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高中三角函数的教案

发表时间：2020-11-19

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数（第二课时）导学案。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编为大家精心整理的“高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数（第二课时）导学案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

1.2.1任意角的三角函数（第二课时）
【学习目标】
1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2.了解角的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域；
3.掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题.

【新知自学】
知识回顾：
1.三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：
(1)____叫做的正弦，记作____，即____；
（2）___叫做的余弦，记作____，即____；
（3）___叫做的正切，记作___，即_____.
2．三角函数的符号
正弦值对于第一、二象限为____（y0,r0），对于第三、四象限为____(y0,r0)
余弦值对于第一、四象限为_____(x0,r0),对于第二、三象限为___(x0,r0)
正切值对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．

新知梳理：
1.诱导公式
终边相同的角的_________________相等.

公式一:_______=sin，

____________=cos，

_________=tan.
（其中，）
2．正弦线、余弦线、正切线：
如上图，分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线.

对点练习：
1、比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．

2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果是_______________．

3．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“”或“”连接)：
(1)sin23π________sin34π；
(2)cos23π________cos34π；
(3)tan23π________tan34π.

【合作探究】
典例精析：
题型一：诱导公式的应用
例1.求下列三角函数值：
（1）；（2）；（3）

变式练习
（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500;

变式练习（2）sin(.

题型二：三角函数线的应用
例2.在单位圆中，画出满足的角的终边.

变式练习（3）已知，确定的大小关系.
变式练习（4）：
如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是()
A．cosα＜sinα＜tanα
B．tanα＜sinα＜cosα
C．sinα＜cosα＜tanα
D．cosα＜tanα＜sinα
【课堂小结】

【当堂达标】
1．=（）
A.B.C.D.
2．若，则的大小关系是
3.求值：.

4、利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin2π3与sin4π5；
(2)tan2π3与tan4π5；
(3)cos2π3与cos4π5.

【课时作业】
1.若，则角一定是（）
A.第三象限角
B.第四象限角
C.第三象限角或第四象限角
D.不确定
2.的值为（）
A.2B.2或0
C.2或0或D.不确定
3.求下列各式的值：
（1）
（2）.

*4.用三角函数线，比较sin1与cos1的大小.

*5.在单位圆中，用阴影部分表示出满足的角的集合，并写出该集合.

6．用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1
【延伸探究】
利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ32.
规律提示：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．

扩展阅读

高中数学必修四1.2任意角的三角函数章末小结导学案

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高中数学必修四1.2任意角的三角函数章末小结导学案”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

1.2任意角的三角函数章末小结
【学习目标】
1.能够利用终边相同角的表示方法判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限。
2.利用三角函数的定义求三角函数值，判断三角函数值的符号。
【新知自学】
知识梳理：
1、任意角
（1）角概念的推广
①按旋转方向不同分为_____、_____、_____；
②按终边位置不同分为_______和_______。
（2）终边与角α相同的角可写成______________
（3）象限角及其集合表示
象限角象限角的集合表示
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
感悟：
终边落在x轴上的角的集合________________；
终边落在y轴上的角的集合________________；
终边落在坐标轴上的角的集合_______________.
2、弧度制
（1）长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
（2）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=______.
（3）角度与弧度的换算：
①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0.
（4）扇形面积的公式：设扇形的弧长为，圆心角大小为α(rad)，半径为r,则扇形的面积为S=r=r2α
3、任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
y叫做α的正弦，记作sinα；
x叫做α的余弦，记作cosα；
y/x叫做α的正切，记作tanα
（2）终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k2π)=sinα
cos(α+k2π)=cosα
tan(α+k2π)=tanα
（3）三角函数线
有向线段MP为正弦线；
有向线段OM为余弦线；
有向线段AT为正切线
感悟：
1、在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
2、注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
对点练习：
1、若α＝k180°＋45°(k∈Z)，则α在()
A．第一或第三象限B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限D．在第三或第四象限
2、已知tanα0，且sinα＋cosα0，那么角α的终边在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3、sin2cos3tan4的值()
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
4、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．
5、已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函数值．

【合作探究】
典例精析：
题型一角的集合表示及象限角的判定
例1、(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．

变式练习1：
已知点P(sin5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．()
A．一B．二C．三D．四

题型二三角函数的定义
例2、已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.

变式练习2：
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．
A．－45B．－35C.35D.45

题型三弧度制的应用
【例3】4已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()
A．1或4B．1
C．4D．8

变式练习3：
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

题型四三角函数线及其应用
例4、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.

变式练习4：求下列函数的定义域：
(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．

【课堂小结】

【当堂达标】
1、已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sinθ＋cosθ的是()
A.43B.35C.32D.12

2、判断下列各式的符号：
(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan－234π；
(3)已知|cosθ|＝－cosθ且tanθ0.则sincosθcossinθ的符号．

3、已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()
A．－43B.54C．－34D.45

4、已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，求α的三角函数值．

5、已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．

【课时作业】
1．若α＝k180°＋45°(k∈Z)，则α在()．
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
2．与9π4的终边相同的角的集合，表达正确的是（）．
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k360°＋94π(k∈Z)
C．k360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)
3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．
A．－55B.255C．－255D．－12
4．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.
6、如果tanα＝m(m≠0)且sinα＝mm2＋1，那么α所在的象限是()
A．一、二象限B．二、三象限
C．二、四象限D．一、四象限

7、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋45tanα.

8、已知sinα－cosα＝－55，πα3π2，求tanα的值．

9、已知集合M＝{α|sinαcosα，0≤α≤π2}，N＝{α|sinαtanα}，则M∩N等于()
A.α|π4απ2B.α|0απ4
C.α|π8απ4D.α|0απ8

10、已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，则lgsinA的值为()
A．m＋1nB．m－n
C.12m＋1nD.12(m－n)

【延伸探究】
若sin2xcos2x，则x的取值范围是()
A．{x|2kπ－34πx2kπ＋π4，k∈Z}
B．{x|2kπ＋π4x2kπ＋5π4，k∈Z}
C．{x|kπ－π4xkπ＋π4，k∈Z}
D．{x|kπ＋π4xkπ＋3π4，k∈Z}

高中数学必修四1.1.1任意角导学案

1.1任意角和三角函数
1.1.1任意角

【学习目标】
1、解任意角的概念.
2、边相同的角的含义及表示.
【新知自学】
知识回顾：
回忆初中角的概念：
从一个点引出的两条_________构成的几何图形.
新知梳理：
1．角的定义
高中:一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角.其中射线OA叫角的_______，射线OB叫角的_______，O叫角的_______.
2．正角、负角、零角概念
把按__________方向旋转所形成的角叫正角；按_______方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.在不引起混淆的前提下，“角”或“∠”可简记为.
感悟：角的概念推广到任意角，其中包括_________、________、_______,正角可以到正无穷大，负角可以到负无穷大.

对点练习：
1、如果你的手表慢了25分钟，有比较简单的两种校正方式，请问校正时分针分别转过的角度是多少？

3．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
思考：任意角都可以归结为象限角吗？
锐角都是第一象限角吗？第一象限角都是锐角吗？
4．终边相同的角
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合________________________,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与________________的和.
对点练习：
2、在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；

(2)最小的正角；

(3)360°～720°的角．

3．若角α满足180°α360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
【合作探究】
典例精析：
一、角的基本概念
例1.下列说法正确的是（）
A.三角形的内角必定是第一、二象限角
B.第一象限角必是锐角
C.不相等的角终边必定不同
D.若,则

变式1.下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于1800的角是钝角、直角或锐角.其中正确的命题序号是_________________.

二、象限角
例2.在00～3600间，分别找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）-1200；（2）6600；（3）-9500．

变式练习
2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β3600的元素β写出来：
（1）4600；（2）-3610.
三、终边相同的角
例3．写出终边在如图所示的直线上的角的集合.

变式练习3.集合M＝{|=k1800+900，k∈Z}中，各角的终边都在（）
A．x轴正半轴上
B．x轴上
C．y轴上
D．x轴正半轴或y轴正半轴上

变式练习：
4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.下列命题：
①第一象限角是锐角；
②锐角都是第一象限角；
③第一象限角一定不是负角；
④第二象限角大于第一象限角；
⑤第二象限角是钝角；
⑥三角形内角是第一、第二象限的角；
⑦向左转体1周形成的角为360°.
其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．
2.下列命题正确的是()
A．－330°与330°都是第四象限角
B．45°角是按顺时针方向旋转形成的
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角

3、分别指出它们是哪个象限的角？
（1）8550；（2）-5100.

4．用集合表示（1）锐角;（2）第一象限角.

5．一个角为300，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为_________.

6．与-4900终边相同的角的集合是
__________________________，
它们是第________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

【课时作业】
1．-11200角所在象限是（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限

2．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有()
A．1个B．2个C．3个D．4个

3.已知是第三象限角，则1800+是（）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角

4.集合中各角的终边都在（）
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴或y轴上
D.x轴的非负半轴或y轴的非负半轴上

5．在0o~360o范围内，分别找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角.
（1）－265;（2）－1000o;（3）3900o.

6.已知是第三象限角，则-是第__________象限角.

*7.若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？

8．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°β720°的元素．

【延伸探究】
已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式

1.3三角函数的诱导公式（小结）
【学习目标】
1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式；
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；
3.会解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
预习课本P23---26页，理解记忆下列公式
【新知自学】
知识梳理：
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
公式五：sin(90)=cos,
cos(90)=sin.
公式六：sin(90+)=cos,
cos(90+)=sin.
记忆方法：“正变余不变，符号看象限”；
注意：①公式中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
感悟：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
(1)______________；(2)________________；(3)_______________
对点练习：
1.化简的结果是（）
A．B．
C．D．
2.sin（－）=_______________
3．若，则=________

题型一：利用诱导公式求值
例1.计算:.

变式1.求值：

题型二：利用诱导公式化简
例2.化简：（）．
变式2.化简：

题型三：利用诱导公式证明三角恒等式
例3.在△ABC中，求证:
.

变式3.在△ABC中，求证:

【课堂小结】
知识----方法---思想

【当堂练习】
1．求下列三角函数值：
（1）；（2）；

2.已知tanα=m，则

3.若α是第三象限角，则
=_________．
4.化简
【课时作业】
1．设，且为第二象限角，则的值为（）
A．B．－
C．D．－
2．化简：得（）
A.sin2+cos2B.cos2-sin2
C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)
3．下列三角函数值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函数值与的值相等的是（）
A．①②B．①③④
C．②③⑤D．①③⑤

4.设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）
A．cos（A+B）=cosC
B．sin（A+B）=sinC
C．tan（A+B）=tanC
D．sin=sin
5.已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）
A.B.—C.D.—

6.已知值

7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，则
的值是．

8.若，则。

9.已知，求
的值．

【延伸探究】
1.已知函数求的值。

2．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．

高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1．掌握同角三角函数的基本关系式；
2．灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.
【新知自学】
预习课本P30---33页的内容，
知识回顾：
1、知识回顾：（1）任意角的三角函数是如何定义的？

（2）在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？

对于一个任意角是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗？

新知梳理：
1、（1）同角三角函数的基本关系
①平方关系：=_______；（运用三角函数线，体现数形结合）
②商的关系：___________
().（运用定义）
（2）文字叙述：同一个角错误！未找到引用源。的正弦、余弦的_________等于1，商等于角错误！未找到引用源。的_______.
感悟：
在同角的三个三角函数中，可“知一求二”.
对点练习：
1．化简的结果是（）
A.sinB.-sin
C.cosD.-cos
2.已知是第二象限角，且sin=，则cos=_________,tan=_________.
3.已知sin=，则
sin4-cos4=_______________.

4．化简：
（1）=；

【合作探究】
典例精析：
题型一：利用同角三角函数关系求值
例1.若sinθ＝－45，tanθ0，求cosθ.

变式1.
（1）已知α是第二象限角且tanα＝－512，求sinα、cosα的值.
（2）已知tanα＝3，求sin2α＋2sinαcosα的值．

题型二：利用同角三角函数关系化简、证明
例2.求证

变式2.化简

题型三：正余弦的和、差、积之间的转化
例3、已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，试分别求①sinθcosθ；②sinθ-cosθ；③tanθ+.的值。

变式2.已知sinαcosα＝18，且π4απ2，则cosα－sinα＝_______.
感悟：结合过去学过的代数公式，及其上边的关系式，小组内讨论：sin、sin、sin、这四个式子间的关系。
【课堂小结】

【当堂达标】
1．已知α是第四象限角，cosα=则sinα等于（）
A.B.-C.D.-

2．若，，且，则的值为___．

3．已知tan=2，则
=_______________

4．已知sinα－cosα＝12，求sin3α－cos3α的值.

【课时作业】
1．若cosα=，且α，则tanα=_____________.