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高中三角函数的教案

发表时间:2020-12-01

高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式。

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。关于好的教案要怎么样去写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《高中数学必修四导学案1.3三角函数的诱导公式》,欢迎阅读,希望您能阅读并收藏。

1.3三角函数的诱导公式(小结)
【学习目标】
1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式;
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数;
3.会解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
预习课本P23---26页,理解记忆下列公式
【新知自学】
知识梳理:
公式一:
公式二:
公式三:
公式四:
记忆方法:“函数名不变,符号看象限”;
公式五:sin(90)=cos,
cos(90)=sin.
公式六:sin(90+)=cos,
cos(90+)=sin.
记忆方法:“正变余不变,符号看象限”;
注意:①公式中的指任意角;
②在角度制和弧度制下,公式都成立;
感悟:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:
(1)______________;(2)________________;(3)_______________
对点练习:
1.化简的结果是()
A.B.
C.D.
2.sin(-)=_______________
3.若,则=________

题型一:利用诱导公式求值
例1.计算:.

变式1.求值:

题型二:利用诱导公式化简
例2.化简:().
变式2.化简:

题型三:利用诱导公式证明三角恒等式
例3.在△ABC中,求证:
.

变式3.在△ABC中,求证:

【课堂小结】
知识----方法---思想

【当堂练习】
1.求下列三角函数值:
(1);(2);

2.已知tanα=m,则

3.若α是第三象限角,则
=_________.
4.化简
【课时作业】
1.设,且为第二象限角,则的值为()
A.B.-
C.D.-
2.化简:得()
A.sin2+cos2B.cos2-sin2
C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)
3.下列三角函数值:①;②;③;④;⑤(其中).其中函数值与的值相等的是()
A.①②B.①③④
C.②③⑤D.①③⑤

4.设A、B、C是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是()
A.cos(A+B)=cosC
B.sin(A+B)=sinC
C.tan(A+B)=tanC
D.sin=sin
5.已知sin(+α)=,则sin(-α)值为()
A.B.—C.D.—

6.已知值

7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根,则
的值是.

8.若,则。

9.已知,求
的值.

【延伸探究】
1.已知函数求的值。

2.已知cos(75°+α)=513,α是第三象限角,求sin(195°-α)+cos(α-15°)的值.

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高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系导学案


1.2.2同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.掌握同角三角函数的基本关系式;
2.灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.
【新知自学】
预习课本P30---33页的内容,
知识回顾:
1、知识回顾:(1)任意角的三角函数是如何定义的?

(2)在单位圆中,任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么?

对于一个任意角是三个不同的三角函数,从联系的观点来看,三者之间应存在一定的内在联系,你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗?

新知梳理:
1、(1)同角三角函数的基本关系
①平方关系:=_______;(运用三角函数线,体现数形结合)
②商的关系:___________
().(运用定义)
(2)文字叙述:同一个角错误!未找到引用源。的正弦、余弦的_________等于1,商等于角错误!未找到引用源。的_______.
感悟:
在同角的三个三角函数中,可“知一求二”.
对点练习:
1.化简的结果是()
A.sinB.-sin
C.cosD.-cos
2.已知是第二象限角,且sin=,则cos=_________,tan=_________.
3.已知sin=,则
sin4-cos4=_______________.

4.化简:
(1)=;

【合作探究】
典例精析:
题型一:利用同角三角函数关系求值
例1.若sinθ=-45,tanθ0,求cosθ.

变式1.
(1)已知α是第二象限角且tanα=-512,求sinα、cosα的值.
(2)已知tanα=3,求sin2α+2sinαcosα的值.

题型二:利用同角三角函数关系化简、证明
例2.求证

变式2.化简

题型三:正余弦的和、差、积之间的转化
例3、已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),试分别求①sinθcosθ;②sinθ-cosθ;③tanθ+.的值。

变式2.已知sinαcosα=18,且π4απ2,则cosα-sinα=_______.
感悟:结合过去学过的代数公式,及其上边的关系式,小组内讨论:sin、sin、sin、这四个式子间的关系。
【课堂小结】

【当堂达标】
1.已知α是第四象限角,cosα=则sinα等于()
A.B.-C.D.-

2.若,,且,则的值为___.

3.已知tan=2,则
=_______________

4.已知sinα-cosα=12,求sin3α-cos3α的值.

【课时作业】
1.若cosα=,且α,则tanα=_____________.

2.化简:
(1)错误!未找到引用源。1-2sin40°cos40°=__________;

(2)=_______________.

3.已知,则tanα=()
A.-1B.C.D.1
4.已知tanα=3,求下列各式的值:
(1)4sinα-cosα3sinα+5cosα;(2)34sin2α+12cos2α.

5.求证:

6.求证:sin4α-cos4α=2sin2α-1.

7.若cosα0,化简1-sinα1+sinα+1+sinα1-sinα=_______________.
【延伸探究】
8.已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tanθ+1tanθ的值.

高中数学必修四1.6三角函数模型的简单应用导学案


1.6三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
【新知自学】
知识回顾:
1.三角函数的周期性
y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=________;y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=________;
y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=________.
2.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A0,ω0)的性质
(1)ymax=________,ymin=________.
(2)A=__________,k=__________.
(3)ω可由__________确定,其中周期T可观察图象获得.
(4)由ωx1+φ=______,ωx2+φ=__________,ωx3+φ=__________,ωx4+φ=__________,ωx5+φ=________中的一个确定φ的值.
3.三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

新知梳理:
1、创设情境、激活课堂
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交替四季轮回,潮涨潮散、云卷云舒,情绪的起起落落,庭前的花开花谢,一切都逃不过数学的眼睛!这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。

2、结合三角函数图象的特点,思考后写出下列函数的周期.
(1)y=|sinx|的周期是________;
(2)y=|cosx|的周期是________;
(3)y=|tanx|的周期是________;
(4)y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的周期是________;
(5)y=|Asin(ωx+φ)+k|(Aωk≠0)的周期是__________;
(6)y=|Atan(ωx+φ)|(Aω≠0)的周期是__________.

对点练习:
1、如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin100πt+π6,那么单摆来回摆动一次所需的时间为()
A.150sB.1100s
C.50sD.100s

2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6等于()
A.3或0B.-3或0
C.0D.-3或3

3.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是()

【合作探究】
典例精析:
题型一、由图象探求三角函数模型的解析式
例1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式

变式练习:
某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900,其总量在此两值之间变化,且总量与月份的关系可以用函数来刻画,试求该函数表达式。

题型二、由解析式作出图象并研究性质
例2.画出函数的图象并观察其周期.

变式练习:
的周期是.
的周期是.
的周期是.

规律总结:
利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方法;本题也可用代数方法即周期性定义验证:
∴的周期是.(体现数形结合思想!)

题型三、应用数学知识解决实际问题
例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度,为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值,冬半年取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

变式练习:
交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关系可用E=2203sin100πt+π6来表示,求:
(1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.

【当堂达标】
1、据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA0,ω0,|φ|π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()
A.f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N*)
B.f(x)=9sinπ4x-π4(1≤x≤12,x∈N*)
C.f(x)=22sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N*)
D.f(x)=2sinπ4x+π4+7(1≤x≤12,x∈N*)
2、如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t间关系的函数解析式.
3、如图表示电流I与时间t的函数关系式:I=Asin(ωt+φ)在同一周期内的图象.
(1)据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段1100的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值是多少?

【课时作业】
1、函数y=2sinm3x+π3的最小正周期在23,34内,则正整数m的值是________.

2.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.

3.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s=3cosglt+π3,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1s时,线长l等于________.

4、如图所示,一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在地面上2m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.

5.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?

【延伸探究】
如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.
(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

高中数学必修四导学案1.3.1诱导公式1—4


1.3.1诱导公式1—4
【学习目标】
1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
【新知自学】
知识回顾:
1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值;
2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

新知梳理:
问题1:我们知道,任一角都可以转化为终边在内的角,如何进一步求出它的三角函数值?
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢?

探究1.诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:
(公式一)
诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
注意:运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成
,是不对的
问题2:利用诱导公式(一),将任意范围内的角的三角函数值转化到角后,又如何将角间的角转化到角呢?
除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢?
探究2:若角的终边与角的终边关于轴对称,那么与的三角函数值之间有什么关系?特别地,角与角的终边关于轴对称,由单位圆性质可以推得:
(公式二)
特别地,角与角的终边关于轴对称,故有
(公式三)
特别地,角与角的终边关于原点对称,故有
(公式四)
所以,我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
说明:①公式中的指任意角;
②在角度制和弧度制下,公式都成立;
③记忆方法:“函数名不变,符号看象限”;
方法小结:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是:
①;
②;
③。
可概括为:”(有时也直接化到锐角求值)。
对点练习:
1、tan690°的值为()
A.-33B.33C.3D.-3
2、已知sin(π+α)=35,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是()
A.-45B.45C.±45D.35
3已知sin5π7=m,则cos2π7的值等于()
A.mB.-mC.1-m2D.-1-m2
4设cos(-80°)=k,那么tan100°=()
A.1-k2kB.-1-k2k
C.k1-k2D.-k1-k2
5若sinπ6-θ=33,则sin7π6-θ=________.

【合作探究】
典例精析:
例1:求下列三角函数值:(1);(2).

变式练习:1:sin2π5,cos6π5,tan7π5,从小到大的顺序是________.

例2、化简.

变式练2::
化简:(1)sin()cos(-π)tan(2π+);
(2)sin2(α+π)cos(π+α)tan(π-α)cos3(-α-π)tan(-α-2π).

【课堂小结】

【当堂达标】
1.若,则的取值集合为()
A.B.
C.D.
2.已知那么()
A.B.C.D.
3.设角
的值等于()
A.B.-C.D.-
4.当时,的值为()
A.-1B.1C.±1D.与取值有关
5.设为常数),且那么()
A.1B.3C.5D.7
6.已知则.

【课时作业】
1.已知,则值为()
A.B.—C.D.—
2.cos(+α)=—,α,sin(-α)值为()
A.B.C.D.—
3.化简:得()
A.B.
C.D.±
4.已知,,那么的值是()
AB
CD
5.如果且那么的终边在第象限

6.求值:2sin(-1110)-sin960+
=.

7.设

求的值.
8.已知方程sin(3)=2cos(4),求的值。

【延伸探究】
1、设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2009)=5,则f(2010)等于()
A.4B.3C.-5D.5
2、设tan(α+87π)=m.求证:sin(157π+α)+3cos(α-137π)sin(20π7-α)-cos(α+227π)=m+3m+1.

高中数学必修四3.1两角和与差的三角函数小结导学案


俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础,让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢?下面是小编帮大家编辑的《高中数学必修四3.1两角和与差的三角函数小结导学案》,欢迎您参考,希望对您有所助益!

3.1两角和与差的三角函数小结
【学习目标】
1.熟练掌握和应用两角和的三角函数公式;
2.初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。
【新知自学】
知识梳理:
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β;
cos(αβ)=cos_αcos_β±sin_αsin_β;
tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sin_αcos_α;
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan2α=2tanα1-tan2α.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1tan_αtan_β);
(2)cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2;
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,
sinα±cosα=2sinα±π4.
感悟:
1.拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);
α=(α+β)-β;β=α+β2-α-β2;
α-β2=α+β2-α2+β.
2.三个变换
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
对点练习:
1.已知tanα+π4=3,则tanα的值为().
A.12B.-12C.14D.-14

2.sin47°-sin17°cos30°cos17°=().
A.-32B.-12C.12D.32

3.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值等于().
A.-12B.12C.-13D.2327

4.已知cosα=35,α是第一象限角,则1+2cos2α-π4sinα+π2=().
A.25B.75C.145D.-25

5.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=________.

【合作探究】
典例精析:
考向一三角函数式的化简
例1.(1)化简1+sinθ+cosθsinθ2-cosθ22+2cosθ(0θπ);
(2)化简2sin280°.

规律总结:(1)把角θ变为θ2入手,合理使用公式.
(2)切化弦,通分,利用公式把非特殊角化为特殊角.
变式练习1:化简下列各式:
(1)12-1212+12cos2αα∈3π2,2π=________.

(2)cos2α-sin2α2tanπ4-αcos2π4-α=________.

考向二三角函数的求值
例2.(1)已知0βπ2απ,且cosα-β2=-19,sinα2-β=23,求cos(α+β)的值;
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,求2α-β的值.

规律总结:(1)拆分角:α+β2=α-β2-α2-β,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦.
(2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β.
变式练习2:已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0βαπ2,
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
考向三三角变换的简单应用
例3.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+π4sinx-π4.
(1)若tanα=2,求f(α)的值;
(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.

规律总结:(1)化简f(x),由tanα=2代入求f(α);(2)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,求f(x)的取值范围.
变式练习3:【训练3】(2013石家庄质检)设函数f(x)=sinπx3-π6-2cos2πx6.
(1)求y=f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称,求当x∈时,函数y=g(x)的最大值.

【课堂小结】

【当堂达标】
1、sin20°cos20°cos50°=().
A.2B.22C.2D.12
2.计算tanπ4+αcos2α2cos2π4-α的值为().
A.-2B.2C.-1D.1
3.若tanπ4-θ=3,则cos2θ1+sin2θ=().
A.3B.-3C.34D.-34
4.设α为锐角,若cosα+π6=45,则
sin2α+π12的值为________.
5.已知sinα=55,α∈0,π2,tanβ=13.
(1)求tanα的值;
(2)求tan(α+2β)的值.

【课时作业】
1.若tanα=lg(10a),tanβ=lg1a,且α+β=π4,则实数a的值为().
A.1B.110
C.1或110D.1或10
2.若0απ2,-π2β0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2等于().
A.33B.-33C.539D.-69
3.已知cosπ4-α=1213,且α∈0,π4,则cos2αsinπ4+α=________.
4.方程x2+3ax+3a+1=0(a2)的两根为tanA,tanB,且A,B∈-π2,π2,则A+B=________.
5.已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若f(α)=3210,求sin2α的值.

6.已知sinα+cosα=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2.
(1)求sin2α和tan2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.

【延伸探究】
已知函数f(x)=Acosx4+π6,x∈R,且fπ3=2.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈0,π2,f4α+43π=-3017,f4β-23π=85,求cos(α+β)的值.