自行展示研究结果）

一般结论2：是定义在上的函数，其图像关于点中心对称，且其图像关于直线对称，探究的性质

（学生讨论研究，自行展示研究结果）

一般结论3：

设是定义在上的函数，其图像关于点和（）对称，的周期（类比，留作课后思考）

【解决问题】

1．定义在R上的偶函数,其图象关于x=2对称，当时，，则当时，.

2．已知是偶函数，是奇函数，且，则。

【小结】

本讲展示了解决一些抽象数学问题的研究方法：先特殊化（如本讲先具体化函数图象），再从特殊情形中找到结论性质，再加以严格的推理证明。另一方面，也诠释了数学知识构建的过程，即通过已有知识和经验，经过思考和研究得出新的数学结论性质.

高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么如何写好我们的教案呢？小编收集并整理了“高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案”，希望对您的工作和生活有所帮助。

高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案

【学习目标】
1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；
2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。
3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。
【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用
【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用
【知识链接】（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义
（2）对称性：已知点P(x,y)，那么，点P关于x轴、y轴、原点对称的点坐标
【学习过程】
一、预习自学
阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：
(1)-407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式与407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系
(2)角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系
(3)角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系
(4)角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系
二、合作探究
探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。
（1）407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式（2）407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式(3)sin(－1650°)；
探究2:化简：407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式（先逐个化简）
探究3、利用单位圆求满足407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式的角的集合。
三、学习小结
（1）你能说说化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦函数的一般思路吗？
（2）本节学习涉及到什么数学思想方法？
（3）我的疑惑有
【达标检测】
1、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（-407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式，407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式）,
则sin(－α)=;cos(α±π)=;cos(π－α)=
2.求下列函数值:
（1）sin（407[导学案]wbr4.4单位圆的对称性与诱导公式）=；(2)cos210=
3、若cosα=-1/2,则α的集合S=