球的表面积与体积。

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？下面是小编为大家整理的“球的表面积与体积”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

第三课时球的表面积与体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为，
，
所以，.
（2）因为，
，
所以，S球=S圆柱侧.
例2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）
A．6:13B．5:14
C．3:4D．7:15
【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2.
∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2=OE2=AEBE=r1r2.
由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4
(r1+r2)2=
V球∶V圆台=
=故选A.
例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA=PB=PC=a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.
∴.
∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）

教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.

教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.

通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．
【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．
设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM–O1M=–x
又O1A=O1C
∴．解得
则O1A=O1B=O1C=．
在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得．解得．
故．
例2．如图所示棱锥P–ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
，
，
S□ABCD=a2．
VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，
，
，
所以，，
即球的最大半径为．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，
在Rt△PBC中，FP=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，
又
即球心O在PB中点F上．
【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．

精选阅读

几何体的表面积与体积

学案1集合的概念与运算
一、课前准备：
【自主梳理】
1．侧面积公式：，，，，，．
2．体积公式：=，，，．
3．球：，．
4．简单的组合体：
⑴正方体和球正方体的边长为，则其外接球的半径为．
正方体的边长为，则其内切球的半径为．
⑵正四面体和球正四面的边长为，则其外接球的半径为．
【自我检测】
1．若一个球的体积为，则它的表面积为_______．
2．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是．
3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为，则圆锥的体积为．
4．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_____________________．
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是．
6．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm和25πcm，则(1)圆台的高
为(2)截得此圆台的圆锥的母线长为．
（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.
（3）三棱柱的一个侧面面积为，此侧面所对的棱与此面的距离为，则此棱柱的体积为．
（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是．
【例2】如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．

课堂小结
（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；
（2）了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；
（3）几何体表面的最短距离问题------侧面展开.

三、课后作业
1．一个球的外切正方体的全面积等于，则此球的体积为.
2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为．
3．三个平面两两垂直，三条交线相交于，到三个平面的距离分别为1、2、3，
则=.
4．圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的体积为.
5．如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是．
6．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，M、N分别在棱AC和AD上，则BM＋MN＋NB的最小值为．
7．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，∥，=2，则该多面体的体积为．
8．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，则高为．
9．如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积．

10．如图，矩形中，⊥平面，，为上的一点，且⊥平面，，求三棱锥的体积．

四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析

一、课前准备：
【自主梳理】
1．
2．
3．4
4．
【自我检测】
1．122．23．4．5．6π6．13
二、课堂活动：
【例1】填空题
1．（1）20（2）3（3）（4）
【例2】（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则
（Ⅱ）
（Ⅲ），，且，
，.
，
∴，即.=
=.
【例3】解：（1）由知四边形ABCD为边长是2的正方形，
,又PA平面ABCD，=.
（2）设点C到平面PBD的距离为，
PA平面ABCD，=.
由条件，.
由.得.
点C到平面PBD的距离为.
三、课后作业
1．2．3：23．4．
5．6．7．8．
9．（1）证明：，且平面，∴平面.
（2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形.
∴.又，∴.在Rt△中，，
∴，.∴.
则，∴.
又，∴.
，∴平面.
（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半.
.
10．解：连结．可证三棱锥中，与底面垂直，所以所求
体积为．

柱体、锥体、台体的表面积与体积

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“柱体、锥体、台体的表面积与体积”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

学习目标
1.了解柱、锥、台的体积计算公式；
2.能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P25~P26，找出疑惑之处）
复习1：多面体的表面积就是___________________
加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,
___________，__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学
※探索新知
新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：
（，分别为上、下底面面积，为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※典型例题
例1如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.
※动手试试
练1.在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.

练2.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

三、总结提升
※学习小结
1.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
2.求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

※知识拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家.柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.
A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍
2.已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（）.
A.B.C.D.4
3.各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（）.
A.B.C.D.
4.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
5.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

课后作业
1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=

1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积

1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积

小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.

一、【学习目标】

1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），

提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意

识，增加学生学习数学的兴趣；

2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，

培养学生转化、化归以及类比的能力.

【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.

二、【自学内容和要求及自学过程】

1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）

1在初中，我们已经学习了正方体和长方体

的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

2棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

3如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

4联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？

结论：1正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.3它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).4圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.

思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是.

【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导.

2、阅读教材第25—27页内容，回答问题（柱、锥、台体积）

5回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？

6比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；

V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

结论：5棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.6柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：

练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是；④已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.结果：1/6)

【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材采取了直接给出的模式，教师不要过多的渗入推导，加重学生负担.

三、【作业】

1、必做题：教材第29页习题1.3A组第1、2、3题；

2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）.

四、【小结】

这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的.

五、【教学反思】

这节课本来是一课时的内容，但是上课时发现一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，第二课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量.

对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题.

事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有及时的制止，只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是根据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应该出现的，但是我不想伤害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近十分钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔......

其实自己心里面觉得很难受，不想发火，但是还是发火了.不找别人的原因，先找找自己的原因，我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的注意，并没有太大的恶意，而我却伤害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没有什么恶意，但是我伤害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要汲取教训，不能再犯.

以后，我要汲取这个教训，一定不能伤害学生的自尊心.

可以说，这一节课因为这一个发火，一节本来成功的课，变成了失败的课.

很愧疚.

高一数学教案：《球的体积和表面积》教学设计

高一数学教案：《球的体积和表面积》教学设计

一、教学目标

知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、学法和教学用具

学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

教学用具：投影仪

四、教学设计

创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)

2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？

半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）

典例分析

课本P47 例4和P29例5

巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。

（答案： ；　3 ：1）

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

评价设计

作业 P30 练习1、3 ，B（1）