小学数学的教案

高二数学离散型随机变量的均值学案。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师掌握上课时的教学节奏。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高二数学离散型随机变量的均值学案”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

§离散型随机变量的均值
一、知识要点
1.离散型随机变量.
2.离散型随机变量的均值或数学期望.
3.几种特殊的离散型随机变量的数学期望.
①两点分布；②二项分布；③超几何分布.
二、典型例题
例1.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望.
例2.从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品概率为0.05，随机变量表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量的数学期望.

例3.某人射击一发子弹的命中率为0.8，若他只有5颗子弹，若击中目标，则不再射击，否则继续射击至子弹打完，求他射击次数的期望.

三、巩固练习
1.设随机变量的概率分布如下表，试求.
12345

2.假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为，求的数学期望.

3.从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？
8910
8910
0.30.10.6
0.20.50.3

4.某商家有一台电话交换机，其中有5个分机专供与顾客通话。设每个分机在1h内平均占线20min，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目的数学期望.

四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.随机变量的概率分布如下表所示
1234

且，则=，=.
2.已知随机变量的分布列为
012

且，则=.
3.一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含有红球个数的数学期望为.
4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是.
5.一个盒子中有10件产品，其中有2件是次品，现逐个抽取，取到次品则抛弃,直到取到正品为止，则被抛弃的次品数的均值=.
6.对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题，记为解出该题的人数，则=.
7.设篮球队A与B进行比赛，若有一队先胜3场，比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是，求比赛场数的分布列和均值.

8.袋中有2个白球，3个黑球，从中任意摸一球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，猜错不得分，从平均得分最大的角度，你猜什么颜色有利？说明理由.

9.某运动员射击一次所得环数的分布如下：
78910
0.20.30.30.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击所中最高环数作为他的成绩，记为.
⑴求该运动员两次都命中7环的概率；
⑵求的分布列；
⑶求的数学期望.

订正栏：

扩展阅读

2.3离散型随机变量的均值与方差教案二（新人教A版选修2-3）

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2.3离散型随机变量的均值与方差教案二（新人教A版选修2-3）”，仅供参考，希望能为您提供参考！

2．3离散型随机变量的均值与方差
2．3．1离散型随机变量的均值
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）
5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
6.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P
…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
8.离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么
（k＝0,1,2,…，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ123…k…
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有
次得4环；
次得5环；
…………
次得10环．
故在n次射击的总环数大约为
，
从而，预计n次射击的平均环数约为
．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
…．
1.均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望．
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξx1x2…xn…
η
…
…
Pp1p2…pn…
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5.若ξB（n,p），则Eξ=np
证明如下：
∵，
∴0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋．
故若ξ～B(n，p)，则np．
三、讲解范例：
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，
所以
例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即
X1=3800.
采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即
同样，采用第3种方案，有
于是，
EX1＝3800,
EX2＝62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)
=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600,
EX3=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)
=60000×0.01+10000×0.25=3100.
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．
例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，
=3.5
例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：
（=1，2，…，10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：
12345678910
0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316
根据以上的概率分布，可得的期望
例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ123456

所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
ξ15161718
P0.10.50.30.1
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；
(Ⅱ)
∵η=2ξ+2
∴2Eξ+2=34.8（元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
四、课堂练习：
1.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）
A．4；B．5；C．4.5；D．4.75
答案：C
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：⑴因为，，所以
1×＋0×
⑵η的概率分布为
η012
P

所以0×＋1×＋2×＝1.4．
⑶ξ的概率分布为
ξ０１23
P

所以0×＋1×＋2×＝2.1.
3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．
分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.
解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．
∴P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．
∴ξ～B(n,)，故Eξ=n×=
五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np
六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）
解：令取取黄球个数(=0、1、2)则的要布列为
012
p

于是E（）=0×+1×+2×=0.8
故知红球个数的数学期望为1.2
2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数
①求的概率分布列
②求的数学期望
解：①依题意的取值为0、1、2、3、4
=0时，取2黑p(=0)=
=1时，取1黑1白p(=1)=
=2时，取2白或1红1黑p(=2)=+
=3时，取1白1红，概率p(=3)=
=4时，取2红，概率p(=4)=
01234
p

∴分布列为

（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望
解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）
表示第i台仪器不出现故障，则：
p(=1)=p(A1)+p(A2)+p(A3)
=p1(1－p2)(1－p3)+p2(1－p1)(1－p3)+p3(1－p1)(1－p2)
=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p(=2)=p(A1A2)+p(A1)+p(A2A3)
=p1p2(1－p3)+p1p3(1－p2)+p2p3(1－p1)
=p1p2+p1p3+p2p3－3p1p2p3
p(=3)=p(A1A2A3)=p1p2p3
∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=p1+p2+p3
注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2
解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为
012

5.、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率
A1对B1

A2对B2

A3对B3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，
（1）求，的概率分布；（2）求，
解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0
根据题意知，所以
（Ⅱ）；
因为,所以
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。

高二数学《随机变量》教案

高二数学《随机变量》教案

学习目标：

1、了解本章的学习的内容以及学习思想方法2、能叙述随机变量的定义

3、能说出随机变量与函数的关系，4、能够把一个随机试验结果用随机变量表示

重点：能够把一个随机试验结果用随机变量表示

难点：随机事件概念的透彻理解及对随机变量引入目的的认识：

环节一：随机变量的定义

1.通过生活中的一些随机现象，能够概括出随机变量的定义

2能叙述随机变量的定义

3能说出随机变量与函数的区别与联系

一、阅读课本33页问题提出和分析理解，回答下列问题？

1、了解一个随机现象的规律具体指的是什么？

2、分析理解中的两个随机现象的随机试验结果有什么不同？建立了什么样的对应关系？

总结：

3、随机变量

（1）定义：

这种对应称为一个随机变量。即随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的

到的映射。

（2）表示：随机变量常用大写字母.等表示.

（3）随机变量与函数的区别与联系

函数随机变量
自变量
因变量
因变量的范围
相同点都是映射都是映射
环节二随机变量的应用

1、能正确写出随机现象所有可能出现的结果2、能用随机变量的描述随机事件

例1：已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取3件，其中含有的次品数为随机变量的学案.这是一个随机现象。（1）写成该随机现象所有可能出现的结果；（2）试用随机变量来描述上述结果。

变式：已知在10件产品中有2件不合格品。从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象。若Y表示取出的3件产品中的合格品数，试用随机变量描述上述结果

例2连续投掷一枚均匀的硬币两次，用X表示这两次正面朝上的次数，则X是一个随机变

量，分别说明下列集合所代表的随机事件：

（1）{X=0}（2）{X=1}

（3）{X2}（4）{X0}

变式：连续投掷一枚均匀的硬币三次，用X表示这三次正面朝上的次数，则X是一个随机变量，X的可能取值是？并说明这些值所表示的随机试验的结果.

练习：写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机变量的结果。

（1）从学校回家要经过5个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数；

（2）一个袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从中随机取出3只球，被取出的球的最大号码数；

小结（对标）

2.3离散型随机变量的均值与方差教案一（新人教A版选修2-3）

2．3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋
叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5.分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．
ξ01…k…n
P
…
…

8.几何分布：g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
ξ123…k…
P
…
9.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称……为ξ的数学期望，简称期望．
10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12.期望的一个性质:
13.若ξB（n,p），则Eξ=np
二、讲解新课：
1.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2.标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X的分布列为
ξ123456

从而

例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800
获得相应职位的概率P10.40.30.20.1

乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000
获得相应职位的概率P20.40.30.20.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1
=1400,
DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3
+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1
=40000;
EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,
DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.l
=160000.
因为EX1=EX2,DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

例3．设随机变量ξ的分布列为
ξ12…n
P
…

求Dξ
解：（略）,
例4．已知离散型随机变量的概率分布为
1234567

P

离散型随机变量的概率分布为
3．73．83．944．14．24．3
P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：；
；
；
=0.04,.
点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+（10-9）；
同理有
由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床B机床
次品数ξ10123次品数ξ10123
概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10
问哪一台机床加工质量较好
解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1Dξ2故A机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1.已知，则的值分别是（）
A．；B．；C．；D．
答案：1.D
2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
则Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)
5.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
分析：两个随机变量ξA和ξB都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性
解：先比较ξA与ξB的期望值，因为
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξADξB.因此，A种钢筋质量较好
6.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题
意，可得ξ的分布列为
ξ0525100
P

答：一张彩票的合理价格是0．2元．
五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、课后作业：P69练习1,2,3P69A组4B组1,2
1.设～B(n、p)且E=12D=4，求n、p
解：由二次分布的期望与方差性质可知E=npD=np（1－p）
∴∴
2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b(2；6，)
解：p(=2)=c62()2()4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
123
pA0.10.6
123
p0.3b0.3

试分析甲、乙技术状况
解：由0.1+0.6+a+1a=0.3
0.3+0.3+b=1a=0.4
∴E=2.3,E=2.0
D=0.81,D=0.6
七、板书设计（略）
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；
④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

高二数学.1随机变量及其概率分布学案

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写教案时要注意些什么呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“高二数学.1随机变量及其概率分布学案”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

§2.1随机变量及其概率分布
一、知识要点
1.随机变量
2.随机变量的概率分布：
⑴分布列：；
⑵分布表：
……

这里的满足条件.
3.两点分布
二、典型例题
例1.⑴掷一枚质地均匀的硬币1次，若用表示掷得正面的次数，则随机变量的可能取值有哪些？
⑵一实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为，则随机变量的可能取值有哪些？

例2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用表示“取到的白球个数”即，求随机变量的概率分布.

例3.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的较大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率.

例4.将3个小球随机地放入4个盒子中，盒子中球的最大个数记为，求⑴的分布列；⑵盒子中球的最大个数不是1的概率.
三、巩固练习
1.设随机变量的概率分布列为，则常数等于.
2.掷一枚骰子，出现点数是一随机变量，则的值为.
3.若离散型随机变量的分布列见下表，则常数=.

4.设随机变量的分布列为.
求：⑴；⑵；⑶.

四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.设随机变量的分布列为，则=.
2.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子的个数为，则=.
3.设是一个随机变量，其分布列为，则=.
4.设随机变量的分布列为为常数，则
=.
5.在0—1分布中，设，则=.
6.已知随机变量的概率分布如下：
－1－0.501.83
0.10.20.10.3

求：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.

7.袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以表示取到的球中的最大号码，试写出的分布列.

8.设随机变量只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的机会是均等的.试求:
⑴；⑵；⑶.