高中不等式教案

高三数学必修五基本不等式及其解法知识点。

高三数学必修五基本不等式及其解法知识点

不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：

(1)abb

(2)ab,bcac(传递性)

(3)aba+cb+c(c∈R)

(4)c0时，abacbc

c0时，abac

运算性质有：

(1)ab,cda+cb+d。

(2)ab0,cd0acbd。

(3)ab0anbn(n∈N,n1)。

(4)ab0(n∈N,n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。Jab88.COm

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《基本不等式及其应用》教学设计

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，有效的提高课堂的教学效率。关于好的教案要怎么样去写呢？小编经过搜集和处理，为您提供《基本不等式及其应用》教学设计，希望对您的工作和生活有所帮助。

《基本不等式及其应用》教学设计

一、教学内容分析

本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。

从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。

从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。

从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、学情分析

学生在初中阶段，学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生数形结合、类比转化等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。

另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并在第二课时重点学习与掌握。

三、教学目标设计

1.理解并掌握两个基本不等式，并能运用它们解决一些简单问题，如本节课导入环节中的实际问题；

2.思考生活中实际问题的解决方案，感受基本不等式的知识产生过程，并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势；

3.经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、类比代换等学习思想；

4.学会用数学的眼光看世界，用数学思维认知世界，养成善于思考的良好习惯；

四、教学重点及难点

1.教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用；

2.教学难点：基本不等式的应用，包括解决实际问题，求最值；

3.几点说明：整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，从问题出发，应用数形结合理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件，尤其是对等号成立时充要条件的理解；在基本不等式的应用时，通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证，然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考，接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习，逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。

五、教学方法与手段

本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用”的教学设计思路：

1.提出问题、启发诱导，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学

生探究思索；

2.讲练结合，同时采用变式教学，巩固应用，加深理解；

3.以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，直观演示，不仅启发思考，也

加深学生对基本不等式的理解。

六、教学过程设计

1.问题提出

问题：班级要用班费为秋游做准备，其中有一项要准备塑料绳子，把树干围成矩形作为活动的场所，由于班费有限，如何用最短的绳子围成最大的面积呢？

设计意图：引导学生在已学知识的基础上，针对该问题进行思考与讨论，不仅提高对于基本不等式学习的兴趣，更培养它们分析问题的能力；

2.基本不等式1的引入

问题：在客观世界中，有些不等关系是永远成立的，引发学生试举一些恒成立的不等关系.

根据学生回答，针对（）进行提问，既然，那么可以用代替不等式中的吗？

得到：

进一步变形可得：

思考：

l不等式恒成立，和应该满足什么条件；

l不等式的等号成立时，和应该满足什么条件；

设计意图：

l基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系，引出；

l引发学生思考和所满足的条件，帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解；

3.基本不等式1

对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

（1）基本不等式1的辨析

l；

l当且仅当时等号成立；

思考：“当且仅当”的含义是？

l当a=b时，取等号，即；

l仅当a=b时，取等号，即。

设计意图：对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。

（2）基本不等式1的几何解释

a

b

l已知：四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a＝b时，构成的正方形如右图所示.

l那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的

大小关系是？

设计意图：给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。

4.基本不等式2的引入

问题：当a0,b0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？

得到：

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。

5.基本不等式2

对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.

把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（1）基本不等式2的辨析

l；

l当且仅当时等号成立；

思考：“当且仅当”的含义是？

l当a=b时，取等号，即；

l仅当a=b时，取等号，即。

（2）基本不等式2的证明

证明：法1.因为、为正数，所以、均存在.

由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立.

即，当且仅当时等号成立.

法2.因为，所以.

当时，.当时，.

所以，当且仅当时，的等号成立.

（3）基本不等式2的扩充

思考：当、为零时，基本不等式2是否成立？

基本不等式2的扩充：对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.

（4）基本不等式2的几何解释

l已知：AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，

那么DO=_____________，DC=_______________；

l得到：____________________________________；

设计意图：给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解.

6.基本不等式的应用

例1：已知，求证：，并指出等号成立的条件.

证明：方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法；

其中一种方法示范板书为：

因为，所以、同号，并有，.

所以，.当且仅当，即时等号成立.

思考：若，则代数式的取值范围是什么？

设计意图：考察学生运用基本不等式时，要特别注意等号取到时的条件是否满足。

例2：若的最小

值为________,此时

练习2：的最小

值为________,此时

设计意图：帮助学生辨识基本不等式的结构特点，以及求最值的简单运用。

例3.在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？

猜想：由几何画板演示得出.

解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样周长的正方形的边长为.

矩形面积，正方形面积

由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.

由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.

思考：例3中的，为什么要为定值呢？如果不是定值，面积有最大值吗？

设计意图：

l通过例2和例3，先让学生通过基本不等式的运用，体验并思考“当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值”，这样在第二课时给出该结论效果会更好；

l例3也解决了情境创设环节提出的实际问题，让学生切实感受到学以致用的乐趣；

7.课堂小结

l

l

l初步应用两个基本不等式求最值.

8.作业练习

（1）2.4.1卷1（详见附录）

（2）思考题

l通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.

l在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？

l整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.

《基本不等式及其应用》教学反思

《基本不等式及其应用》教学反思

本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.

本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。

在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符合相应结构特点的关系式时，暂时想不到运用基本不等式解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式运用的真实体验。

通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想，逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。

高二数学《基本不等式》教案分析

高二数学《基本不等式》教案分析

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；

过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力；

情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】

重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

（一）基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?（让学生分组讨论）

(二)探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1．探究图形中的不等关系

形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢？（师生共同探索）

咱们再看一看图形的变化，（教师演示）

（学生发现）当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

2．抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？

学生归纳得出。

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

【归纳总结】

如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

3．探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式？

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证,只要证2

要证,只要证

显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

4．理解升华

1）文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2）符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即；

仅当a=b时，取等号，即。

3）探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（教师演示，学生直观感觉）

易证ＲtAＣDＲtDＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

4）联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构？

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用

例1：（1）设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

（2）如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗？

设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

（五）演练反馈，巩固深化

公式应用之一：

1．试判断与与2的大小关系？

问题：如果将条件“x0”去掉，上述结论是否仍然成立？

2．试判断与7的大小关系？

公式应用之二：

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了？

(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算？(0

≠q)

（五）反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

老师根据情况完善如下：

知识要点：
（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

思想方法技巧：
（1）数形结合思想、“整体与局部”
（2）归纳与类比思想

（3）换元法、比较法、分析法

(七)布置作业，更上一层

1．阅读作业:预习基本不等式的教学设计

2．书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

3．思考题:类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。

五、评价分析

1．在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。

2．本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

六、板书设计

§3.3基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式

1.文字语言叙述

2.符号语言叙述

3.几何意义

4.代数解释

三、应用举例

例1．

四、演练反馈

五、总结归纳

1.知识要点

2.思想方法

不等式的解法

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。关于好的高中教案要怎么样去写呢？下面是小编精心为您整理的“不等式的解法”，希望能对您有所帮助，请收藏。

6.5不等式的解法（二）

●知识梳理
1.|x|＞ax＞a或x＜－a（a＞0）；
|x|＜a－a＜x＜a（a＞0）.
2.形如|x－a|+|x－b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.
3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.
4.绝对值不等式的性质：
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考讨论
1.在|x|＞ax＞a或x＜－a（a＞0）、|x|＜a－a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改为a∈R还成立吗?
2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?
●点击双基
1.设a、b是满足ab＜0的实数，那么
A.|a+b|＞|a－b|
B.|a+b|＜|a－b|
C.|a－b|＜||a|－|b||
D.|a－b|＜|a|+|b|
解析：用赋值法.令a=1，b=－1，代入检验.
答案：B
2.不等式|2x2－1|≤1的解集为
A.{x|－1≤x≤1}B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2}D.{x|－2≤x≤0}
解析：由|2x2－1|≤1得－1≤2x2－1≤1.
∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.
答案：A
3.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集为
A.（0，1）B.（1，+∞）
C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）
解析：∵x＞0，x与log3x异号，
∴log3x＜0.∴0＜x＜1.
答案：A
4.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.
解析：要使a≤对x取一切负数恒成立，
令t=|x|＞0，则a≤.
而≥=2，
∴a≤2.
答案：a≤2
5.已知不等式|2x－t|+t－1＜0的解集为（－，），则t=____________.
解析：|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，
2t－1＜2x＜1，t－＜x＜.
∴t=0.
答案：0
●典例剖析
【例1】解不等式|2x+1|+|x－2|＞4.
剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x－2=0，得两个零点x1=－，x2=2.
解：当x≤－时，原不等式可化为
－2x－1+2－x＞4，
∴x＜－1.
当－＜x≤2时，原不等式可化为
2x+1+2－x＞4，
∴x＞1.又－＜x≤2，
∴1＜x≤2.
当x＞2时，原不等式可化为
2x+1+x－2＞4，∴x＞.
又x＞2，∴x＞2.
综上，得原不等式的解集为{x|x＜－1或1＜x}.
深化拓展
若此题再多一个含绝对值式子.如：
|2x+1|+|x－2|+|x－1|＞4，你又如何去解？
分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，
得x1=－，x2=1，x3=2.
解：当x≤－时，原不等式化为
－2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－.
当－＜x≤1时，原不等式可化为
2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.
当1＜x≤2时，原不等式可化为
2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.
又1＜x≤2，
∴1＜x≤2.
当x＞2时，原不等式可化为
2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞.
又x＞2，∴x＞2.
综上所述，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞1}.
【例2】解不等式｜x2－9｜≤x＋3.
剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a－a≤x≤a去绝对值.
解法一：原不等式（1）或（2）
不等式（1）x＝－3或3≤x≤4；
不等式（2）2≤x＜3.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
解法二：原不等式等价于
或x≥2x=－3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
【例3】（理）已知函数f（x）=x|x－a|（a∈R）.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a2.
解：（1）当a=0时，
f（－x）=－x|－x|=－x|x|=－f（x），
∴f（x）是奇函数.
当a≠0时，f（a）=0且f（－a）=－2a|a|.
故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.
∴f（x）是非奇非偶函数.
（2）由题设知x|x－a|≥2a2，
∴原不等式等价于①
或②
由①得x∈.
由②得
当a=0时，x≥0.
当a＞0时，
∴x≥2a.
当a＜0时，
即x≥－a.
综上
a≥0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥2a}；
a＜0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥－a}.
（文）设函数f（x）=ax+2，不等式|f（x）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式≤1的解集.
解：|ax+2|＜6，
∴（ax+2）2＜36，
即a2x2+4ax－32＜0.
由题设可得
解得a=－4.
∴f（x）=－4x+2.
由≤1，即≤1可得≥0.
解得x＞或x≤.
∴原不等式的解集为{x|x＞或x≤}.
●闯关训练
夯实基础
1.已知集合A={x|a－1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使AB成立的实数a的取值范围是
A.{a|3＜a≤4}B.{a|3≤a≤4}
C.{a|3＜a＜4}D.
解析：由题意知得3≤a≤4.
答案：B
2.不等式|x2+2x|＜3的解集为____________.
解析：－3＜x2+2x＜3，即
∴－3＜x＜1.
答案：－3＜x＜1
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一：|x+2|≥|x|（x+2）2≥x24x+4≥0x≥－1.
解法二：在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x）=|x|的图象，根据图象可得x≥－1.
解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到－2的距离不小于到0的距离，∴x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.
4.当0＜a＜1时，解关于x的不等式a＜ax－2.
解：由0＜a＜1，原不等式可化为＞x－2.
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.①
或②
解不等式组①得解集为{x|≤x＜2}，
解不等式组②得解集为{x|2≤x＜5}，
所以原不等式的解集为{x|≤x＜5}.
5.关于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.
解：x1、x2为方程两实根，
∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.
∴m≥或m≤.
又∵x1x2=＞0，∴x1、x2同号.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m－1|.
于是有2|m－1|=2，∴m=0或2.
∴m=0.
培养能力
6.解不等式≤.
解：（1）当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜且x≠0时，原不等式显然成立．
（2）当x2－2＞0时，原不等式与不等式组等价．
x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.
∴｜x｜≥2.∴不等式组的解为｜x｜≥2，
即x≤－2或x≥2．
∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－，0）∪（0，）∪［2，＋∞）．
7.已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log2（x+3）+logx≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.
解：由log2（x+3）+logx≤3得
x≥，
即f（x）的定义域为［，+∞）.
∵f（x）在定义域［，+∞）内单调递减，
∴当x2＞x1≥时，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－+2）－（ax2－+2）＞0a（x1－x2）－（－）＞0
（x1－x2）（a+）＞0恒成立.
∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+）＞0
a+＜0.
∵x1x2＞－＞－，
要使a＜－恒成立，
则a的取值范围是a≤－.
8.有点难度哟！
已知f（x）=x2－x+c定义在区间［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求证：
（1）f（0）=f（1）；
（2）|f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|；
（3）|f（x1）－f（x2）|＜；
（4）|f（x1）－f（x2）|≤.
证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）.
（2）|f（x2）－f（x1）|=|x2－x1||x2+x1－1|.
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.
∴－1＜x1+x2－1＜1.
∴|f（x2）－f（x1）|＜|x2－x1|.
（3）不妨设x2＞x1，由（2）知
|f（x2）－f（x1）|＜x2－x1.①
而由f（0）=f（1），从而
|f（x2）－f（x1）|=|f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）|≤|f（x2）－f（1）|+|f（0）－
f（x1）|＜|1－x2|+|x1|＜1－x2+x1.②
①+②得2|f（x2）－f（x1）|＜1，
即|f（x2）－f（x1）|＜.
（4）|f（x2）－f（x1）|≤fmax－fmin=f（0）－f（）=.
探究创新
9.（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：||＞1；
（2）求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范围.
（1）证明：|1－ab|2－|a－b|2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.
∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.
∴|1－ab|2－|a－b|2＞0.
∴|1－ab|＞|a－b|，
=＞1.
（2）解：∵||＞1|1－abλ|2－|aλ－b|2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.
∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立.
当a=0时，a2λ2－1＜0成立；
当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而＞1，
∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.
（3）||＜1（）2＜1（a+b）2＜（1+ab）2a2+b2－1－a2b2＜0（a2－1）（b2－1）＜0.
∵|a|＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.
●思悟小结
1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.
2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.
●教师下载中心
教学点睛
1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.
2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.
3.指数、对数不等式能利用单调性求解.
拓展题例
【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.
证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.
（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.
又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，
因此抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0.
∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，
即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.