高中数学必修四3.1两角和与差的三角函数小结导学案。
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《高中数学必修四3.1两角和与差的三角函数小结导学案》，欢迎您参考，希望对您有所助益！
3.1两角和与差的三角函数小结
【学习目标】
1.熟练掌握和应用两角和的三角函数公式；
2.初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。
【新知自学】
知识梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sin_αcos_α；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝2tanα1－tan2α.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，
sinα±cosα＝2sinα±π4.
感悟：
1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；
α－β2＝α＋β2－α2＋β.
2.三个变换
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
对点练习：
1．已知tanα＋π4＝3，则tanα的值为()．
A．12B．－12C．14D．－14
2．sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()．
A．－32B．－12C．12D．32
3．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()．
A．－12B．12C．－13D．2327
4．已知cosα＝35，α是第一象限角，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()．
A．25B．75C．145D．－25
5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.
【合作探究】
典例精析：
考向一三角函数式的化简
例1．(1)化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；
(2)化简2sin280°.
规律总结：(1)把角θ变为θ2入手，合理使用公式．
(2)切化弦，通分，利用公式把非特殊角化为特殊角．
变式练习1：化简下列各式：
(1)12－1212＋12cos2αα∈3π2，2π＝________.
(2)cos2α－sin2α2tanπ4－αcos2π4－α＝________.
考向二三角函数的求值
例2．(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．
规律总结：(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.
变式练习2：已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
考向三三角变换的简单应用
例3．已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4.
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．
规律总结：(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．
变式练习3：【训练3】(2013石家庄质检)设函数f(x)＝sinπx3－π6－2cos2πx6.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈时，函数y＝g(x)的最大值．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、sin20°cos20°cos50°＝()．
A．2B．22C．2D．12
2．计算tanπ4＋αcos2α2cos2π4－α的值为()．
A．－2B．2C．－1D．1
3．若tanπ4－θ＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝()．
A．3B．－3C．34D．－34
4．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则
sin2α＋π12的值为________．
5．已知sinα＝55，α∈0，π2，tanβ＝13.
(1)求tanα的值；
(2)求tan(α＋2β)的值．
【课时作业】
1．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为()．
A．1B．110
C．1或110D．1或10
2．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()．
A．33B．－33C．539D．－69
3．已知cosπ4－α＝1213，且α∈0，π4，则cos2αsinπ4＋α＝________.
4．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a2)的两根为tanA，tanB，且A，B∈－π2，π2，则A＋B＝________.
5．已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．
6．已知sinα＋cosα＝355，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
【延伸探究】
已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．
延伸阅读
高中数学必修四1.2任意角的三角函数章末小结导学案
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高中数学必修四1.2任意角的三角函数章末小结导学案”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！
1.2任意角的三角函数章末小结
【学习目标】
1.能够利用终边相同角的表示方法判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限。
2.利用三角函数的定义求三角函数值，判断三角函数值的符号。
【新知自学】
知识梳理：
1、任意角
（1）角概念的推广
①按旋转方向不同分为_____、_____、_____；
②按终边位置不同分为_______和_______。
（2）终边与角α相同的角可写成______________
（3）象限角及其集合表示
象限角象限角的集合表示
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
感悟：
终边落在x轴上的角的集合________________；
终边落在y轴上的角的集合________________；
终边落在坐标轴上的角的集合_______________.
2、弧度制
（1）长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
（2）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=______.
（3）角度与弧度的换算：
①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0.
（4）扇形面积的公式：设扇形的弧长为，圆心角大小为α(rad)，半径为r,则扇形的面积为S=r=r2α
3、任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
y叫做α的正弦，记作sinα；
x叫做α的余弦，记作cosα；
y/x叫做α的正切，记作tanα
（2）终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k2π)=sinα
cos(α+k2π)=cosα
tan(α+k2π)=tanα
（3）三角函数线
有向线段MP为正弦线；
有向线段OM为余弦线；
有向线段AT为正切线
感悟：
1、在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
2、注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
对点练习：
1、若α＝k180°＋45°(k∈Z)，则α在()
A．第一或第三象限B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限D．在第三或第四象限
2、已知tanα0，且sinα＋cosα0，那么角α的终边在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3、sin2cos3tan4的值()
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
4、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．
5、已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函数值．
【合作探究】
典例精析：
题型一角的集合表示及象限角的判定
例1、(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．
变式练习1：
已知点P(sin5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．()
A．一B．二C．三D．四
题型二三角函数的定义
例2、已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.
变式练习2：
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．
A．－45B．－35C.35D.45
题型三弧度制的应用
【例3】4已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()
A．1或4B．1
C．4D．8
变式练习3：
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
题型四三角函数线及其应用
例4、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.
变式练习4：求下列函数的定义域：
(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sinθ＋cosθ的是()
A.43B.35C.32D.12
2、判断下列各式的符号：
(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan－234π；
(3)已知|cosθ|＝－cosθ且tanθ0.则sincosθcossinθ的符号．
3、已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()
A．－43B.54C．－34D.45
4、已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函数值．
5、已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．
【课时作业】
1．若α＝k180°＋45°(k∈Z)，则α在()．
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
2．与9π4的终边相同的角的集合，表达正确的是（）．
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k360°＋94π(k∈Z)
C．k360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)
3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．
A．－55B.255C．－255D．－12
4．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.
6、如果tanα＝m(m≠0)且sinα＝mm2＋1，那么α所在的象限是()
A．一、二象限B．二、三象限
C．二、四象限D．一、四象限
7、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋45tanα.
8、已知sinα－cosα＝－55，πα3π2，求tanα的值．
9、已知集合M＝{α|sinαcosα，0≤α≤π2}，N＝{α|sinαtanα}，则M∩N等于()
A.α|π4απ2B.α|0απ4
C.α|π8απ4D.α|0απ8
10、已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，则lgsinA的值为()
A．m＋1nB．m－n
C.12m＋1nD.12(m－n)
【延伸探究】
若sin2xcos2x，则x的取值范围是()
A．{x|2kπ－34πx2kπ＋π4，k∈Z}
B．{x|2kπ＋π4x2kπ＋5π4，k∈Z}
C．{x|kπ－π4xkπ＋π4，k∈Z}
D．{x|kπ＋π4xkπ＋3π4，k∈Z}
高中数学必修四3.1.1两角差的余弦公式导学案
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切
3.1.1两角差的余弦公式
【学习目标】
1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.
2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾
1、三角函数线的有关定义？
2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？
新知梳理
1、设为两个任意角,你能判断恒成立吗?
2、我们设想的值与的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
cos(60°－30°)cos60°cos30°sin60°sin30°
cos(120°－60°)cos120°cos60°sin120°sin60°
猜想：=
3、试推导上述公式（利用三角函数线）
思考感悟
1、公式中的角适用于任意角吗？
2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？
对点练习
cos17等于（）
A.cos20cos3-sin20sin3
B.cos20cos3+sin20sin3
C.sin20sin3-cos20cos3
D.cos20sin20+sin3cos3
【合作探究】
典例精析：
例1、利用差角余弦公式求的值.
变式练习：1、利用差角余弦公式求的值.
变式练习：2、=
例2、利用两角差的余弦公式证明等式.
变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式.
例3、已知，
是第三象限角，求的值.
变式练习：
4、，，则=（）
A.B.
C.D.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.=（）
A.B.
C.D.
【课时作业】
1.计算的结果是（）
A.1B.C.D.
2.已知，则=（）
A.B.
C.D.
*3.化简=（）
A.
B.
C.
D.
*4已知则
*5.已知
，求的值.
6.已知sin，是第三象限角，求的值.
*7.已知都是锐角，
，求的值.
两角和与差的三角函数复习课教学案
复习课1
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；常值代换
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值
（2）技巧与方法：切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法
注意：条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系。
重点难点
重点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式
难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明
【自学评价】
两角和与差的正、余弦公式
【精典范例】
例1求值：（1）
（2）sin18°和cos36°
例2已知，，，求sin2的值。
例3已知，求的值。
例4若且
,求的值。
例5已知锐角,,满足sin+sin=sin,coscos=cos,求的值。
例6已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求的值。
例7若，求f(x)=sinx
+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。
例8已知f(x)=-acos2x-asin2x
+2a+b，其中a0，x[0,]时，-5≤f(x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。
思维点拔：
无论是化简、求值还是证明都要注意：角度的特点、函数名称的特点；其中切弦互化是常用手段；三角变换公式要灵活应用，注意角的范围对解题的影响，同时要掌握有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换。
【追踪训练】：
1．在△ABC中，C90，则tanAtanB与1的关系适合（）
AtanAtanB1BtanAtanB1
CtanAtanB=1D不确定
2．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝，sinβ＋cosβ＝b，则（）
Aab＜1Ba＞b
Ca＜bＤab＞2
3．
＋?
4．设，(,)，tan、tan是一元二次方程的两个根，求+.
5．已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根,求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值。?
学生质疑
教师释疑
6．已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值。?
7．已知sin(45)=，且4590，求sin.
8试求函数
的最大值和最小值。若呢？
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）
【学习目标】
1.领会两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并能灵活运用公式进行运算.
2.会推导并会应用公式（其中，.
【新知自学】
知识回顾
写出下列公式：
对点练习：
1、
2、
3、
4、
【合作探究】
典例精析：
*例1、已知
求的值．
*变式练习：1、已知是第二象限角，又，则
例2、计算的值.
变式练习：2、化简.
变式练习：3、化简得（）
A.B.
C.D.
规律总结：
怎样化简类型？
【课堂小结】
【当堂达标】
1.=（）
A.B.
C.D.
2.可化为（）
A.B.
C.D.
*3.若，则=
【课时作业】
1.在△ABC中，，则△ABC为（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
2.△ABC中，若2cosBsinA=sinC则△ABC的形状一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3.函数y=sinx+cosx+2的最小值是（）
A．2-B．2+
C．0D．1
4．如果cos=-，那么cos=________．
*5.求函数y=cosx+cos(x+)的最大值
*6.化简．
*7.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．
8、在三角形ABC中，求证：
*9.已知函数
的最大值是1，其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）已知，且
，求的值.
【延伸探究】
是否存在锐角和，使得（1）+2=；（2）同时成立，若存在，求出和的值，若不存在，请说明理由。
