高三数学一轮复习函数重点知识。

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家收集的“高三数学一轮复习函数重点知识”欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

高三数学一轮复习函数重点知识

注重对概念的理解

函数部分的一个鲜明特点是概念多，对概念理解的要求高。而在实际的复习中，学生对此可能不是很重视，其实，概念能突出本质，产生解决问题的方法。对概念不重视，题目一定也做不好。

就高考而言，直接针对函数概念的考题也不少，例如05年上海春季高考数学卷的第16题就是考察学生是否理解函数最大值的概念。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。上海卷连续两年都考查了这方面的内容与方法，如06年文、理科的第22题，考查的是函数的单调性、值域与最值，07年的第19题，文科考察的是函数奇偶性的判断与证明，理科在此基础上还考察了函数单调性。

构建知识、方法与技能网

当问到学生类似于函数主要有哪些内容？等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对知识还缺少整体把握。所以复习的首要任务是立足于教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便于找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。

就函数部分而言，大体分为三个层次的内容：

1、函数的概念与基本性质，主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图像等。

2、一些简单函数的研究，主要是二次函数、幂、指、对函数等。

3、函数综合与实际应用问题，如函数-方程-不等式的关系与应用，用函数思想解决的实际应用问题等。

当然，在这个过程中也发现，学生梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，就需对每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体来提炼与总结基本方法。

以函数的单调性为例，可以从哪些问题入手复习呢？问题一：什么是函数的单调性？可以借助一些概念的辨析题来帮助理解。问题二：如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性？对这个问题的解决，需要的知识基础有：理解函数单调性的概念，熟知所学习过的各种基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、幂、指、对函数等)的单调性，和函数(如y=x+ax(a0))以及简单的复合函数单调性等。基本的方法主要是利用单调性的定义、以及不等式的性质进行判断和证明。问题三：函数的单调性有哪些简单应用？主要的应用是求函数的最值，此外还可能涉及到不等式、比较大小等问题。最后还可以进一步总结易错、易漏点，如讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，两个单调函数的积函数的单调性不确定等。

抓典型问题强化训练

高三学生在复习中大都愿意花大量时间做题，追求解题技巧，虽然这样做有一定的作用，但题目做得太多太杂，未必有利于基本方法的落实。其实对于每一个知识点都有典型问题，抓住它们进行训练，将同一知识，同一方法的问题集中在一起练习，并努力使自己表达规范、正确，相信能达到更高效的复习效果。

还是以函数的单调性的判断与证明为例，一般也就两类典型问题。第一是正确判断与证明某个函数的单调性，写出单调区间，要注意函数的各种形式，如分式的(如y=x+32x+1),和函数(如y=x+(a0))，简单的复合函数(如y=log2(x2-2x-3)),以及带有根式和绝对值的等等。第二是它的逆问题，知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围，如函数y=ax2+x+2在区间[5，10]上递增，求实数a的取值范围等。

另一方面，可以在同一个问题的背景下，自己做一些小小的变化与发展，从中做一些深入的探究。例如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3)单调性会怎样变化？如果变化为y=log2(ax2-2x-3)情况又如何？再复杂一些，如变化为y=loga(x2-2x-a)呢？反之，如果函数y=log2(ax2-2x-3)在区间(-，1)上单调递减，a的取值范围是什么？在此基础上再想一想还能提出什么问题来研究呢？例如函数y=log2(ax2-2x-3)的值域为R，a的取值范围是什么？函数y=log2(ax2-2x-3)是否可以有最大值，如果有，a的取值范围是什么？对自己提出的问题加以解决，能使自己的复习更有针对性，真正掌握解题的规律和方法，并帮助自己跳出盲目的题海战。

总之，在复习中把握函数的基本概念，将知识、方法和技能有机地整合起来，建立一个立体网络,就一定能达到良好的复习效果。

扩展阅读

高三数学一轮复习学案17-25共9份

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为满足您的需求，小编特地编辑了“高三数学一轮复习学案17-25共9份”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

山东省乐陵市第一中学2012届高三数学一轮复习学案：三角函数的图象与性质
一、考试要求：1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，理解三角函数的性质；
2.会用“五点法”画正弦函数,余弦函数的简图；
3.结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
二、知识梳理：
1．“五点法”做的简图五点的取法是：设
X=，由X取________，________，________，________，________，来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
2．当函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，叫做初相。
函数的周期为____；函数的周期为_____
3．正弦曲线y=sinx的对称轴为______________，对称中心为________________;
余弦曲线y=sinx的对称轴为______________，对称中心为________________;
函数y=tanx的图象的对称中心为_______________．
三、基础检测：
1．函数的部分图象如图，则（）
A．B．C．D．
2．函数y=sin(x+)的图象（）
A．关于y轴对称B．关于直线x=-对称
C．关于直线x=对称D．关于原点对称
3．函数y=的一个单调增区间是（）
A.（）B.（）C.（）D.（）
4．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）
(A)(B)（C）（D）2
5．函数在下列哪个区间上是减函数（）
A．B．C．D．
6．若0＜x＜，则下列命题正确的是（）
A.sinx＜B.sinx＞C.sinx＜D.sinx＞
7．（05，江西）设函数为（）
A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为D．非周期函数
8．已知函数的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是____________。
9．已知函数的两个相邻的最值点为
（，2）和（，-2），则这个函数的表达式为____________________
10．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，则a=________
11．已知函数．
（I）函数数的最小正周期和最大值;
（II）画出函数上的图象．

高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。关于好的高中教案要怎么样去写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第八章直线和圆的方程

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考试要求重难点击命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.
直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.
知识网络

8.1直线与方程
典例精析
题型一直线的倾斜角
【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是()
A.[π6，π3]B.[π4，π3]
C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.
【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.
【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角.
【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0m＜－5或m＞1；
直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2m＝－5；
直线MN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0－5＜m＜1.
题型二直线的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，
设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34，
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.
所以直线l的斜率为247.
【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.
【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率为()
A.34B.43C.－43D.－34或－43
【解析】选C.sinα＋cosα＝15sinαcosα＝－1225＜0
sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35(舍去)，
故直线l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.
题型三直线的方程
【例3】求满足下列条件的直线方程.
(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；
(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.
【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.
【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.
因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x.
当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a＝1，
因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
题型四直线方程与最值问题
【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.
【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1.
2a1b≤(2a＋1b2)2＝14，
当2a＝1b＝12时，即a＝4，b＝2时，1a1b取最大值18，
即S△AOB＝12ab取最小值4，
所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直线与x轴的交点为A(2k－1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，
由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝12(1－2k)2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)(－4k)＋4]＝4.
当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AOB有最小值，
所求的直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.
【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.
【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.
若m＝0，则k＝0；
若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m1m＝12，所以0＜k≤12；
若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.
综上，－12≤k≤12.
总结提高
1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.
2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).
3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.

8.2两条直线的位置关系

典例精析
题型一两直线的交点
【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.
【解析】①l3∥l1时，－a＝－2a＝2；
②l3∥l2时，－a＝3a＝－3；
③由将(－1，－1)代入ax＋y＝0a＝－1.
综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.
【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.
【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是.
【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得
故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，
即直线2x＋3y＋1＝0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.
题型二两直线位置关系的判断
【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.
【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，
所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.
因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，
又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.
因为k2≠0，即k1，k2都存在，
因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，
又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.
(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)，
因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，
联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，
所以a，b的值分别为2和－2或23和2.
【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，则直线OF的方程为.
【解析】由截距式可得直线AB：xb＋ya＝1，直线CP：xc＋yp＝1，两式相减得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.
题型三点到直线的距离
【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，当△ABC的面积S最大时，求m的值.
【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，
又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，
则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，
设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|h＝12|m－3m＋2|，
令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t－32)2－14|，
由图象可知，当t＝32时，S有最大值18，此时m＝32，所以m＝94.
【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.
【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.
【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，
所以
(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52.
方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.
令l：x－y－c＝0，则5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，
解得c＝10.所以l的方程为x－y－10＝0.
由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d＝102＝52，所以点P到原点的最小距离为52.
总结提高
1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.
2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.
3.运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.
8.3圆的方程

典例精析
题型一求圆的方程
【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.
【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－D2，－E2)，
由已知得即
解得D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.
方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，
AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
令x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10，
圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.
【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q两点的坐标分别代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤
解②、③、⑤组成的方程组，得
D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
题型二与圆有关的最值问题
【例2】若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.
【解析】(1)yx＝y－0x－0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.
由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为－3.
(2)令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).
所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin(α－π4)－2，
当sin(α－π4)＝－1时，y－x的最小值为－6－2.
(3)(x－4)2＋(y－3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，
连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.
|AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，则|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，
所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值为(13＋3)2，最小值为(13－3)2.
【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.
【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m＝y＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范围.
【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.
由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.
题型三圆的方程的应用
【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.
【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，
结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，
解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.
【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.
【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()
A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]
【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，
π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.
所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].
总结提高
1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.
2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.

8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

典例精析
题型一直线与圆的位置关系的判断
【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，
(1)直线与圆有两个公共点；
(2)直线与圆只有一个公共点.
【解析】方法一：(几何法)
设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半径r＝2.
当d＜r时，直线与圆相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，
所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.
当d＝r时，直线与圆相切，|b|2＝2，b＝±2，
所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.
方法二：(代数法)
联立两个方程得方程组
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；
当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.
【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.
【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.不能确定
【解析】选A.易知圆的半径r＝22，设圆心到直线的距离为d，则d＝1sin2θ＋1.
因为θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，
所以22＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.
题型二圆与圆的位置关系的应用
【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.
【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，
所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，
所以－322＜a＜－22或22＜a＜322为所求a的范围.
【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为.
【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为x－(－1)2－(－1)＝y－1－2－1，即y＝－x.
根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.
故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1).
题型三圆的弦长、中点弦的问题
【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.
【解析】(1)如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，
得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.
所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦长公式求解)
(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，
因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，
由得k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.
该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.
【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A.106B.206C.306D.406
【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝12ACBD＝206.
总结提高
1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.
2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.
3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.
8.5直线与圆的综合应用
典例精析
题型一直线和圆的位置关系的应用
【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点；
(2)判断直线l与圆C的位置关系；
(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.
【解析】(1)证明：直线方程可写作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组可得
所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).
(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，
故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.
(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.
|AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，
此时k＝－1kCM，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，
解得m＝－34，代入原直线方程，得l的方程为2x－y－5＝0.
【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.
【变式训练1】若函数f(x)＝－1beax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是()
A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定
【解析】选B.f(x)＝－1beaxf′(x)＝－abeaxf′(0)＝－ab.
又f(0)＝－1b，所以切线l的方程为y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l与圆C：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1a2＋b2＜1，即点P(a，b)在圆内，故选B.
题型二和圆有关的对称问题
【例2】设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程.
【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，
因为＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.
【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP⊥OQ，则直线PQ的方程为.
【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ＝－12.
设直线PQ的方程为y＝－12x＋t，与圆的方程联立消去y，
得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54.
此时方程(*)的判别式Δ＞0.从而直线的方程为y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，
即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.
题型三与圆有关的最值问题
【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.
【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆.
作出直线x＋y－2＝0与圆(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.
设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，
点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为2，
所求圆的圆心为(22cos45°，22sin45°)，即(2,2)，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.
【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为()
A.17B.32C.19D.25
【解析】选A.设M为直线y＝x＋1上任意一点，过点M的切线长为l，则l＝|MC|2－r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y＝x＋1垂直，即|MC|2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值为17.
总结提高
1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.
2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.
3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.

高三数学第一轮复习讲义-

高三数学第一轮复习讲义

空间的距离

一．复习目标：

1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．

二．知识要点：

1．点到平面的距离：．

2．直线到平面的距离：．

3．两个平面的距离：．

4．异面直线间的距离：．

三．课前预习：

1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（）

2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（）

3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为．

四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长．
例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．例3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明：为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离．

五．课后作业：班级学号姓名

1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（）

2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）

3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）

4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．

5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．

6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离．
7．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的距离；（4）求直线到的距离．

高三数学第一轮复习讲义

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高三数学第一轮复习讲义”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

高三数学第一轮复习讲义

相互独立事件的概率

一．复习目标：

1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率；2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．

二．知识要点：

1．相互独立事件的概念：．

2．是相互独立事件，则．

3．次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．

三．课前预习：

1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．

2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③．3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、．

4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）

5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）

甲多乙多一样多不确定

四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．

（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．

则．

（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．

则，

至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．

（1）求该盒产品被检验合格的概率；

（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

解:(1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，

其中次品数不超过件有种，

被检验认为是合格的概率为．

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，

因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，

故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

．

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．

例3．假定在张票中有张奖票（），个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．

解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，

则（1），，

（2）

小结：因为≠，故A与B是不独立的．

例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？

解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，

∴，

∵由，得，

即当时，，单调递增，当时，，单调递减，

从而最大．

五．课后作业：班级学号姓名

1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是()

2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）

3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；

4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

5．三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.

（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.

6．甲、乙两人参加一次英语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题．规定每次考试都从备选择中随机抽出题进行测试，至少答对题才算合格．（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．7．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．