归纳法证明不等式1。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么如何写好我们的教案呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“归纳法证明不等式1”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式姓名
☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；
20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.
30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）
要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.

☆数学归纳法的应用：
例1.用数学归纳法证明不等式.

例2已知x-1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n1+nx.

例3证明:如果为正整数)个正数的乘积,
那么它们的和.

例4证明:

例5.当时,求证:

选修4-5练习§4.1.1数学归纳法证明不等式（1）姓名
1、已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的
值为()
A.30B.26C.36D.6
2、.观察下列式子：
…则可归纳出_________.
3、已知,,则的值分别为_________，由此猜想
_________.
4、用数学归纳法证明:能被8整除.
5、用数学归纳法证明

6、.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求证：

8、已知，，用数学归纳法证明：
9、.求证：用数学归纳法证明．

答案:
1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）
要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1⑴当时,上式左边右边,不等式成立.
⑵设当时,不等式成立,即有.
那么,当时,
=
例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵x0，∴1+2x+x21+2x=右,∴n=2时不等式成立
（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k1+kx
当n=k+1时，因为x-1，所以1+x0，于是
左边=(1+x)k+1右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+11+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
例3证明:⑴当时,有，命题成立.
⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,
那么它们的和.
那么当时,已知个正数满足.
若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立.
若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数
(否则与矛盾).不妨设.
例4证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.
(2)假设n=k()时命题成立,即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切都成立.
例5（1）
练习
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1?－(2k+7)3k
=(6k+27)3k－(2k+7)3k
=(4k+20)3k=36(k+5)3k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
、、、
4、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.
(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.
那么:
因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.
5．证明：1当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。
2假设当n=k时，等式成立，
即。
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13
=42k+113+3(42k+1+3k+2?)
∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
7．证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．
（2）假设当时命题成立，即．
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
8.证明：
（1）当n=2时，，∴命题成立．
（2）假设当时命题成立，即．
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
9、证明：（1）当n=1时，，不等式成立；
当n=2时，，不等式成立；
当n=3时，，不等式成立．
（2）假设当时不等式成立，即．
则当时，，
∵，∴，（*）
从而，
∴．
即当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，对一切都成立．

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构造函数法在不等式证明中运用

构造函数法在不等式证明中运用
不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。
一、构造函数利用判别式证明不等式
①构造函数正用判别式证明不等式
在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
例1.设：a、b、c∈R，证明：成立，并指出等号何时成立。
解析：令
⊿＝
∵b、c∈R，∴⊿≤0
即：，∴恒成立。
当⊿＝0时，，此时，，
∴时，不等式取等号。
例2.已知：且，求证：。
解析：消去c得：，此方程恒成立，
∴⊿＝，即：。
同理可求得
②构造函数逆用判别式证明不等式
对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：
由，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3.设且，
求证：﹤6。
解析：构造函数：
＝
由，得⊿≤0，即⊿＝.
∴﹤6.
例4.设且，求的最小值。
解析：构造函数
＝
由（当且仅当时取等号），
得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0
∴当时，
二、构造函数利用函数有界性证明不等式
例5.设﹤1，﹤1，﹤1，求证：﹥-1.
解析：令为一次函数。
由于﹥0，且﹥0，
∴在时恒有﹥0.
又∵，∴﹥0，即：﹥0
评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为。
三、构造函数利用单调性证明不等式
例6.设，求证：﹥
解析：设，当﹥0时，是增函数，
又＝﹥＝，
而，∴﹥，∴﹥
故有：﹥
例7.求证：当﹥0时，﹥。
解析：令，∵﹥0，∴﹥0.
又∵在处连续，∴在上是增函数，
从而，当﹥0时，﹥＝0，
即：﹥成立。
评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。
四、构造函数利用奇偶性证明不等式
例8.求证：﹤。
解析：设-，＝＝＝＝.
所以是偶函数，其图象关于轴对称。
当﹥0时，﹤0，故﹤0；当﹤0时，依图象关于轴对称知﹤0。
故当时，恒有﹤0，即﹤
评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明的，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。
由上述几种情况可以看出，能否顺利地构造函数利用其函数性质和使用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质，敢于打破常规，创造性地思维，才能独辟蹊径，使问题获得妙解。

归纳法

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的教案内容吗？小编收集并整理了“归纳法”，相信您能找到对自己有用的内容。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版B]
2.3.1数学归纳法

教学目标：
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点：
了解数学归纳法的原理
教学过程
一、复习：推理与证明方法
二、引入新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
4、例子
例1
用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.
例2用数学归纳法证明
例3判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.
证明：①当n=1时，左边＝右边＝，等式成立
②设n=k时，有
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立
课堂练习：第80页练习
课后作业：第82页A:1,2,3

不等式的性质1

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质1”，相信您能找到对自己有用的内容。

不等式的性质1教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

不等式的证实1

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么，你知道教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的不等式的证实1，仅供参考，欢迎大家阅读。

不等式的证实1教学目标
(1)理解证实不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义;
(2)把握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式;
(3)能灵活根据题目选择适当地证实方法来证不等式;
(4)能用不等式证实的方法解决一些实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力;
(6)通过不等式证实,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力;
(7)通过组织学生对不等式证实方法的意义和应用的参与,培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
(一)教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点:不等式证实的主要方法的意义和应用;
难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;
②综合性问题选择适当的证实方法.
(1)不等式证实的意义
不等式的证实是要证实对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
(2)比较法证实不等式的分析
①在证实不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.
②证实不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于,因此,证实,可转化为证实与之等价的.这种证法就是求差比较法.
由于当时,,因此,证实可以转化为证实与之等价的.这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证实不等式时,一定要注重的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是:“作差——变形——断号”.
其中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.
变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等,为此,有时把差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式,或者变形为几个因式的积的形式等.总之.能够判定出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是:“作商——变形——判定商式与1的大小关系”,需要注重的是,作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证实.
(3)综合法证实不等式的分析
①利用某些已经证实过的不等式和不等式的性质推倒出所要证实的不等式成立,这种证实方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列的推出变换,推倒出求证的不等式.
③综合法证实不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④利用综合法由因导果证实不等式,就要揭示出条件与结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在分析所证不等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,进行有效的变换是证实不等式的关键.
(4)分析法证实不等式的分析
①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证实方法就是分析法.
有时,我们也可以首先假定所要证实的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注重应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证实不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④分析法是教学中的一个难点,一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件,二是不易正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证实”“只需证实”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证实不等式时一种常用的基本方法.当证实不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.非凡对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
(5)关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.即推理方向是:结论已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.即:已知结论.
③分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是:从“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点:
从寻求解题思路来看:分析法是执果索因,利于思考,方向明确,思路自然,有希望成功;综合法由因导果,往往枝节横生,不轻易达到所要证实的结论.
从书写表达过程而论:分析法叙述繁锁,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清楚.
也就是说,分析法利于思考,综合法宜于表达.
⑤一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,用分析法来书写又比较麻烦.因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证实,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
(二)教法建议
①选择例题和习题要注重层次性.
不等式证实的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注重例题安排要由易到难,由简单到综合,层层深入,启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的练习题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系,对知识进行拓展、延伸,使学生沟通知识,有效地提高解题能力.
②在教学过程中,应通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动,理解不等式证实方法的实质和几种证实方法的意义,通过练习积累经验,能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小;复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化,利用分析法能够把结论向条件靠拢,最终达到结合点,从而解决问题.
③学生素质较好的,教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证实不等式的内容,但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.把握证实不等式的方法——比较法;
2.熟悉并把握比较法证实不等式的意义及基本步骤.
教学重点比较法的意义和基本步骤.
教学难点常见的变形技巧.
教学方法启发引导式.
教学过程
(-)导入新课
(教师活动)教师提问:根据前一节学过的知识,我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小?.
(学生活动)学生思考问题,找学生甲口答问题.
(学生甲回答:,,,)
[点评](待学生回答问题后)要比较两个实数与的大小,只要考察与的差值的符号就可以了,这种证实不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习:用比较法证实不等式.(板书课题)
设计意图:通过教师设置问题,引导学生回忆所学的知识,引出用比较法证实不等式,导入本节课学习的知识.
(二)新课讲授
尝试探索,建立新知
(教师活动)教师板书问题(证实不等式),写出一道例题的题目
[问题]求证
教师引导学生分析、思考,研究不等式的证实.
(学生活动)学生研究证实不等式,尝试完成问题.
(得出证实过程后)
[点评]
①通过确定差的符号,证实不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证实不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.
③理论依据是:
④由,,知:要证实只要证;要证实这种证实不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图:帮助学生构建用比较法证实不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.
例题示范,学会应用
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.
例1求证
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题.与教师一道完成问题的论证.
[分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得,将此式看作关于的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.
证实:∵
=
=,
∴.
[点评]
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.
②作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判定.
变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要灵活处理,例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2已知都是正数,并且,求证:
[分析]这是分式不等式的证实题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.
证实:
=
=.
因为都是正数,且,所以
.
∴.
即:
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数.
1.当时,
2.当时,.以后要记住.
设计意图:巩固用比较法证实不等式的知识,学会在用比较法证实不等式中,对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习:1.求证
2.已知,,,d都是正数,且,求证
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
设计意图,把握用比较法证实不等式,并会灵活运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教学活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结用比较法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
比较法是证实不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证实不等式的步骤是:作差、变形、判定符号.要灵活把握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握用比较法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课学习了用比较法证实不等式,用比较法证实不等式的步骤中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.把握求差后对差式变形的常用方法:配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P16.1,2,3.
2.思考题:已知,求证:
3.研究性题:设,,都是正数,且,求证:
设计意图,课本作业供学生巩固基础知识;思考题供学有余力的学生完成,培养其灵活把握用比较法证实不等式的能力;研究性题是为培养学生创新意识.
(五)课后点评
1.本节课是用比较法证实不等式的第一节课,在导入新课时,教师提出问题,让学生回忆所学知识中,是如何比较两个实数大小的,从而引入用比较法证实不等式.这样处理合情合理,顺理成章.
2.在建立新知过程中,教师引导学生分析研究证实不等式,使学生在尝试探索过程中形成用比较法证实不等式的感性熟悉.
3.例1,例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结,求差后对差式变形、并判定符号的方法,以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点,应着重解决.首先让学生明确变形目的,减少变形的盲目性;其次是总结变形时常用方法,有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题,培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题:,又,获证.