高二数学向量的坐标表示及其运算016。
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8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）
一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为下节课定比分点（三点共线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；
2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
3．会用平行的充要条件解决点共线问题；
4．感悟向量作为工具解题的优越性.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
创设问题情景
问题一、已知向量.
（1）在坐标平面上，画出向量；并求=；
（2）若向量终点Q坐标为，则向量的始点P坐标为_______；
（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是.
若，则
练习1：已知向量，求
[说明]在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向高考￥资%源~网量平行，记为：.
问题探究反思
问题二.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)
向量的模
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A、B、C在一条直线上
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
[说明]养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？
方法一：计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.
（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系.
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（）条件.
A、充要B、必要不充分
C、充分不必要D、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.
证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：
非零向量存在非零实数，使得，即
，化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性：
（1）若,则、、、全不为零，显然有，即
（2）若，则、、、中至少有两个为零.
①如果，则由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即
②如果，则有，同理可证
综上，当时，总有
所以，命题得证.
[说明]本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（）
①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②；③(+)//(－)
A、0个B、1个C、2个D、3个
3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为；
[说明]安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题三：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____
（学生讨论与分析）
[说明]三点共线的证明方法总结：
法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.
*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.
课外探索学习
课外作业：
1．练习册P38：4、5、6、7
补充作业：
1．关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“”的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“”的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“”的充要条件是“和的方向相同”；
其中真命题的个数是（）
A．1B.2C.3D.4
2．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P的坐标为（）
A．（－2，4）B．（－30，25）C．（10，－5）D．（5，－10）
3．已知向量，则的最大值为.
4．设C、D为直线上不重合的两点，对于坐标平面上动点，若存在实数使得，则=.
5．在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________.
6．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量
相关知识
§3.1.5空间向量运算的坐标表示
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“§3.1.5空间向量运算的坐标表示”，相信您能找到对自己有用的内容。
§3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：
空间向量的坐标运算
【教学难点】：
空间向量的坐标运算
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新平面向量的坐标运算
二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，则，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运
2．数量积：即=
3．夹角：．
4．模长公式：若，
则．
5．平行与垂直：
6．距离公式：若，，
则，
或．
算规律和结论的本质是一样的。
三．典例例1．如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成的角的余弦值。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
，，
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
讲练所以，
因此，与所成角的余弦值是
例2．如图，正方体中，，分别是，的中点，求证：
证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，所以，又，，所以，
所以，
因此，即
四．练习巩固课本P97练习1，2，3
五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。
学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问
2．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（）
A.B.C.2D.
题。
六．小结1．空间向量的直角坐标运算律
2．数量积与夹角
3．模长与距离
4．平行于垂直
七．作业课本P98习题3.1，A组第8、9、11题
练习与测试：
（基础题）
1．已知向量的夹角为（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2
（中等题）
3.已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
4,已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，则向量与的夹角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
高二数学平面向量共线的坐标表示24
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家应该要写教案课件了。用心制定好教案课件的工作计划，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！有哪些好的范文适合教案课件的？下面是小编为大家整理的“高二数学平面向量共线的坐标表示24”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
第6课时§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成∵x1，x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
预习课本P94～98，思考并完成以下问题
(1)怎样分解一个向量才为正交分解？
(2)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定义
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[点睛](1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述符号表示
加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)
重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[点睛](1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．()
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝______.
答案：(－1，－4)
平面向量的坐标表示
[典例]
如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解]由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(3，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐标运算
[典例](1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，则P点坐标为______．
解析：设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32
向量坐标运算的综合应用
[典例]已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解]因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
向量中含参数问题的求解
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
层级一学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：选C记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：选A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：选Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：选D设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.
层级二应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：选D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“?”为m?n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，则(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：选B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
高二数学《平面向量的坐标表示》复习课教案
高二数学《平面向量的坐标表示》复习课教案
一、学情分析
本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、考纲要求
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.
三、教学过程
(一)知识梳理:
1.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝_________________
||＝_______________
（二）平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则
+＝－＝λ＝．
2.向量平行的坐标表示
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥________________.
（三）核心考点·习题演练
考点1.平面向量的坐标运算
例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设(1)求3+-3;
(2)求满足=m+n的实数m,n;
练：（2015江苏,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)
(m,n∈R),则m-n的值为.
考点2平面向量共线的坐标表示
例2:平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)
若(+k)∥(2-),求实数k的值;
练：(2015，四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=()
思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?
方法总结:
1.向量共线的两种表示形式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥ba=λb(b≠0);②a∥bx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
2.两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
考点3平面向量数量积的坐标运算
例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,
则的值为;的最大值为.
【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
练：(2014,安徽，13）设=(1,2),=(1,1),=+k.若⊥,则实数k的值等于()
【思考】两非零向量⊥的充要条件:·=0.
解题心得:
(1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
(3)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0x1x2+y1y2=0.
考点4：平面向量模的坐标表示
例4：(2015湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为()
A.6B.7C.8D.9
练：（2016，上海，12）
在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是？
解题心得:
求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解..
五、课后作业（课后习题1、2题）
