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高三数学三角函数的图象解析式

发表时间:2022-02-12

每个老师不可缺少的课件是教案课件,规划教案课件的时刻悄悄来临了。需要我们认真规划教案课件工作计划,这样我们接下来的工作才会更加好!你们会写适合教案课件的范文吗?请您阅读小编辑为您编辑整理的《高三数学三角函数的图象解析式》,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,2.会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解Aω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二.建构知识网络1.三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:"若0

相关知识

三角函数的图象与性质


4.6三角函数的图象与性质(二)

●知识梳理
1.三角函数的图象和性质
函数
性质y=sinxy=cosxy=tanx
定义域
值域
图象
奇偶性
周期性
单调性
对称性
注:读者自己填写.
2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象.
●点击双基
1.函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC.D.4π
解析:y=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin(+2x),T=π.
答案:B
2.若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
解析:检验.
答案:B
3.函数y=2sin(-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是
A.[0,]B.[,]
C.[,]D.[,π]
解析:由y=2sin(-2x)=-2sin(2x-)其增区间可由y=2sin(2x-)的减区间得到,即2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
令k=0,故选C.
答案:C
4.把y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数____________的图象.
解析:向左平移个单位,即以x+代x,得到函数y=sin(x+),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以x代x,得到函数:y=sin(x+).
答案:y=sin(x+)y=sin(x+)
5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.
解析:由cosx-sinx>0cosx>sinx.由图象观察,知2kπ-<x<2kπ+(k∈Z).
答案:2kπ-<x<2kπ+(k∈Z)
●典例剖析
【例1】(1)y=cosx+cos(x+)的最大值是_______;
(2)y=2sin(3x-)的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.
剖析:(1)y=cosx+cosx-sinx
=cosx-sinx=(cosx-sinx)
=sin(-x).
所以ymax=.
(2)T=,相邻对称轴间的距离为.
答案:
【例2】(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.
剖析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角.
解:(1)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z).
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}.
(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.故所求定义域为{x|x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z}.
评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线.
【例3】求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值.
剖析:将原函数化成y=Asin(ωx+)+B的形式,即可求解.
解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1-sin22x=cos4x+.
∴T=.
当cos4x=1,即x=(k∈Z)时,ymax=1.
深化拓展
函数y=tan(ax+θ)(a>0)当x从n变化为n+1(n∈Z)时,y的值恰好由-∞变为+∞,则a=_______.
分析:你知道函数的周期T吗?
答案:π
●闯关训练
夯实基础
1.若函数f(x)=sin(ωx+)的图象(部分)如下图所示,则ω和的取值是
A.ω=1,=B.ω=1,=-
C.ω=,=D.ω=,=-
解析:由图象知,T=4(+)=4π=,∴ω=.
又当x=时,y=1,∴sin(×+)=1,
+=2kπ+,k∈Z,当k=0时,=.
答案:C
2.f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实常数)在区间[0,]上的最小值为-4,那么a的值等于
A.4B.-6C.-4D.-3
解析:f(x)=1+cos2x+sin2x+a
=2sin(2x+)+a+1.
∵x∈[0,],∴2x+∈[,].
∴f(x)的最小值为2×(-)+a+1=-4.
∴a=-4.
答案:C
3.函数y=的定义域是_________.
解析:-sin≥0sin≤02kπ-π≤≤2kπ6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).
答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)
4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.
解析:y=-=-2cot2x,T=.
答案:
5.求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.
解:f(x)=
==(1+sinxcosx)
=sin2x+,
所以函数f(x)的最小正周期是π,最大值是,最小值是.
6.已知x∈[,],函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为,试求其最小值.
解:∵y=-2(sinx+)2++b,
又-1≤sinx≤,∴当sinx=-时,
ymax=+b=b=-1;
当sinx=时,ymin=-.
培养能力
7.求使=sin(-)成立的θ的区间.
解:=sin(-)
=(sin-cos)|sin-cos|=sin-cos
sin≥cos2kπ+≤≤2kπ+(k∈Z).
因此θ∈[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.
解:原方程sinx+cosx=ksin(x+)=k,在同一坐标系内作函数y1=sin(x+)与y2=k的图象.对于y=sin(x+),令x=0,得y=1.
∴当k∈[1,)时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.
评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法.
探究创新
9.已知函数f(x)=
(1)画出f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;
(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.
解:(1)实线即为f(x)的图象.
单调增区间为[2kπ+,2kπ+],[2kπ+,2kπ+2π](k∈Z),
单调减区间为[2kπ,2kπ+],[2kπ+,2kπ+](k∈Z),
f(x)max=1,f(x)min=-.
(2)f(x)为周期函数,T=2π.
●思悟小结
1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身的属性.
2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误.
●教师下载中心
教学点睛
1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用.
2.例2、例4作为重点讲解,例1、例3诱导即可.
拓展题例
【例1】已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是
A.若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ
B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ
D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ
解析:借助三角函数线易得结论.
答案:D
【例2】函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.
解:f(x)=-sin2x+sinx+a
=-(sinx-)2+a+.
由1≤f(x)≤
1≤-(sinx-)2+a+≤
a-4≤(sinx-)2≤a-.①
由-1≤sinx≤1-≤sinx-≤
(sinx-)=,(sinx-)=0.
∴要使①式恒成立,
只需3≤a≤4.

高三数学《三角函数图象与性质》知识点总结


高三数学《三角函数图象与性质》知识点总结

1.周期函数
(1)周期函数的定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

3.解题方法
1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω0)的形式,再根据三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内.
注意区分下列两种形式的函数单调性的不同:
(1)y=sin(ωx-π/4);(2)y=sin(π/4-ωx).
2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x),都不能说T是函数f(x)的周期.
3.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
4.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:
(1)利用sinx、cosx的值域;
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));
(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.

高三数学教案:《三角函数的图象与性质》教学设计


本文题目:高三数学教案:三角函数的图象与性质

●知识梳理

1.三角函数的图象和性质

函 数

性 质 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域

值域

图象

奇偶性

周期性

单调性

对称性

注:读者自己填写.

2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象.

●点击双基

1.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

A.2π B.π C. D.4π

解析:y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x),T=π.

答案:B

2.若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是

A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

解析:检验.

答案:B

3.函数y=2sin( -2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是

A.[0, ] B.[ , ]

C.[ , ] D.[ ,π]

解析:由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由y=2sin(2x- )的减区间得到,即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z.

∴kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.

令k=0,故选C.

答案:C

4.把y=sinx的图象向左平移 个单位,得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数____________的图象.

解析:向左平移 个单位,即以x+ 代x,得到函数y=sin(x+ ),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以 x代x,得到函数:y=sin( x+ ).

答案:y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

解析:由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由图象观察,知2kπ-

答案:2kπ-

●典例剖析

【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

(2)y=2sin(3x- )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

剖析:(1)y=cosx+ cosx- sinx

= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

= sin( -x).

所以ymax= .

(2)T= ,相邻对称轴间的距离为 .

答案:

【例2】 (1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.

剖析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角.

解:(1)0≤cosx

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ,2kπ+ ]且x≠2kπ,k∈Z}.

(2)由sin(cosx)>0 2kπ

评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线.

【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值.

剖析:将原函数化成y=Asin(ωx+ )+B的形式,即可求解.

解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

∴T= .

当cos4x=1,即x= (k∈Z)时,ymax=1.

深化拓展

函数y=tan(ax+θ)(a>0)当x从n变化为n+1(n∈Z)时,y的值恰好由-∞变为+∞,则a=_______.

分析:你知道函数的周期T吗?

答案:π

●闯关训练

夯实基础

1.若函数f(x)=sin(ωx+ )的图象(部分),则ω和 的取值是

A.ω=1, = B.ω=1, =-

C.ω= , = D.ω= , =-

解析:由图象知,T=4( + )=4π= ,∴ω= .

又当x= 时,y=1,∴sin( × + )=1,

+ =2kπ+ ,k∈Z,当k=0时, = .

答案:C

2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4,那么a的值等于

A.4 B.-6 C.-4 D.-3

解析:f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

=2sin(2x+ )+a+1.

∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ].

∴f(x)的最小值为2×(- )+a+1=-4.

∴a=-4.

答案:C

3.函数y= 的定义域是_________.

解析:-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.

解析:y= - =-2cot2x,T= .

答案:

5.求函数f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

解:f(x)=

= = (1+sinxcosx)

= sin2x+ ,

所以函数f(x)的最小正周期是π,最大值是 ,最小值是 .

6.已知x∈[ , ],函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ,试求其最小值.

解:∵y=-2(sinx+ )2+ +b,

又-1≤sinx≤ ,∴当sinx=- 时,

ymax= +b= b=-1;

当sinx= 时,ymin=- .

培养能力

7.求使 = sin( - )成立的θ的区间.

解: = sin( - )

= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

因此θ∈[4kπ+ ,4kπ+ ](k∈Z).

8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.

解:原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k,在同一坐标系内作函数y1= sin(x+ )与y2=k的图象.对于y= sin(x+ ),令x=0,得y=1.

∴当k∈[1, )时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.

评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法.

探究创新

9.已知函数f(x)=

(1)画出f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;

(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

解:(1)实线即为f(x)的图象.

单调增区间为[2kπ+ ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+2π](k∈Z),

单调减区间为[2kπ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z),

f(x)max=1,f(x)min=- .

(2)f(x)为周期函数,T=2π.

●思悟小结

1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身的属性.

2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误.

●教师下载中心

教学点睛

1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用.

2.例2、例4作为重点讲解,例1、例3诱导即可.

拓展题例

【例1】 已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是

A.若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ

B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ

C.若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ

D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ

解析:借助三角函数线易得结论.

答案:D

【例2】 函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.

解:f(x)=-sin2x+sinx+a

=-(sinx- )2+a+ .

由1≤f(x)≤

1≤-(sinx- )2+a+ ≤

a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

(sinx- ) = ,(sinx- ) =0.

∴要使①式恒成立,

只需 3≤a≤4.

三角函数的图象与性质概念辨析


三角函数的图象与性质概念辨析
画出,y=cosx在上的图像是本单元的重中之重,同学们不仅会用单位中的函数线画,而且会特殊角三角函数值列出“十三”个点或“五点法”,还要会徒手描出示意图,才能实现看图说性质想图说性质无图也能说性质的熟练程度.这里蕴含着以下几个问题.
1.作图的基本方法是描点法,用单位圆中的三角函数线画图实质上是列表的(十三点)一个方法,它与“十三点”法的区别只在于“十三点法”的函数值是用数给出,而单位圆法中的函数值是用有向线段的数量给出.在画,y=cosx的图像时,都借助了函数的周期性,在取点时,注意研究了函数曲线的存在范围,特殊点,变化趋势,对称性,一定要取到最大值点,最小值点,零点.这些常规方法一走要讲清.
2.画的图像时,难点在列出“五个点”,这五个恰好又是同一周期的五个特殊点:三个零点,一个最大值点,一个最小值点,以为例.
令t=,则u=sint,首先列出u=sint的“老五点”
t0
010-10
Y=2sin
020-20

上面方法的核心是用换元的思想根据的“老五点”列出了y=2sin()图像上的五点.这里体现了如何将一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题的转化思想,同时也在告诉同学们,我们总是用已知的知识去解决未知的问题,进一步体会到简单与复杂.未知与已知之间的对立、统一的辨证关系.为了给同学更大的思维空间.教师最好不直接告诉同学们如何列出在一个周期内的五个特殊点?这样对培养学生的转化能力是有益的.
3.在讲周期函数概念过程中注意培养学生的抽象概括能力.学生自己抽象概括出周期函数的定义是不现实的,但我们不能因此就放弃培养学生抽象概括能力的机会.可考虑如下进行:
(1)通过对一类事物的观察发现,抽象出该类事物的共同的本质属性.
问题1:请观察下列函数值随着变量变化时,其函数值的变化的共性是什么?



④在数列中,对一切nN都有
发现其共性是:函数值是随自变量周而复始地变化.
(2)第二步是将上述粗浅的认识进一步数学化,精确化,这里的关键是请同学注意如何用数学语言刻画“函数值随自变量周而复始地变化”.首先四个函数都存在一个不为零的常数T,①2#②2#③2#④6#,第二将这个常数加到定义域中的任意一个自变量上,其函数值就重复出现,即永远成立,于是得出周期函数的精确的数学定义;
对于给定的函数,定义域为M,如果存在一个不为零的常数T,对于M中的任意一个x的值,必有X+TM,使得永远成立,那么函数叫做周期函数,其中不为零的常数T就叫做周期函数的周期.
(3)第三步是进一步理解定义
①函数的周期性是揭示了函数值随自变量周而复始的变化的属性,如果我们认识到了函数的周期性,在研究函数性质时,只须研究该函数在一个周期内的性质,就可以了解该函数在整个定义域上的性质.
②如果一个周期函数y=的周期为T,显然KT(KZ)也是周期.但从研究函数性质而言,我们感兴趣的,也是最有实用价值的是诸周期中最小的正周期.
③根据周期函数定义判断一个函数是否是周期函数,关键是找到一个T(),使得对定义域中的任意一个x,均成立.
4.讲已知三角函数值求角时时可考虑利用单位圆中的三角函数线,用数形结合的思想,先画出角的终边,再写出所求的角,并且先求通解,后求特解更好接受.