1.12瞬时变化率—导数。

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。教案的内容要写些什么更好呢？下面的内容是小编为大家整理的1.12瞬时变化率—导数，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

1.12瞬时变化率—导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处

的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率

3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为，设x1－x0=△x，则x1=△x＋x0，∴当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：

，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：(3)瞬时速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量和位置改变量2.再求平均速度3.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v为瞬时速度(4)速度的平均变化率：(5)瞬时加速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用

例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。变式:1.求过点(1,1)的切线方程2.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________3.已知曲线上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）

Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度

例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度(2)求t=3s时的瞬时速度(3)求t=3s时的瞬时加速度点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

精选阅读

平均变化率

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“平均变化率”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

课题：平均变化率
教学目标：
1.通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地导数的几何意义。
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。
教学重难点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义
教学过程：
一、问题情境
1、情境：
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

时间4月18日4月19日4月20日
日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃

该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:
问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？
问题2：分别计算AB、BC段温差
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度
问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？
曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=

二、建构数学
一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：

说明：
(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？

(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：
（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？
（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？
图1图2

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内V的平均变化率。

解:在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为

注：负号表示容器甲中水在减少

变式1：
一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知V=nt，在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:

由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均变化率保持不变。

例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；
（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001

例3引申：已知函数
问题(1)求函数在[1,a](a1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a](a1)上的平均变化率为a+1

问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率有何趋势？
(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率趋近于2

求函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：

小结：
问题1：本节课你学到了什么？
①函数的平均变化率的概念；
②利用平均变化率来分析解决实际问题
问题2、解决平均变化率问题需要注意什么？
①分清所求平均变化率类型
(即什么对象的平均变化率)
②两种处理手段：
(1)看图(2)计算
问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？
①数形结合的思想方法
②从特殊到一般、从具体到抽象的推理
方法

变化率问题

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“变化率问题”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：
情景导入：
展示目标:知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

例2已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2.已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1.在内的平均变化率为（）
A．3B．2C．1D．0
2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
A．B．
C．D．
3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）
A．B．
C．D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5.在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
【板书设计】：略
【作业布置】：略

2015届高考数学教材知识点复习变化率与导数导学案

【课本导读】
1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的，记作：或f′(x0)，
即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.
(2)当把上式中的x0看做变量x时，f′(x)即为f(x)的，简称导数，即y′＝f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为．
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝(C为常数)；(2)(xn)′＝(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝；(4)(cosx)′＝；
(5)(ax)′＝；(6)(ex)′＝；
(7)(logax)′＝；(8)(lnx)′＝.
4．两个函数的四则运算的导数
若u(x)、v(x)的导数都存在，则
(1)(u±v)′＝；(2)(uv)′＝；
(3)(uv)′＝；(4)(cu)′＝(c为常数)．

【教材回归】
1．(课本习题改编)某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是()
A．14m/s2B．4m/s2
C．10m/s2D．－4m/s2
2．计算：
(1)(x4－3x3＋1)′＝________.
(2)(ln1x)′＝________.
(3)(xex)′＝______.
(4)(sinxcosx)′＝______.
3．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
4．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()
A．k1k2B．k1k2
C．k1＝k2D．不确定
5．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.

【授人以渔】
题型一利用定义求系数
例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数

(2)设f(x)＝x3－8x，则limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝______；
limx→2fx－f2x－2＝______；limk→0f2－k－f22k＝______.

思考题1(1)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．

(2)已知f′(a)＝3，则limh→0fa＋3h－fa－hh＝________.

题型二导数运算
例2求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx2cosx2；
(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1.

思考题2(1)求下列各函数的导数：
①y＝x＋x5＋sinxx2；
②y＝(1－x)(1＋1x)；
③y＝－sinx2(1－2cos2x4)；
④y＝tanx；
(2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于()
A．26B．29
C．212D．215

题型三导数的几何意义
例3已知曲线y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

思考题3求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．

【本课总结】
1．求f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，有两种方法：
(1)定义法：f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.
(2)利用导函数求值，即先求f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)，再求f′(x0)．
2．求复合函数的导数时，应选好中间变量，将复合函数分解为几个基本函数，然后从外层到内层依次求导．
3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则f′(x)即为曲线f(x)在点x0处的切线斜率．
4．求曲线的切线方程时，若不知切点，应先设切点，列等式求切点．
【自助餐】
1．有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________．
2．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
4．设函数y＝xsinx＋cosx的图像上在点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图像大致为()
5．若函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．

变化的快慢与变化率

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《变化的快慢与变化率》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

2.1变化的快慢与变化率
教学过程：
一、引入：
1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片
2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的
陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？
3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：
（一）登山问题
例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示

问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？
分析：1、选取平直山路AB放大研究
若
自变量x的改变量：
函数值y的改变量：
直线AB的斜率：
说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（为定值）时，垂直距离变化量（）越大，则这段山路越陡峭；
2、选取弯曲山路CD放大研究
方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD1的陡峭程度可用直线CD1的斜率表示。（图略）
结论：函数值变化量（）与自变量变化量的比值反映了山坡的陡峭程度。各段的不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。
所以，——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。
三、函数的平均变化率与应用。
（一）定义：已知函数在点及其附近有定义，
令；
。
则当时，比值
叫做函数在到之间的平均变化率。
（二）函数平均变化率的应用
例2.某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”。

问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？
分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，，由此可知；
2、选择该市2004年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较，
，由此可知
结论：函数值的平均变化率反映了温度变化的剧烈程度。
各段的不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同。当越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓。
（三）课堂练习：
甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图
（1）（2）所示，试问：（1）甲乙二人哪一个跑得快？
（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快

四、瞬时变化率以及应用:
例3：已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均变化率。
解：函数的平均变化率计算公式为：
变化区间自变量改变量
平均变化率

（1，1.1）0.12.1
（1，1.01）0.012.01
(1,1.001)0.0012.001
(1,1.0001)0.00012.0001
………
结论：当时间间隔越来越小（趋于０）时，平均变化率趋于常数２

例4：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
解：自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.
当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.
因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：
从而，.
结论：越小，越接近29.4米/秒
当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.
（一）定义：
设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，
函数值相应地改变
如果当时，平均变化率趋近于一个常数，
则数称为函数在点处的瞬时变化率。
（二）函数瞬时变化率的应用：
例：设一个物体的运动方程是：，其中是初速度，时间单位为ｓ，求：ｔ＝２ｓ时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。
五、课堂小结：

六、布置作业：课本：预习：