高三 数学 不等式 会考复习。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心为您整理的“高三 数学 不等式 会考复习”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

不等式会考复习
知识提要
一、不等式性质
3、同向不等式可相加，不可相减：且，则；
4、正项同向不等式可相乘，不可相除：，且，则；
5、乘法法则：,则；
6、开方法则：，则；
7、倒数不等式：，或时，有；
时，；
8、函数

重要不等式
1、如果，那么（当且仅当时取“=”号）
2、如果是正数，那么（当且仅当时取“=”号）
3、若，则
（当且仅当时取“=”号）
4、若，则（当且仅当时取“=”号）
5、
二、不等式证明
比较法(作差法、作商法)、分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程)、反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等
三、不等式解法
1、含绝对值不等式的解法：
(1)、
(2)、
(3)、
2、含多个绝对值的不等式：零点区间讨论法
3、高次不等式：数轴标根法
4、分式不等式：整式不等式
；
；
四、绝对值不等式和含参不等式
1、含绝对值不等式的性质定理及推论定理:1、|a|-|b||a+b||a|+|b|
2、|a|-|b||a-b||a|+|b|
推论:|a1+a2+a3||a1|+|a2|+|a3|
2、含参不等式
针对参数进行正确地分类；分类讨论思想的运用
典例解读
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为_________

2.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题
3.已知正数x,y满足x+2y=1,求的最小值

4.若恒成立.则常数a的取值范围是___________

5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()
(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件

6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是()
(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地
(C)同时到达(D)不能判定

7.方程的解集是()
(A)(-1，0)∪(3，+∞)(B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0)∪[3，+∞](D)(-∞，-1)∪[0，3]

8.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________

9.如果函数y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-∞，a)，那么实数a的取值范围是__________

10.解不等式：
12.设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围

13.在某两个正数x,y之间，若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列；若另插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列，求证：(a+1)2≤(b+1)(c+1)

14.已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2a2-3a+2)0的解集,求实数m,n
15.关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0>

16.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x>0,y>0,满足
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2)=1，解不等式

相关知识

高三数学不等式的证明教案15

6.3不等式的证明I
一、明确复习目标
1．理解不等式的性质和证明;
2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
二．建构知识网络
1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：
（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；
（2）比商法：要证ab且b0，只须证1。
说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；
②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；
2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。
3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程
4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。
5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。
三、双基题目练练手
1.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是()
A.aB.bC.cD.不能确定
2.（2005春上海）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.设（0，+∞），则三个数，，的值（）
A.都大于2B.都小于2
C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2
4.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．
5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.
6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为____________.

◆简答:1-3.CAD;4.;5.①②;
6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==.
∵v1－v2=－v2=－＜0，
∴v1＜v2.答案：v1＜v2
四、经典例题做一做
【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1ab+a
（2）设求证
证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a
=
=
显然p0∴得证

（2）证法一:左边-右边=
=
==∴原不等式成立。
证法二:左边0，右边0。
∴原不等式成立。
◆提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。
【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.
证明法一：（综合法）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2＝0.
展开得ab+bc+ca=－，
∴ab+bc+ca≤0.
法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，
∵a+b+c=0，
故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，
即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，
亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．
而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，
∴原不等式成立.
证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.
∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2
＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．
∴ab+bc+ca≤0.

【例3】已知的三边长为且为正数.求证:
证明一:分析法:要证
只需证
①
∵在ΔABC中,
∴①式成立,从而原不等式成立.
证明二:比较法:
证明二:因为为的三边长,所以
【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜.
（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜.
证明：（1）令F（x）=f（x）－x，
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，
∴（x－x1）（x－x2）＞0.
又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即x＜f（x）.
又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，
∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，
1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，
∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.
综上，可知x＜f（x）＜x1.
（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2
对称轴为x=x0=－=,()
法2:由题意知x0=－.
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，
∴x1+x2=－.
∴x0=－==.
又∵ax2＜1，∴x0＜=.
题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验.
【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.
证法1：
取对数得：lg(a+m)－lgalg(a+2m)－lg(a+m)＞0①
又lgalog(a+m)即②
①×②得:
即loga（a+m）＞loga+m（a+2m）
(常见形式logn(n+1)log(n+1)(n+2))

法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m）
=－
=
∵a＞1，m＞0，
∴lga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）.
∴lgalg（a+2m）＜［（）］2
=［］2＜［］2=lg2（a+m）.
∴＞0.
∴loga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）.
提炼方法:1.综合法,为什么想到用“”——感觉式子的结构特征;
2.比较法.把对数的积用均值不等式化为对数的和是一步关键的决择.
五．提炼总结以为师
1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.
步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.
对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.
2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.
3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.
4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。
同步练习6.3不等式的证明I
【选择题】
1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则()
A.x+y≤2+2B.x+y≥2+2
C.x+y≤（+1）2D.x+y≥（+1）2
2.若0ab且a+b=1，则四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是()
A.B、bC、2abD、a2+b2
3.已知x0，f(x)=，则
A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3
4.已知，（a2），则A
A、pqB、pqC、p≥qD、p≤q
【填空题】
5.要使不等式≤对所有正数x，y都成立，则k的最小值是_____
6.给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_______
；
，
◆练习简答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)
【解答题】
7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞
(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．

证明(1)法一.（作差比较法）
∵－=，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴＞0，即＞.
证法二：（分析法）
∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，
只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.
而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，
知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.
(2)(作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即(a+b)3≤23．
又a+b0,∴a+b≤2.又∵∴ab≤1.
8．己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明:
成等比数列，
都是正数，
9.设x0,y0且x≠y,求证
证明：由x0,y0且x≠y,要证明
只需即
只需
由条件,显然成立.∴原不等式成立
10.求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb.
证明：设S表示△ABC的面积，则
S=aha=bhb=absinC.
∴ha=bsinC，hb=asinC.
∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC
=（a－b）（1－sinC）.
∵C≠，∴1－sinC＞0.
∴（a－b）（1－sinC）＞0.
∴a+ha＞b+hb.
【探索题】已知x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证：
证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx
==4,故。又
三式相加得
,两边加上得
∴u1,原不等式得证。

高三数学不等式的证明教学设计16

6.4不等式的证明II
一、明确复习目标
1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；
2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.
二．建构知识网络
1.反证法：正难则反.否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。
2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.
常用的放缩手法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;
④若ab0,m0,则.
3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.
4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；
5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式
6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。
三、双基题目练练手
1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是()
A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能确定
2.设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定
3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是()
A.［－2，）B.（－2，）
C.［－3，）D.（－3，）
4.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小关系是____________.
5.若a＞b＞c，则+_______.（填“＞”“=”“＜”）
6.记S=，则S与1的大小关系是_________
简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，
∴a＜2－=.当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.
而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A
4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］
≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S1
四、经典例题做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。
也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。
证法二：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
证法三：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法四：（判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.
【例2】（1）设，且，求证：；
（2）设，且，求证：
【证明】（1）设
则，
=。
（2）设，
∵，∴。
于是。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求证：－1＜.
证法一：要证－1＜，
即证a＜（+1）n.
令a－1=t＞0，则a=t+1.
也就是证t+1＜（1+）n.
∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，
即－1＜成立.
证法二：设a=xn，x＞1.
于是只要证＞x－1，
即证＞n.联想到等比数列前n项和
=1+x+…+xn-1n.
∴＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求证：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴

点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.
【研讨.欣赏】数列｛an｝满足a1=1且an+1=（n≥1）?
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．?
证明:（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．?
根据①、②可知：ak≥2对所有n≥2成立．?
（2）由递推公式及（1）的结论有?
an+1=≤，（n≥1）?
两边取对数并利用已知不等式得
lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．?
故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．?
上式从1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤++…++++…+
=1－++…=1－+1＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．?

五．提炼总结以为师
1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.
2．总结所学不等式证明的方法：

同步练习6.4不等式的证明II
【选择题】
1.若＜＜0，则下列结论不正确的是()
A.a2＜b2B.ab＜b2
C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，则()
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知＜＜，则()
A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b
4.(2005江西）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：
①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b
其中不可能成立的关系式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【填空题】
5.设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.则P=loga（ax＋ay）与Q=loga2＋的大小关系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式对n∈N+都成立，则实数M的取值范围是__________。
简答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.
∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.
∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即PQ;
6.记,则,
最大.M1
【解答题】
7．已知，求证：都属于。
【证明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。

8.设，且，求证：
因为，而
所以，所以a，b为方程（1）的二实根
而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。
记，则
解得。
法2:由已知得c0,否则,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,与已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,
9.若a0,b0，且=1,
求证：(I)a＋b≥4;
(II)对于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
证明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II)当n=1时,左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立.
假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥22k＋1＋422k－42k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立
10.已知a、b为正数，求证：
（1）若+1＞，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立；
（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立，则+1＞.
分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.
证明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.
∵+1＞（b＞0），
∴（+1）2＞b.从而ax+＞b
（2）∵ax+＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+］min＞b，
而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
当且仅当a（x－1）=，即x=1+＞1时取等号.
故［ax+］min=（+1）2.
则（+1）2＞b，即+1＞.
评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.

【探索题】（2005湖北）已知不等式,其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时，由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
则有
故取N=1024，可使当nN时，都有

不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

超越不等式

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是小编精心为您整理的“超越不等式”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

超越不等式
一,理论知识汇总
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等价转化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解关于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0
（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;
（2）当a0时,得1a0解得x-1或x1a
（3）当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0
①若a=-1时,不等式无解;②若a-1时,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0时,1a-1解得1ax-1
综上所述：当a=0时,解集为(-∞,-1);当a0时,解集为(-∞,-1)∪(1a,+∞);
当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根据穿线法如图

不等式解集为:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，
还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满足条件x∈的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
练习：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),则不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.设A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},则A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集为()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集为()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.当0a1时,不等式:的解集为.
12.不等式sinx≤-的解集为.
13.不等式tan(x-)≥的解集为.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指数不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解对数不等式:logx5-2logx3.?

17.解关于x的不等式:

18.解不等式: