两角和与差的余弦。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师能够井然有序的进行教学。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“两角和与差的余弦”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

第三章三角恒等变换
【学习导航】
1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构

学习要求
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3.运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=
=
6．探究由=导出公式
展开并整理得
所以
可记为
7．探究特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1计算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．计算：cos65cos115cos25sin115

4计算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追踪训练】：
学生质疑
教师释疑
1．满足的一组的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，则的值为（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），则cos（α－π3）=。
4．化简：
=。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

相关知识

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

1、本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。

2、本节课中，自主学习的内容主要有两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共8个，二倍角公式及其变形；合作探究三角函数公式的基本应用与逆用,三角函数公式的变形应用,角的变换三类问题。

3、通过学生课前预习，达到对基本公式的掌握；通过课堂探究，培养学生自主解决问题的能力。

4、自主学习的内容主要是通过展示，在这个过程中，提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的掌握；合作探究的三个问题通过分组探究，各组讨论，推选代表进行展示，在这个过程中，下面学生提出自己的看法见解，学习探究热烈，气氛深厚。

5、本节课美中不足的地方，自主学习展示中，用了较多的时间，在探究后面的三类问题时，时间略现紧张。

两角和与差的正弦、余弦函数导学案

第三章第二节两角和与差的三角函数（一）
3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数
斗鸡中学高一数学备课组设计人：强彩红评审人：张博
【学习目标】
1.利用两角差的余弦三角函数公式推导两角和与差的其它三角公式
2.初步理解两角和与差的正弦、余弦公式的结构及功能
3.能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.
【学习重点】
两角和与差的正弦、余弦三角函数公式的推导
【学习难点】
能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.
【学习方法】
阅读课本，独立完成导学案
【学习过程】
一、自主学习
1.两角和与差的余弦
2.两角和与差的余弦公式是cos(+)=
3.cos()=，其中，为
2.两角和与差的正弦
两角和与差的正弦sin(+)

sin()=其中，为

3.
4.
5.
二、公式推导

sin(+)=sincos+cossin,sin()=sincoscossin.

证明:在两角和的余弦公式中,利用诱导公式,可得到
sin(+)===sincos+cossin,

即sin(+)=sincos+cossin.
用代替上面公式中的,可得到sin(-)=sincos(-)+cossin(-),

三．活用公式

例1．计算：(1)cos65cos115cos25sin115
;
(2)cos70cos20+sin110sin20.

例2.已知sin=，cos=均为锐角，求cos()的值.

例3.（1）已知均为锐角且，求的值

（2）已知均为锐角，且，，求的值

三、巩固公式
1.下列关系式中一定成立的是（）
A.B.
C.D.
2.的值为（）
A.B.C.D.
3..
3.，，则
4.
5.已知，且，求的值
四、归纳整理
1.本节课所学的知识内容有哪些？
2.本节课学习过程中，还有哪些不明白的地方，请提出来。
3.通过本节课的学习，你有那些收获呢？
五、课后巩固练习
1.已知，，求的值

2.已知，且，求的值

两角差的余弦公式

课题：§3.1.1两角差的余弦公式

【教学目标】

【知识与技能】

①了解两角差的余弦公式的推导；

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

【过程与方法】

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；

【情感态度价值观】

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

【教学重点、难点】

重点：两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】

创设问题情景，揭示课题

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习，加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业，引发其他公式的探究

【教学设计】

（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答的正弦余弦值，再提出

问题1.有什么关系？

（）

问题2.对于a、b、c

（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为

）

问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想

问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？

虽然但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。

（三）验证猜想

借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一组验证）

（第二组验证）

（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。

问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？

问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？

问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？

问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。）

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。

问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？

问题（2）证明前提是什么?证明完成了吗？

(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)

问题（3）两种证明方法用的是哪一种数学思想方法？

问题（4）你认为哪一种方法好？

（设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，小组合作的好习惯）
3.分析公式结构特点，寻求简单记忆

(记作,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)

【拓展与应用】
1.利用差角余弦公式求的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）

2.

（让学生结合公式，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。）

变式：去掉α的范围，对结果有影响吗？

（提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想）

3.①求的值

②求的值

③求的值

（设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维能力）

4．
（让学生结合公式，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。）

（让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，灵活运用公式）

变式二：

（巩固对角的拆分，突出灵活的重要性）
（例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加强学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
【回顾与反思】

1.回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。

2．体会其中蕴涵的数学思想。

3．你在公式的推导过程中有什么启发和感受？

4．公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会？

(设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。)
【设置作业和思考题】.

作业:的1,4题

思考:你能利用如何用cos(α－β)继续探究α±β的三角函数？
(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学的知识解决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探索学习的过程中，充满好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)

两角和与差的正弦

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家收集的“两角和与差的正弦”欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

第2课时
【学习要求】
1．掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2．通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3．掌握诱导公式
重点难点
重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和的正弦公式的推导
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2：已知，求的值.

例3已知sin(+)=,sin()=求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα:tanβ的值.
【解】

思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练一】：
1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（）
（A）（B）
（C）（D）
2.已知，，，，求sin(+)的值.
3.已知sin+sin=，求cos+cos的范围.
4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.
4．已知sin+sin=
①cos+cos=②求cos()
【解】

【选修延伸】
例5化简.
【解】

思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2)sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追踪训练二】：
1．化简
2．求证：cosx+sinx=cos(x).
3.求证：cosa+sina＝2sin(+a).

学生质疑
教师释疑
4.已知，求函数的值域.
5.求的值.