最大值和最小值问题。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师提高自己的教学质量。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《最大值和最小值问题》，供您参考，希望能够帮助到大家。

3.2.2最大值、最小值问题
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
二、讲解新课：
1.函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⒉利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
三、讲解范例：
例1求函数在区间上的最大值与最小值
例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围
例3.设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b
例4已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.
四、课堂练习：
1．下列说法正确的是()
A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()
A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能
3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为()
A.0B.－2C.－1D.
4.函数y=的最大值为()。A.B.1C.D.
5.设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是()
A.27B.－3C.－1D.1
6.设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且ab,则()
A.a=2,b=29B.a=2,b=3C.a=3,b=2D.a=－2,b=－3JAb88.COm

五、小结：
⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
⑵函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
⑶闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

相关知识

单调性与最大小值教学设计

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的教案内容吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“单调性与最大小值教学设计”，仅供参考，大家一起来看看吧。

教学设计
1.3.1单调性与最大(小)值
第1课时
整体设计
教学目标
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
重点难点
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．
教学方法
教师启发讲授，学生探究学习．
教学手段
计算机、投影仪．
教学过程
创设情境，引入课题
课前布置任务：
(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．
下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．
图1
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．
归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
图2
预案：(1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．
(2)函数y＝x2在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．
(3)函数y＝1x在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？
预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．
【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数y＝x＋2x(x＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
图3
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．
问题2：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？
预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
(3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22，
所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2.
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．
3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题：
①已知f(x)＝1x，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数．
②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．
③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数f(x)＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．
掌握证法，适当延展
【例】证明函数f(x)＝x＋2x在(2，＋∞)上是增函数．
1．分析解决问题
针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，设元
f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1－x2＋2x2求差
＝(x1－x2)＋2x1－2x2
＝(x1－x2)＋2(x2－x1)x1x2＝(x1－x2)1－2x1x2＝(x1－x2)x1x2－2x1x2，变形
∵2＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号
∴函数f(x)＝x＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论
2．归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
问题：要证明函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有f(x2)－f(x1)x2－x1＞0可以吗？
引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．
2．作业
书面作业：课本习题1.3A组第1,2,3题．
课后探究：
(1)证明：函数f(x)在区间(a，b)上是增函数当且仅当对任意的x，x＋h∈(a，b)，且h≠0有f(x＋h)－f(x)h＞0.
(2)研究函数y＝x＋1x(x＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
设计说明
1．教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．
2．教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
3．教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
4．教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．
(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．
第2课时
作者：方诚心
整体设计
教学目标
1．知识与技能
(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．
(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．
2．过程与方法
(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．
3．情感、态度与价值观
理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．
重点难点
教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．
教学难点：如何求一个具体函数的最值．
教学过程
导入新课
思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址，新厂址的长为xm，则宽为10000xm，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y＝2x＋10000x，x＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．
思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]；
③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]．
学生回答后，教师引出课题：函数的最值．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)如图4所示是函数y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f(x)的图象．观察这三个图象的共同特征．
图4
(2)函数图象上任意点P(x，y)的坐标与函数有什么关系？
(3)你是怎样理解函数图象最高点的？
(4)问题(1)中，在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，如图5所示，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数y＝f(x)的图象有最高点C?
图5
(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？
(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
(7)函数最大值的几何意义是什么？
(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？
(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？
(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．
(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
(7)函数图象上最高点的纵坐标．
(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．
(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.
(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
提出问题
(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．
讨论结果：(1)函数最小值的定义是：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．
(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
应用示例
例1求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y＝2x－1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．
解：设2≤x1＜x2≤6，则有
f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).
∵2≤x1＜x2≤6，
∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，即函数y＝2x－1在区间[2,6]上是减函数．
∴当x＝2时，函数y＝2x－1在区间[2,6]上取得最大值f(2)＝2；
当x＝6时，函数y＝2x－1在区间[2,6]上取得最小值f(6)＝25.
变式训练
1．求函数y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值．
解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1.
2．函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．
解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值．
设x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y＝t2＋2t－1是增函数，
则当t＝0时，函数y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1.
答案：－1
3．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．
解：函数图象如图6所示．
图6
由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题．
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1m)”就是函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；转化为求函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此时自变量t的值．
解：作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示，
图7
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
当t＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29.
即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
变式训练
1．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()
A．323cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2
解析：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S，则S＝34x2＋34(4－x)2＝32(x－2)2＋23≥23.当x＝2时，S取最小值23cm2.故选D.
答案：D
2．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润．
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答．利润＝(售价－进价)×销售量．
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝(x－8)[60－(x－10)10]
＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)，
当且仅当x＝12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
知能训练
课本本节练习5.
【补充练习】
某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m≥0)满足x＝3－2m＋1.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；
(2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．
解：(1)每件产品的成本为8＋16xx元，故2013年的利润为
y＝1.5×8＋16xx×x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋83－2m＋1－m＝28－16m＋1－m(万元)(m≥0)．
(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－16m＋1－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－16m＋1－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－16m＋1－m取最大值21万元．
拓展提升
问题：求函数y＝1x2＋x＋1的最大值．
解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，
故图象最高点是－12，43.
图8
则函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x＜－12时，函数y＝1x2＋x＋1是增函数；
当x≥－12时，函数y＝1x2＋x＋1是减函数．
则当x＝－12时，函数y＝1x2＋x＋1取最大值43，
即函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.
(方法三)函数的定义域是R，
由y＝1x2＋x＋1，得yx2＋yx＋y－1＝0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有实数根．
当y＝0时，关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0无实数根，即y＝0不属于函数的值域．
当y≠0时，则关于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程，
则有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤43.
∴函数y＝1x2＋x＋1的最大值是43.
点评：方法三称为判别式法，形如函数y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2－4df＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0，得关于y的不等式，解不等式组n2－4mk≥0，m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．
课堂小结
本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．
作业
课本习题1.3A组5,6.
设计感想
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：
1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．
2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．
备课资料
基本初等函数的最值
1．正比例函数：y＝kx(k≠0)在定义域R上不存在最值．在闭区间[a，b]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
2．反比例函数：y＝kx(k≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a，b](ab＞0)上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka.
3．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上不存在最值．在闭区间[m，n]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(n)＝kn＋b，最小值为f(m)＝km＋b；当k＜0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(m)＝km＋b，最小值为f(n)＝kn＋b.
4．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值f－b2a＝－b2＋4ac4a，无最大值；
当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值f－b2a＝－b2＋4ac4a，无最小值．
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若－b2a＜p，则f(x)在区间[p，q]上是增函数，则f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)．
(2)若p≤－b2a≤q，则f(x)min＝f－b2a，此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤－b2a＜p＋q2时，则f(x)max＝f(q)；
②当p＋q2＝－b2a时，则f(x)max＝f(p)＝f(q)；
③当p＋q2＜－b2a＜q时，则f(x)max＝f(p)．
(3)若－b2a≥q，则f(x)在区间[p，q]上是减函数，则f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)．
由此可见，当－b2a∈[p，q]时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f－b2a；当－b2a[p，q]时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f(p)和f(q)中的最小值．

§1．3．3函数的最大（小）值与导数（1课时）

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师提高自己的教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“§1．3．3函数的最大（小）值与导数（1课时）”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

§1．3．3函数的最大（小）值与导数（1课时）
【学情分析】：
这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法
【教学目标】：
（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念
（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤
【教学重点】：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
【教学难点】：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
复习引入设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极大值f(x0)，x0是极大值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)
设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极小值f(x0)，x0是极小值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)知识的巩固
概念对比回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识：
函数最大值的概念：
设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：
（1）对于任意的_____，都有f(x)___M
（2）存在__________，使得_______
则称M为函数y=f(x)的最________值
函数最小值的概念：
设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：
（1）对于任意的_____，都有f(x)___M
（2）存在__________，使得_______
则称M为函数y=f(x)的最________值

思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？让学生发现极值与最值的概念区别，
概念辨析练习（1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极大（小）值点就是最大（小）值点
（2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最大（小）值点就是极大（小）值点
（3）函数y=f(x)在x=a处取得极值是函数y=f(x)在x=a处
取得最值的____________（充要性）通过练习深化他们对函数取极值与最值的区别
对极值与最值概念的深化理解（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质，函数的极值是描述函数在某个局部的性质
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个点评提高
闭区间上的函数最值问题（1）在闭区间上函数最值的存在性：
通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数的最值及相应的最值点：
a.函数y=-x+2在区间[-3,2]的图像
b.函数在区间[1/2，3]的图像
c.函数在区间[-3，0]的图像
d.函数图像如下：
一般性总结：
在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
（连续函数的闭区间定理——数学分析）

（2）在闭区间上函数最值点的分析：
既然在闭区间上连续的函数在上必有最值，那么最值点会是哪些点呢？
通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点
有无其他可能？
没有——反证法可说明本节的主要内容及主要结论，也是求函数最值的理论根据和方法指引
需要注意的地方判断正误：
（1）在开区间内连续的函数一定有最大值与最小值
（2）函数在闭区间上一定有最大值与最小值
（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
说明：
开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值（1）F；（2）F；（3）T
例题精讲求闭区间上的连续函数的最值
对于教材例5的处理方式：
此题课本直接求出了极值和相应的极值点，个人认为还是让学生经历一个求极值的过程：
先要求学生求函数在区间上的极值及极值点
再提问学生是否可以马上下结论：最值是多少？
务必让学生牢记：求函数的最值不光要求极值，还要计算函数在闭区间端点处的函数值

整个例题的使用务必让学生体会求函数最值的方法与步骤

求闭区间上的连续函数的最值，务必勤加练习，方能熟练掌握其方法，思维方法周密、不缺漏

除教材提供的练习外还可以补充以下练习：
在[0,3]上的最大值和最小值
在上的最大值和最小值
在上的最大值和最小值
在[0,4]上的最大值和最小值
上的最大值和最小值

求闭区间上连续函数最值的方法与步骤总结设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

课后练习：
1、函数在区间上的最大值和最小值分别为（）
A5，-15B5，-4C-4，-15D5，-16
答案D
2、函数在区间上的最小值为（）
ABCD
答案D

3、函数的最大值为（）
ABCD
答案A令，当时，；当时，，，在定义域内只有一个极值，所以
4、函数在上的最大值是__________最小值是__________
答案

5、函数在区间上的最大值是
答案，比较处的函数值，得

6、求函数
（1）求函数的单调递减区间
（2）函数在区间上的最大值是20，求它在该区间上的最小值
答案：
，为减区间
为增区间
所以
a=-2,所以最小值为

极大值与极小值学案练习题

§1.3.2极大值与极小值(1)
一、知识点
1.通过几何直观得到极大(小)值与导数的关系，了解极值和极值点是函数的局部性态，仅考虑该点与附近的点之间的比较，而不是在所给的整个区间或定义域范围。
2.一般地，求函数的极值的方法是：
⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
⑶如果在附近的左侧及右侧不变号，那么一定不是极值。
二、典型例题
例1.求下列函数的极值：
⑴⑵

例2.求函数在区间内的极值。

三、巩固练习
1.求下列函数的极值
⑴；

2.如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明.

3.根据下列条件大致作出函数的图象：
⑴，，当时；当时，；
⑵，当时，.
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.已知函数的导数则当=时，函数取得极大值；
2.函数的极大值是，极小值是；
3.函数，当=时取得极大值为；当=时，取得极小值为；
4.函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，当=时，取极小值，则极小值为；
5.求下列函数的极值：
⑴⑵
⑶⑷

6.求函数的极值。

7.已知函数的图象如图所示，试作出的草图.
订正栏：

,水的电离和溶液的pH值

教学目标

知识目标
??了解水的电离和水的离子积；
??了解溶液的酸碱性和pH值的关系
??掌握有关pH值的简单计算。

能力目标
培养学生的归纳思维能力及知识的综合应用能力。
??通过酸、碱对水的电离平衡的影响的讨论，培养学生运用所学的电离理论，独立分析问题、解决问题的能力。
??通过pH的教学，培养学生的计算能力，并对学生进行科学方法教育。

情感目标
对学生进行对立统一及事物间相互联系与相互制约的辩证唯物主义观点的教育。

教学建议

教材分析

本节的第一部分重点介绍水的电离和水的离子积常数，是对上一节电离平衡的具体应用，同时又为接下来学习溶液酸碱性作必要的准备。一开始，教材根据水有微弱导电性的实验结论，说明水是极弱的电解质，突出了化学研究以实验事实为依据的原则。然后，应用电离平衡理论，用电离平衡常数推导出水的离子积常数，使水的离子积常数的概念有了充分的理论依据，也反映了两个常数之间的内在联系，便于学生理解温度、浓度等外界条件对水的离子积常数的影响。

本节的第二部分为溶液的酸碱性和pH。教材首先指出常温下即便是在稀溶液中，水的离子积仍然是一个常数，由此进一步说明c(H+)和c(OH－)的相对大小是决定溶液的酸碱性的根本原因。在具体分析了溶液的酸碱性和c(H+)、c(OH－)的关系之后，结合实际说明了引入pH的必要性，这也为后面讨论pH的范围埋下了伏笔。在给出了pH的表达式之后，教材随即介绍了pH的简单计算，并在分析计算结果的基础上讨论了溶液的酸碱性和pH的关系，最后强调了pH的应用范围。

从教材编排的看，整节内容环环相扣、层层递进，成为一个前后紧密联系的整体。

教材还安排了“资料”和“阅读”，这不仅可以丰富学生的知识，更有利于培养学生理论联系实际的良好学习习惯。

还应注意的是，根据新的国家标准，教材将“pH值”改称为“pH”。教学中要以教材为准，不可读错。

教法建议

迁移电离平衡理论学习水的电离。可以提出这样的问题“实验证明水也有极弱的导电性，试分析水导电的原因”，以问题引发学生的思考，由学生自己根据所学的电离理论得出“水是极弱的电解质，纯水中存在水的电离平衡”的结论。对于学生层次较高的班级，利用化学平衡常数推导水的离子积常数，可以在教师指导下由学生独立完成；对于学生层次较低的班级，可以以教师为主进行推导。

推导水的离子积常数，目的在于使学生认识水的离子积常数与水的电离平衡常数之间的联系，更好地理解水的离子积常数只随温度变化而变化的原因。教学中切不可把重点放在使学生掌握水的离子积常数的推导方法上。

可以利用电脑动画，演示水的电离过程，增强直观性，加深学生对知识的理解，并激发学生兴趣，巩固所学知识。

讨论溶液的酸碱性时，应先让学生分析酸、碱对水的电离平衡的影响，分析水中加入酸或碱后c(H+)和c(OH－)的变化。再根据KW=Kc(H2O)，说明对于稀溶液而言，c(H2O)也可看作常数。因此，只要温度一定，无论是纯水还是稀溶液在KW都为常数，或者说c(H+)和c(OH－)的乘积都是定值。进而得出水溶液的酸碱性是由c(H+)和c(OH－)的相对大小所决定的结论，并具体说明二者之间的关系。

关于pH的教学可以分以下几步进行。先说明引入pH的意义，再给出计算式，介绍有关pH的简单计算，最后总结溶液的酸碱性和pH的关系，并强调pH的使用范围。对于学生层次较高的班级，可以让学生通过讨论来确定pH的使用范围。

可安排学生课下阅读课后的“资料”和“阅读”材料，开阔视野，增长知识。