高三数学不等式的证明教学设计16。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？请你阅读小编辑为你编辑整理的《高三数学不等式的证明教学设计16》，建议你收藏本页和本站，以便后续阅读！

6.4不等式的证明II
一、明确复习目标
1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；
2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.
二．建构知识网络
1.反证法：正难则反.否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。
2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.
常用的放缩手法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;
④若ab0,m0,则.
3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.
4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；
5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式
6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。
三、双基题目练练手
1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是()
A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能确定
2.设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定
3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是()
A.［－2，）B.（－2，）
C.［－3，）D.（－3，）
4.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小关系是____________.
5.若a＞b＞c，则+_______.（填“＞”“=”“＜”）
6.记S=，则S与1的大小关系是_________
简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，
∴a＜2－=.当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.
而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A
4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］
≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S1
四、经典例题做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。
也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。
证法二：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
证法三：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法四：（判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.
【例2】（1）设，且，求证：；
（2）设，且，求证：
【证明】（1）设
则，
=。
（2）设，
∵，∴。
于是。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求证：－1＜.
证法一：要证－1＜，
即证a＜（+1）n.
令a－1=t＞0，则a=t+1.
也就是证t+1＜（1+）n.
∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，
即－1＜成立.
证法二：设a=xn，x＞1.
于是只要证＞x－1，
即证＞n.联想到等比数列前n项和
=1+x+…+xn-1n.
∴＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求证：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴

点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.
【研讨.欣赏】数列｛an｝满足a1=1且an+1=（n≥1）?
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．?
证明:（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．?
根据①、②可知：ak≥2对所有n≥2成立．?
（2）由递推公式及（1）的结论有?
an+1=≤，（n≥1）?
两边取对数并利用已知不等式得
lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．?
故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．?
上式从1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤++…++++…+
=1－++…=1－+1＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．?

五．提炼总结以为师
1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.
2．总结所学不等式证明的方法：

同步练习6.4不等式的证明II
【选择题】
1.若＜＜0，则下列结论不正确的是()
A.a2＜b2B.ab＜b2
C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，则()
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知＜＜，则()
A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b
4.(2005江西）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：
①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b
其中不可能成立的关系式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【填空题】
5.设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.则P=loga（ax＋ay）与Q=loga2＋的大小关系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式对n∈N+都成立，则实数M的取值范围是__________。
简答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.
∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.
∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即PQ;
6.记,则,
最大.M1
【解答题】
7．已知，求证：都属于。
【证明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。

8.设，且，求证：
因为，而
所以，所以a，b为方程（1）的二实根
而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。
记，则
解得。
法2:由已知得c0,否则,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,与已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,
9.若a0,b0，且=1,
求证：(I)a＋b≥4;
(II)对于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
证明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II)当n=1时,左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立.
假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥22k＋1＋422k－42k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立
10.已知a、b为正数，求证：
（1）若+1＞，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立；
（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立，则+1＞.
分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.
证明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.
∵+1＞（b＞0），
∴（+1）2＞b.从而ax+＞b
（2）∵ax+＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+］min＞b，
而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
当且仅当a（x－1）=，即x=1+＞1时取等号.
故［ax+］min=（+1）2.
则（+1）2＞b，即+1＞.
评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.

【探索题】（2005湖北）已知不等式,其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时，由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
则有
故取N=1024，可使当nN时，都有

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不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）

第四课时

教学目标

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点 分析法

教学难点 分析法实质的理解

教学方法 启发引导式

教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

【例题示范、学会应用】

（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）

设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．

2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

（五）课后点评

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

作业答案：

说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。

高二数学上册《不等式的证明》教学设计

高二数学上册《不等式的证明》教学设计

课题

不等式的证明

课型

复习课

教者

教育教学目标

进一步加强对不等式知识的掌握与应用,增强知识认知水平与问题处理能力的提高,巩固不等式的基本性质,基本证明思路,基本证明方法等知识储备.

重点

加强知识的应用能力,巩固不等式证明基本方法的掌握

难点

熟练掌握不等式证明的策略与技巧,重要不等式的灵活应用

关键

多练、多想、多分析、多积累

教学准备

幻灯片

教学步骤

教学内容

时间

导言

知识回顾

例题讲解

小结

我们已经学习了不等式的证明，那么下面我们来看一下不等式证明应注意的问题。……我们从应注意的问题中看得出想解决好不等式证明的问题，我们不仅应熟练地掌握不等式的性质，基本方法和重要不等式，那么我们学习了哪些有关这方面的知识呢？下面就让我们系统地复习一下，并应用这些用实际问题来巩固一下知识的掌握与应用能力。

不等式的基本性质（见幻灯片）

不等式的基本证明方法（见幻灯片）

重要不等式（见幻灯片）

例1：已知a、b、c、d、x、y∈R+且a2+b2=x2,c2+d2=y2,求证：xy≥ac+bd

例2：对任意正数m，求证：

+

≤

|a+b|

m+|a+b|

|a|

m+|a|

|b|

m+|b|

例3：设ac,bc,c0,求证：

√c(a-c)+

√c(b-c)

≤√ab

并确定等号成立的条件

例4：解方程：2x2+27/x4=9

例5：已知a、b为正常数，x、y为正实数，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值

板书设计

不等式的证明

基础知识例题

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（一）

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（一）

教学目标

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；

（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；

（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；

（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；

（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯．

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题选择适当的证明方法．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．

变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．总之．能够判断出差的符号是正或负即可．

④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．

（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键．

（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等．

⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．

（5）关于分析法与综合法

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件．即推理方

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知 结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

④各有其优缺点：

从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论．

从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

（二）教法建议

①选择例题和习题要注意层次性．

不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的．教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系．教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当．

要坚持精讲精练的原则．通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力．

②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．

通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题．

③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难．

第一课时

教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点 比较法的意义和基本步骤.

教学难点 常见的变形技巧.

教学方法 启发引导式.

教学过程

（－）导入新课

（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法．并在下节课继续学习对差式变形的常用方法．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式．这样处理合情合理，顺理成章．

2．在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识．

3．例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成．教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．