几何体的表面积与体积。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“几何体的表面积与体积”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

学案1集合的概念与运算
一、课前准备：
【自主梳理】
1．侧面积公式：，，，，，．
2．体积公式：=，，，．
3．球：，．
4．简单的组合体：
⑴正方体和球正方体的边长为，则其外接球的半径为．
正方体的边长为，则其内切球的半径为．
⑵正四面体和球正四面的边长为，则其外接球的半径为．
【自我检测】
1．若一个球的体积为，则它的表面积为_______．
2．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是．
3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为，则圆锥的体积为．
4．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_____________________．
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是．
6．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm和25πcm，则(1)圆台的高
为(2)截得此圆台的圆锥的母线长为．
（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.
（3）三棱柱的一个侧面面积为，此侧面所对的棱与此面的距离为，则此棱柱的体积为．
（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是．
【例2】如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．

课堂小结
（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；
（2）了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；
（3）几何体表面的最短距离问题------侧面展开.

三、课后作业
1．一个球的外切正方体的全面积等于，则此球的体积为.
2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为．
3．三个平面两两垂直，三条交线相交于，到三个平面的距离分别为1、2、3，
则=.
4．圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的体积为.
5．如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是．
6．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，M、N分别在棱AC和AD上，则BM＋MN＋NB的最小值为．
7．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，∥，=2，则该多面体的体积为．
8．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，则高为．
9．如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积．

10．如图，矩形中，⊥平面，，为上的一点，且⊥平面，，求三棱锥的体积．

四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析

一、课前准备：
【自主梳理】
1．
2．
3．4
4．
【自我检测】
1．122．23．4．5．6π6．13
二、课堂活动：
【例1】填空题
1．（1）20（2）3（3）（4）
【例2】（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则
（Ⅱ）
（Ⅲ），，且，
，.
，
∴，即.=
=.
【例3】解：（1）由知四边形ABCD为边长是2的正方形，
,又PA平面ABCD，=.
（2）设点C到平面PBD的距离为，
PA平面ABCD，=.
由条件，.
由.得.
点C到平面PBD的距离为.
三、课后作业
1．2．3：23．4．
5．6．7．8．
9．（1）证明：，且平面，∴平面.
（2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形.
∴.又，∴.在Rt△中，，
∴，.∴.
则，∴.
又，∴.
，∴平面.
（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半.
.
10．解：连结．可证三棱锥中，与底面垂直，所以所求
体积为．

扩展阅读

柱体、锥体、台体的表面积与体积

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“柱体、锥体、台体的表面积与体积”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

学习目标
1.了解柱、锥、台的体积计算公式；
2.能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P25~P26，找出疑惑之处）
复习1：多面体的表面积就是___________________
加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,
___________，__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学
※探索新知
新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：
（，分别为上、下底面面积，为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※典型例题
例1如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.
※动手试试
练1.在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.

练2.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

三、总结提升
※学习小结
1.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
2.求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

※知识拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家.柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.
A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍
2.已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（）.
A.B.C.D.4
3.各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（）.
A.B.C.D.
4.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
5.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

课后作业
1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=

高一数学下册《空间几何体的表面积与体积》知识点人教版

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高一数学下册《空间几何体的表面积与体积》知识点人教版

空间几何体表面积体积公式：

1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)

2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,

3、a－边长,S＝6a2,V＝a3

4、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc

5、棱柱S－h－高V＝Sh

6、棱锥S－h－高V＝Sh/3

7、S1和S2－上、下h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3

8、S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/6

9、圆柱r－底半径,h－高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C＝2πrS底＝πr2,S侧＝Ch,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2h

10、空心圆柱R－外圆半径,r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)

11、r－底半径h－高V＝πr^2h/3

12、r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/313、球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6

14、球缺h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3

15、球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

16、圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4

17、桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)

练习题：

1．正四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于，有两个正四面体的棱长也都等于.当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）

（A）五面体

（B）七面体

（C）九面体

（D）十一面体

2．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为()

（A）9

（B）18

（C）36

（D）64

3．下列说法正确的是()

A．棱柱的侧面可以是三角形

B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C．所有的几何体的表面都能展成平面图形

D．棱柱的各条棱都相等

2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积》，仅供您在工作和学习中参考。

2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积

1、圆柱体:
表面积:2πRr+2πRh体积:πRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
2、圆锥体:
表面积:πR+πR[(h+R)的平方根]体积:πRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,
3、正方体
a-边长,S=6a,V=a
4、长方体
a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc
5、棱柱
S-底面积h-高V=Sh
6、棱锥
S-底面积h-高V=Sh/3
7、棱台
S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
8、拟柱体
S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积
h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6
9、圆柱
r-底半径,h-高,C—底面周长
S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πr
S底=πr,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh
10、空心圆柱
R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)
11、直圆锥
r-底半径h-高V=πr^2h/3
12、圆台
r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R+Rr+r)/3
13、球
r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺
h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/3
15、球台
r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/6
16、圆环体
R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径
V=2π2Rr=π2Dd/4
17、桶状体
D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高
V=πh(2D+d)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形)

高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案

学案41空间几何体的表面积与体积

导学目标：1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力．
自主梳理
1．多面体的表面积
(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______.
(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________.
(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则
S正棱台侧＝__________＝____________.
(4)设球的半径为R，则S球＝____________.
2．几何体的体积公式
(1)柱体的体积V柱体＝______(其中S为柱体的底面面积，h为高)．
特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h.
(2)锥体的体积V锥体＝________(其中S为锥体的底面面积，h为高)．
特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝13πr2h.
(3)台体的体积V台体＝______________(其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)．
特别地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)．
(4)球的体积V球＝__________(其中R为球的半径)．
自我检测
1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为()
A.14B.12
C.36D.34
2．(2011唐山月考)
从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为()
A.3∶3B.2∶2
C.3∶6D.6∶6
3．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为()
A.16VB.14V
C.13VD.12V
4．(2011平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()
A．9πB．10π
C．11πD．12π
5．(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是()
A．8－2π3B．8－π3
C．8－2πD.2π3
探究点一多面体的表面积及体积
例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

变式迁移1(2011烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．
探究点二旋转体的表面积及体积
例2
如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．

变式迁移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
探究点三侧面展开图中的最值问题
例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．

变式迁移3
(2011杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2.P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．48B．32＋817
C．48＋817D．80
2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是()
A．963B．163C．243D．483
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EFa)，若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体P—QEF的体积是()
A．有最小值的一个变量
B．有最大值的一个变量
C．没有最值的一个变量
D．一个不变量
4．(2010全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()
A．πa2B.73πa2
C.113πa2D．5πa2
5．(2011北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()
A．8B．62C．10D．82

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
7．(2011淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.
8．(2011四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011佛山模拟)如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，
C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．
10．(12分)
(2011抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．
11．(14分)(2011锦州期末)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A—CDEF的体积．
学案41空间几何体的表面积与体积
自主梳理
1．(1)ch(2)12nah′12ch′(3)12n(a＋a′)h′12(c＋c′)h′(4)4πR22.(1)Sh(2)13Sh(3)13h(S＋SS′＋S′)(4)43πR3
自我检测
1．D[由题意，S△ABC＝34，三棱锥的高h＝3，
∴V三棱锥P—ABC＝13Sh＝34.]
2．A[设正方体棱长为a，则正四面体棱长AB＝2a，
∴S正四面体表＝4×34×(2a)2＝23a2.
∵S正方体表＝6a2，∴四面体的表面积与正方体表面积的比为3∶3.]
3．C
4.
D[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，
故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]
5．A[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3，故选A.]
课堂活动区
例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．
解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．
解
如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连接AO.
过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连接EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥AC，
∵AA1和AB与AC都成60°角，
∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.
∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.
∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，
∵△ABC是正三角形，
∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.
∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C1C是矩形，
∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋123.
∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，
∴AE＝32.∵∠BAO＝30°，
∴AO＝3，A1O＝6.
∴三棱柱的体积为V＝34×16×6＝122.
变式迁移127＋4
解析
如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.
∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，
∴BC⊥A1A，
又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，
又∵侧面与底面边长都等于2，
∴四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.
作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，
又∵AD＝22－12＝3，DE＝ADBDAB＝32，
∴AE＝AD2－DE2＝32，
∴A1E＝AA21－AE2＝72，
∴S四边形ABB1A1＝7，∴S三棱柱侧＝27＋4.
例2解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．
解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，
在半圆中可得∠BCA＝90°，
∠BAC＝30°，
AB＝2R，
∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×32R×3R
＝32πR2，
S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2，
∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2.
又V球＝43πR3，V圆锥AO1＝13AO1πCO21
＝14πR2AO1，
V圆锥BO1＝13BO1πCO21＝14πR2BO1，
∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)
＝43πR3－12πR3＝56πR3.
变式迁移220π
解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝23，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝5，故此球的表面积为4πR2＝20π.
例3解题导引本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．
解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，
如图所示．
三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：
a＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab，
a2＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2bc，
a＋c2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac，
∵abc0，∴abacbc0.
故最短线路的长为a2＋b2＋c2＋2bc.
变式迁移352
解析将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示．
连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.
∴A1C＝A1D2＋CD2＝49＋1＝52.
课后练习区
1．C[
由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.]
2．D[由43πR3＝32π3，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则1332a＝2，∴a＝43.
∴V＝34×(43)2×4＝483.]
3．D4.B
5．C[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.
6．67
解析取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，
OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA＝OP＝2，∴OM＝3，
PM＝4＋3＝7.
∴S侧＝6×12×2×7＝67.
7.153π
解析围成圆锥筒的母线长为4cm，
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝142π×4，
∴r＝1，∴圆锥的高h＝42－12＝15.
∴V圆锥＝13πr2h＝153π(cm3)．
8．2πR2
解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcosα，圆柱底面半径为Rsinα，∴S圆柱侧＝2πRsinα2Rcosα＝2πR2sin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2.
∴S圆柱侧＝2πr2R2－r2，
S′圆柱侧＝4πR2－r2－4πr2R2－r2.
令S′圆柱侧＝0，得r＝22R.
当0r22R时，S′0；
当22RrR时，S′0.
∴当r＝22R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.
此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法三设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2，
∴S圆柱侧＝2πr2R2－r2＝4πr2R2－r2
≤4πr2＋R2－r22＝2πR2(当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时取“＝”)．
∴当r＝22R时，S圆柱侧最大为2πR2.
此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
9．解设圆柱的底面半径为r，母线长为h，
当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABC—A1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1—ABC的体积为13r2h，四棱锥A1—BCC1B1的体积为r2h－13r2h＝23r2h，圆柱的体积为πr2h，(10分)
故四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比为2∶3π.
(12分)
10．(1)证明取BC的中点E，连接AE，DE，EF，
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED.又AD面AED，
∴BC⊥AD.(6分)
(2)解由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝23，设AD＝x，F为棱AD的中点，
则EF＝12－12x2，
S△AED＝12x12－x24＝1448x2－x4，(8分)
V＝13S△AED(BE＋CE)＝1348x2－x4(0x43)，
当x2＝24，即x＝26时，Vmax＝8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，(11分)
此时棱长AD＝26.(12分)
11．(1)证明由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．(3分)
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC平面CDEF，
MN平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF.(6分)
(2)解∵DA⊥平面ABFE，
EF平面ABFE，
∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE.
又DE平面ADE，∴EF⊥DE，(8分)
∴四边形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE.
取DE的中点H，连接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，
∴AH＝2，且AH⊥平面CDEF.(12分)
∴多面体A—CDEF的体积V＝13SCDEFAH
＝13DEEFAH＝83.(14分)