高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家精心整理的“高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）
【学习目标】
1.领会两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并能灵活运用公式进行运算.
2.会推导并会应用公式（其中，.
【新知自学】
知识回顾
写出下列公式：
对点练习：
1、
2、
3、
4、

【合作探究】
典例精析：
*例1、已知
求的值．

*变式练习：1、已知是第二象限角，又，则
例2、计算的值.

变式练习：2、化简.
变式练习：3、化简得（）
A.B.
C.D.

规律总结：
怎样化简类型？

【课堂小结】

【当堂达标】
1.=（）
A.B.
C.D.

2.可化为（）
A.B.
C.D.
*3.若，则=

【课时作业】
1.在△ABC中，，则△ABC为（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形

2.△ABC中，若2cosBsinA=sinC则△ABC的形状一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形

3.函数y=sinx+cosx+2的最小值是（）
A．2-B．2+
C．0D．1

4．如果cos=-，那么cos=________．

*5.求函数y=cosx+cos(x+)的最大值

*6.化简．

*7.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．

8、在三角形ABC中，求证：

*9.已知函数
的最大值是1，其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）已知，且
，求的值.

【延伸探究】
是否存在锐角和，使得（1）+2=；（2）同时成立，若存在，求出和的值，若不存在，请说明理由。

扩展阅读

高中数学必修四3.1.1两角差的余弦公式导学案

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切
3.1.1两角差的余弦公式

【学习目标】
1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.
2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾
1、三角函数线的有关定义？
2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？
新知梳理
1、设为两个任意角,你能判断恒成立吗?
2、我们设想的值与的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
cos(60°－30°)cos60°cos30°sin60°sin30°

cos(120°－60°)cos120°cos60°sin120°sin60°

猜想：=
3、试推导上述公式（利用三角函数线）
思考感悟
1、公式中的角适用于任意角吗？
2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？
对点练习
cos17等于（）
A.cos20cos3-sin20sin3
B.cos20cos3+sin20sin3
C.sin20sin3-cos20cos3
D.cos20sin20+sin3cos3

【合作探究】
典例精析：
例1、利用差角余弦公式求的值.

变式练习：1、利用差角余弦公式求的值.

变式练习：2、=

例2、利用两角差的余弦公式证明等式.

变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式.

例3、已知，
是第三象限角，求的值.

变式练习：
4、，，则=（）
A.B.
C.D.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.=（）
A.B.
C.D.

【课时作业】
1.计算的结果是（）
A.1B.C.D.

2.已知，则=（）
A.B.
C.D.
*3.化简=（）
A.
B.
C.
D.
*4已知则

*5.已知
，求的值.

6.已知sin，是第三象限角，求的值.

*7.已知都是锐角，
，求的值.

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

1、本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。

2、本节课中，自主学习的内容主要有两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共8个，二倍角公式及其变形；合作探究三角函数公式的基本应用与逆用,三角函数公式的变形应用,角的变换三类问题。

3、通过学生课前预习，达到对基本公式的掌握；通过课堂探究，培养学生自主解决问题的能力。

4、自主学习的内容主要是通过展示，在这个过程中，提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的掌握；合作探究的三个问题通过分组探究，各组讨论，推选代表进行展示，在这个过程中，下面学生提出自己的看法见解，学习探究热烈，气氛深厚。

5、本节课美中不足的地方，自主学习展示中，用了较多的时间，在探究后面的三类问题时，时间略现紧张。

高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；
2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；
3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.
【新知自学】
知识回顾：
cos()=

cos()=

sin()=

sin=

tan=

tan=
新知梳理
由上述公式能否得到的公式呢？

注意：
思考感悟
公式cos()、cos()、sin()、sin、tan、tan、、、间的区别与联系？

对点练习：
（1）已知=－,且，则的值等于（）
A．B．13
C．－D．－13

（2）若，则的值为（）
A、B、
C、D、

（3）已知,则

【合作探究】
典例精析：
例1、已知
求的值．

变式练习：
1、已知，求的值.
例2、在△ABC中，，

变式练习：
2、已知，则=（）
A.B.C.D.

*例3、已知

【课堂小结】

【当堂达标】
1.若x=π12，则的值为（）
A．B．
C．D．
2.=

3.已知：，求：的值．

【课时作业】
1.（）
A、
B、
C、
D、

2.若，则的值等于（）
A、B、C、D、
3.的值等于（）
A、B、
C、2D、4

4．已知sin（x－π4）=35,则sin2x=（）
A．825B．725
C．1625D．－1625

*5.求函数的最大值.
*6.已知：，求：的值．

*7.已知：=－22，求：的值．
【延伸探究】
已知向量，
，设函数，
（1）求的最小正周期。
（2）求在上的最大值和最小值。

高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其变形为：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
2．辅助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．
自我检测
1．(2010福建)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()
A.12B.33C.22D.32
2．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()
A．－235B.235C．－45D.45
3．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011台州月考)设0≤α2π，若sinα3cosα，则α的取值范围是()
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
5．(2011广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为()
A．1B.3C．3D．9
探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1求值：
(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．

变式迁移1求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．

探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2已知0βπ4α3π4，cosπ4－α＝35，
sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

变式迁移2(2011广州模拟)已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．

探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．

变式迁移3(2011岳阳模拟)若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．

转化与化归思想的应用
例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
【答题模板】
解(1)∵|a－b|＝255，∴a2－2ab＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，
ab＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]
(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213.[9分]
故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]
【突破思维障碍】
本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.
【易错点剖析】
|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．
1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．
2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．
3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011佛山模拟)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，则cosα＋2π3等于()
A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cosα＋π6－sinα＝233，则sinα－7π6的值是()
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011宁波月考)已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()
A．－34B．－14C.34D.14
4．函数y＝sinx＋cosx图象的一条对称轴方程是()
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为()
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010重庆)如图，
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－
sinα13sinα2＋α33＝________.
7．设sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.
8．(2011惠州月考)已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．

10．(12分)(2010四川)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－
sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S=，AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

11．(14分)(2011济南模拟)设函数f(x)＝ab，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

答案自主梳理
1．(1)cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
(2)sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ
(3)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.aa2＋b2ba2＋b2
自我检测
1．A2.C3.B4.C5.C
课堂活动区
例1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
解(1)原式
＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋sin10°cos10°＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°2cos10°
＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°2cos10°
＝2sin60°cos10°2cos10°＝22sin60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
变式迁移1解(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．
解cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，
∵0βπ4α3π4，
∴π2π4＋απ，3π43π4＋βπ.
∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，
cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β
＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β
＝35×－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
变式迁移2解(1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，
即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.
(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β
＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β
＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ
＝－13－121＋13×12＝17.
例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．
(2)解这类问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
解(1)∵tanα2＝12，
∴sinα＝sin2α2＝2sinα2cosα2
＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.
(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.
又0απ2βπ，∴0β－απ.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2βπ得β＝34π.
(或求cosβ＝－22，得β＝34π)
变式迁移3解∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，
∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－255×－31010－55×1010＝22.①
又∵π2Aπ，π2Bπ，
∴πA＋B2π.②
由①②，知A＋B＝7π4.
课后练习区
1．D2.D3.B4.A5.A
6．－127.－2118.3－23π
9．解(1)∵β∈π2，π，cosβ＝－513，
∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0απ2，π2βπ，
∴π2α＋β3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β
＝－1－33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝3365－513－－56651213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tanα＝131，tanβ＝－170，
∴0απ4，π2βπ，
∴－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①证明如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展开并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………………………………………(4分)
②解由①易得，cosπ2－α＝sinα，
sinπ2－α＝cosα.
sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α＋－β
＝cosπ2－αcos(－β)－sinπ2－αsin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.……………………………………………………(7分)
(2)解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c.
则S＝12bcsinA＝12，
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………(9分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010，
由cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11分)
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin2x
＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1.
由2sin2x＋π6＋1＝1－3，
得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，
得函数单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
x0π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y2320－102
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)