《基本不等式及其应用》教学反思。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“《基本不等式及其应用》教学反思”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

《基本不等式及其应用》教学反思

本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.

本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。

在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符合相应结构特点的关系式时，暂时想不到运用基本不等式解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式运用的真实体验。

通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想，逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。

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基本不等式

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该要写教案课件了。只有制定教案课件工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们会写适合教案课件的范文吗？小编特地为您收集整理“基本不等式”，仅供您在工作和学习中参考。

第04讲：基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
①了解基本不等式的证明过程
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1.如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3.基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（）
A．15B．12C．9D．6

例2．函数的值域是_________________________.

例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（三）基础训练：
1.设且则必有()
(A)(B)
(C)(D)

2.（2004湖南理）设a＞0,b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）
（A）≥4（B）≥
（C）≥（D）≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（）
（A）18（B）6（C）（D）

4.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
5．（2005福建文）下列结论正确的是（）
A．当B．
C．的最小值为2D．当无最大值

6.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是_____________.

7.若且则中最小的一个是__________.

8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（）
（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ

2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲：基本不等式
（二）例题分析：例1．C；例2．；
例3解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．
设纸张面积为S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练：1.B；2.B；3.B；4.B5．B；6.2;7.
8.解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得
整理得v2－89v+16000,即（v－25）（v－64）0,解得25v64.
答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．

（四）拓展训练：1.B;
2．解：因为a、b是正数，所以，即，
法一：令，则，由ab=a+b+3≥2+3，得，（t0）
解得t≥3,即，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3=，得，（x0）
整理得，又x0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

答：ab与a+b的取值范围分别是与。

高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案

学案36基本不等式及其应用

导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
自主梳理
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．
(4)a＋b22____a2＋b22.
3．算术平均数与几何平均数
设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x0，y0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．
自我检测
1．“ab0”是“aba2＋b22”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2011南平月考)已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系是()
A．A≤B≤CB．A≤C≤B
C．B≤C≤AD．C≤B≤A
3．下列函数中，最小值为4的函数是()
A．y＝x＋4x
B．y＝sinx＋4sinx(0xπ)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
4．(2011大连月考)设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)有最________值为________．
5．(2010山东)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．
探究点一利用基本不等式求最值
例1(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

变式迁移1(2011重庆)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()
A.72B．4
C.92D．5
探究点二基本不等式在证明不等式中的应用
例2已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.

变式迁移2已知x0，y0，z0.
求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.

探究点三基本不等式的实际应用
例3(2011镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)

变式迁移3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条件是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条件是ab0，即a，b同号．
2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．
3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋bx，当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a0，b0时函数在－ba，0，0，ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y＝－－ax＋－bx来解决最值问题．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()
A．8B．4C．1D.14
2．(2011鞍山月考)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()
A．2B．4C．6D．8
3．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()
A．2B．22C．4D．5
4．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()
A．6hB．8hC．10hD．12h
5．(2011宁波月考)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()
A.256B.83C.113D．4
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
7．(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知0x43，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

10．(12分)(2011长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

学案36基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a0，b0(2)a＝b2.(1)2ab(2)2(4)≤
3.a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)x＝y小2p(2)x＝y大p24
自我检测
1．A2.A3.C
4．大－22－15.[15，＋∞)
课堂活动区
例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
解(1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，
∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y
＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.
当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x54，∴5－4x0.
y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3
≤－25－4x15－4x＋3＝1，
当且仅当5－4x＝15－4x，
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴2y＋8x＝1.
∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy
＝10＋24yx＋xy
≥10＋2×2×4yxxy＝18，
当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
变式迁移1C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.
∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22abb2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.]
例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明方法一因为a0，b0，a＋b＝1，
所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.
同理1＋1b＝2＋ab.
所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)
＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
方法二(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab
＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，
因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
变式迁移2证明∵x0，y0，z0，
∴yx＋zx≥2yzx0，
xy＋zy≥2xzy0，
xz＋yz≥2xyz0.
∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz
≥8yzxzxyxyz＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
所以(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8.
例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解(1)依题意得
y＝(560＋48x)＋2160×100002000x
＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)．
(2)∵x0，∴48x＋10800x
≥248×10800＝1440，
当且仅当48x＝10800x，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．
答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．
变式迁移3解(1)由题意可设3－x＝kt＋1，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－2t＋1.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%323－2t＋1＋3＋12t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝－t2＋98t＋352t＋1(t≥0)．
(2)y＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1
≤50－2t＋12×32t＋1＝50－216＝42(万元)，
当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B[因为3a3b＝3，所以a＋b＝1，
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab
≥2＋2baab＝4，当且仅当ba＝ab即a＝b＝12时，“＝”成立．]
2．B[不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1≥9，
∴a≥2或a≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.]
3．C[因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab
＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b且1ab＝ab，
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
4．B[第一列货车到达B市的时间为400ah，由于两列货车的间距不得小于a202km，所以第17列货车到达时间为400a＋16a202a＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400，即a＝100km/h时成立，所以最快需要8h．]
5．A
6．18
解析由x0，y0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即(xy)2－22xy－6≥0，
∴(xy－32)(xy＋2)≥0.
又∵xy0，∴xy≥32，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析过原点的直线与f(x)＝2x交于P、Q两点，则直线的斜率k0，设直线方程为y＝kx，由y＝kx，y＝2x，得x＝2k，y＝2k或x＝－2k，y＝－2k，
∴P(2k，2k)，Q(－2k，－2k)或P(－2k，－2k)，Q(2k，2k)．
∴|PQ|＝2k＋2k2＋2k＋2k2
＝22k＋1k≥4.
8．(－∞，22－1)
解析由f(x)0得32x－(k＋1)3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22，∴k＋122，k22－1.
9．解(1)∵0x43，∴03x4.
∴x(4－3x)＝13(3x)(4－3x)≤133x＋4－3x22＝43，(4分)
当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，“＝”成立．
∴当x＝23时，x(4－3x)的最大值为43.(6分)
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥22x4y＝22x＋2y＝223＝42.
(10分)
当且仅当2x＝4y，x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时，“＝”成立．
∴当x＝32，y＝34时，2x＋4y的最小值为42.
(12分)
10．解(1)y＝920vv2＋3v＋1600＝920v＋1600v＋3≤
9202v×1600v＋3＝92083≈11.08.(4分)
当v＝1600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2＋3v＋1600≥10，(8分)
化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
(12分)
11．解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
＝6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.(9分)
∴y≥2600x6x＋594＝714，(12分)
当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．(14分)

高二数学《基本不等式》教案分析

高二数学《基本不等式》教案分析

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；

过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力；

情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】

重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

（一）基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?（让学生分组讨论）

(二)探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1．探究图形中的不等关系

形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢？（师生共同探索）

咱们再看一看图形的变化，（教师演示）

（学生发现）当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

2．抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？

学生归纳得出。

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

【归纳总结】

如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

3．探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式？

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证,只要证2

要证,只要证

显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

4．理解升华

1）文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2）符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即；

仅当a=b时，取等号，即。

3）探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（教师演示，学生直观感觉）

易证ＲtAＣDＲtDＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

4）联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构？

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用

例1：（1）设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

（2）如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗？

设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

（五）演练反馈，巩固深化

公式应用之一：

1．试判断与与2的大小关系？

问题：如果将条件“x0”去掉，上述结论是否仍然成立？

2．试判断与7的大小关系？

公式应用之二：

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了？

(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算？(0

≠q)

（五）反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

老师根据情况完善如下：

知识要点：
（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

思想方法技巧：
（1）数形结合思想、“整体与局部”
（2）归纳与类比思想

（3）换元法、比较法、分析法

(七)布置作业，更上一层

1．阅读作业:预习基本不等式的教学设计

2．书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

3．思考题:类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。

五、评价分析

1．在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。

2．本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

六、板书设计

§3.3基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式

1.文字语言叙述

2.符号语言叙述

3.几何意义

4.代数解释

三、应用举例

例1．

四、演练反馈

五、总结归纳

1.知识要点

2.思想方法

高三数学必修五基本不等式及其解法知识点

高三数学必修五基本不等式及其解法知识点

不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：

(1)abb

(2)ab,bcac(传递性)

(3)aba+cb+c(c∈R)

(4)c0时，abacbc

c0时，abac

运算性质有：

(1)ab,cda+cb+d。

(2)ab0,cd0acbd。

(3)ab0anbn(n∈N,n1)。

(4)ab0(n∈N,n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。