绝对值不等式。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

题目第六章不等式绝对值不等式
高考要求
1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
2．掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
知识点归纳
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方
2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|─|b|||a+b||a|+|b|;||a|─|b|||a─b||a|+|b|;并指出等号条件
3．(1)|f(x)|g(x)─g(x)f(x)g(x);
(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)─g(x)（无论g(x)是否为正）
（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）
左边在时取得等号，右边在时取得等号
题型讲解
例1解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立解：原不等式又化为∴原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号例2求证：不等式
综上（1），（2）得
例3
所以，原命题得证
例4
例5
证明：
例6
证明：令
例7a,bR证明|a+b|－|a－b|2|b|
例8解不等式||x+3|─|x─3||3
解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：
∵||x+3|─|x─3||3
∴(1)x─3;
(2)3/2x3或─3x─3/2;
(3)x3
∴原不等式的解为x─3/2或x3/2
解法二：用平方法脱去绝对值：
两边平方：(|x+3|─|x─3|)29,即2x2+92|x2─9|;
两边再平方分解因式得：x29/4x─3/2或x3/2
例9解不等式|x2─3|x|─3|1
解：∵|x2─3|x|─3|1
∴─1x2─3|x|─31
∴
∴原不等式的解是：x4或─4x
点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论
例10求使不等式|x─4|+|x─3|a有解的a的取值范围
解：设f(x)=|x─4|+|x─3|,
要使f(x)a有解，则a应该大于f(x)的最小值，
由三角不等式得：
f(x)=|x─4|+|x─3||(x─4)─(x─3)|=1,
所以f(x)的最小值为1，
∴a1
点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论
例11已知二次函数f(x)满足|f(1)|1,|f(0)|1,|f(─1)|1,
求证：|x|1时，有|f(x)|5/4
证明：设f(x)=ax2+bx+c,
由题意，得
∴a=[f(1)+f(─1)─2f(0)],b=[f(1)─f(1)];c=f(0)
代入f(x)的表达式变形得：
f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(─1)(x2─x)/2+(1─x2)f(0)
∵|f(1)|1,|f(0)|1,f(─1)|1,
∴当|x|1时，
|f(x)||(x2+x)/2||f(1)|+|(x2─x)/2||f(─1)|+(1─x2)|f(0)|
|x|(1+x)/2+|x|(1─x)/2+(1─x2)
=─x2+|x|+1=─(|x|─1/2)2+5/45/4
例12已知a,b,c都是实数，且|a|1,|b|1,|c|1,求证：ab+bc+ca─1
证明：设f(x)=x(b+c)+bc─(─1),
∵|a|1,|b|1,|c|1,
∴f(1)＝(b+c)+bc+1＝(1+b)(1+c)0,
f(─1)＝－(b+c)+bc+1＝(1－b)(1－c)0,
∴当a∈(─1,1)时，f(x)0恒成立
∴f(a)＝a(b+c)+bc─(─1)0,
∴ab+bc+ca─1
例13
证明：
小结：
1．理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题
2．解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如
等
3．证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等
学生练习
1．不等式的解集为（）
A．B．C．D．
答案：D
2．不等式|x－4|＋|x－3|a有解的充要条件是（）
Aa7Ba1Ca1Da≥1
答案:B提示:代数式|x－4|＋|x－3|表示数轴上的点到(4,0)与(3,0)两点的距离和，最小值为1，∴当a1时，不等式有解
3．若A={x||x－1|2},B={x|0，则A∩B=（）
A{x|－1x3}B{x|x0或x2}C{x|－1x0或2x3}D{x|－1x0}
答案:C提示:A={x|－1x3},B={x|x2或x0},∴A∩B={x|－1x0或2x3}
4．不等式1≤≤2的解集是
答案:1≤x≤或≤x≤3
5．如果y=logx在(0,+∞)内是减函数，则a的取值范围是（）
A|a|1B|a|C1|a|Da或a－
答案:C提示:0a2－1,∴1|a|
6．解不等式|logx|＋|log(3－x)|≥1
答案：{x|0x≤或≤x3}
提示：分0x1,1x2,2x3三种情况讨论,当0x1时,解得0x≤；当1x2时,无解；当2x3时,解得≤x3

课前后备注jAB88.cOM

相关知识

含有绝对值的不等式

含有绝对值的不等式教学目标
(1)把握绝对值不等式的基本性质,在学会一般不等式的证实的基础上,学会含有绝对值符号的不等式的证实方法;
(2)通过含有绝对值符号的不等式的证实,进一步巩固不等式的证实中的由因导果、执要溯因等数学思想方法;
(3)通过证实方法的探求,培养学生勤于思考,全面思考方法;
(4)通过含有绝对值符号的不等式的证实,可培养学生辩证思维的方法和能力,以及严谨的治学精神。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
①本节重点是性质定理及推论的证实.一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过证实过程的探求,使学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神.
②教学难点一是性质定理的推导与运用;一是证实含有绝对值的不等式的方法选择.在推导定理中进行的恒等变换与不等变换,相对学生的思维水平是有一定难度的;证实含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换,根据要证实的不等式选择适当的证实方法是无疑学生学习上的难点.
三、教学建议
(1)本节内容分为两课时,第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证实及简单运用,第二课时为含有绝对值的不等式的证实举例.
(2)课前复习应充分.建议复习:当时
;
;
以及绝对值的性质:
,为证实例1做预备.
(3)可先不给出含有绝对值的不等式性质定理,提出问题让学生研究:是否等于?大小关系如何?是否等于?等等.提示学生用一些数代入计算、比较,以便归纳猜想一般结论.
(4)不等式的证实方法较多,也应放手让学生去探讨.
(5)用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论.
(6)本节教学既要突出教师的主导作用,又要强调学生的主体作用,课上尽量让全体学生参与讨论,由基础较差的学生提出猜想,由基础较好的学生帮助证实,培养学生的团结协作的团队精神.
教学设计示例
含有绝对值的不等式
教学目标
理解及其两个推论,并能应用它证实简单含有绝对值不等式的证实问题。
教学重点难点
重点是理解把握定理及等号成立的条件,绝对值不等式的证实。
难点是定理的推导过程的探索,摆脱绝对值的符号,通过定理或放缩不等式。
教学过程
一、复习引入
我们在初中学过绝对值的有关概念,请一位同学说说绝对值的定义。
当时,则有:
那么与及的大小关系怎样?
这需要讨论当
当
当
综上可知:
我们已学过积商绝对值的性质,哪位同学回答一下?
.
当时,有:或.
二、引入新课
由上可知,积的绝对值等于绝对值的积;商的绝对值等于绝对值的商。
那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗?
1.定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差,我们猜想
.
怎么证实你的结论呢?
用分析法,要证.
只要证
即证
即证,
而显然成立,
故
那么怎么证?
同样可用分析法
当时,显然成立,
当时,要证
只要证,
即证
而显然成立。
从而证得.
还有别的证法吗?(学生讨论,教师提示)
由与得.
当我们把看作一个整体时,上式逆用可得什么结论?
。
能用已学过得的证实吗?
可以表示为.
即(教师有计划地板书学生分析证实的过程)
就是含有绝对值不等式的重要定理,即.
由于定理中对两个实数的绝对值,那么三个实数和的绝对值呢?个实数和的绝对值呢?
亦成立
这就是定理的一个推论,由于定理中对没有非凡要求,假如用代换会有什么结果?(请一名学生到黑板演)
,
用代得,
即。
这就是定理的推论成立的充要条件是什么?
那么成立的充要条件是什么?
.
例1已知,求证.(由学生自行完成,请学生板演)
证实:
例2已知,求证.
证实:
点评:这是为今后学习极限证实做预备,要习惯和“配凑”的方法。
例3求证.
证法一:(直接利用性质定理)在时,显然成立.
当时,左边
.
证法二:(利用函数的单调性)研究函数在时的单调性。
设,
,在时是递增的.
又,将,分别作为和,则有
(下略)
证法三:(分析法)原不等式等价于,
只需证,
即证
又,
显然成立.
原不等式获证。
还可以用分析法证得,然后利用放缩法证得结果。
三、随堂练习
1.①已知,求证.
②已知求证.
2.已知求证:
①;
②.
3.求证.
答案:1.2.略
3.与同号
四、小结
1.定理.把、、看作是三角形三边,很象三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这样理解便于记忆,此定理在后面学习复数时,可以推广到比较复数的模长,并有其几何意义,有时也称其为“三角形不等式”.
2.平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式,但应注重两边非负时才可平方,有些证实并不轻易去掉绝对值符号,需用定理及其推论。
3.对要非凡重视.
五、布置作业
1.若,则不列不等式一定成立的是()
A.B.
C.D.
2.设为满足的实数,那么()
A.B.
C.D.
3.能使不等式成立的正整数的值是__________.
4.求证:
(1);
(2).
5.已知,求证.
答案:1.D2.B3.1、2、3
4.
5.
=
注:也可用分析法.
六、板书设计
6.5含有绝对值的不等式(一)
1.复习
2.定理
推论
例1
例2
例3
课堂练习

含绝对值不等式的解法

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，准备教案课件的时刻到来了。只有写好教案课件计划，才能规范的完成工作！你们会写适合教案课件的范文吗？下面是小编为大家整理的“含绝对值不等式的解法”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

选修4-5学案§1.2.2含绝对值不等式的解法姓名
☆学习目标：1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;
2.理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化
知识情景：
1．绝对值的定义：，
2.绝对值的几何意义：
10.实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A

20.两个实数，它们在数轴上对应的点分别为，
那么的几何意义是.
3.绝对值三角不等式：
①时,如下图,易得：.
②时,如下图,易得：.
③时,显然有：.综上,得
定理1如果,那么.当且仅当时,等号成立.
定理2如果,那么.当且仅当时,等号成立.
建构新知：含绝对值不等式的解法
1．设为正数,根据绝对值的意义，不等式的解集是
它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

2．设为正数,根据绝对值的意义，不等式的解集是
它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

3．设为正数,则10.;
20.;
30.设,则.
4．10.≥；
20..

☆案例学习：
例1解不等式(1);(2).

例2解不等式(1);(2).

例3解不等式(1)；(2).

例4(1)（北京春）若不等式的解集为，则实数等于()
(2)不等式，对一切实数都成立，则实数的取值范围是

例5已知，≤，且，求实数的范围.

选修4-5练习§1.2.2含绝对值不等式的解法姓名
解不等式

11.已知不等式的解集为，求的值

12.解关于的不等式（）

13.解关于的不等式：①解关于的不等式；②

含绝对值的不等式的解法

课题：含绝对值的不等式的解法

教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．
教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．
教学过程：

（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离
2．当时，或，；
当时，，．

（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
3．解绝对值不等式的其他方法：
（1）利用绝对值的集合意义法：
(2)利用函数图象法：原理：不等式f(x)g(x)的解集是函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象上方的点的横坐标的集合.

（三）高考回顾：
考题1（2004全国文）不等式1＜|x＋1|＜3的解集为（）

A(0,2)B(－2,0)∪(2,4)
C(－4,0)D(－4，－2)∪(0，2)
考题2（2004江苏）设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于()
(A){1，2}(B){3，4}
(C){1}(D){-2，-1，0，1，2}

考题3(05重庆卷)不等式组的解集为()(A)(0,)；(B)(,2)；(C)(,4)；(D)(2,4)

考题4（2004辽宁文）设全集U=R，
(I)．解关于x的不等式|x-1|+a-10(xR);
(II).记A为(I)中不等式的解集,集合.若恰有三个元素，求a的取值范围.

（四）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；

例2．（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；

（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是．

例3．设，解关于的不等式：．

分析：本题是一个含有参数的不等式，解这类不等式时常要就参数的取值进行讨论。

例4．已知，，且，求实数的取值范围．

分析：要注意空集的情况

例5．在一条公路上，每隔有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有货物，二号仓库存，五号仓库存，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输需要元运输费，那么最少要多少运费才行？
（五）巩固练习：
1．的解集是；的解集是；
2．不等式成立的充要条件是；

3．若关于的不等式的解集不是空集，则；

4．不等式成立，则．

（六）课后作业：
1.不等式|x2－x|x的解集是.

2.不等式log2|x－3|1的解集是.

3.若x∈R，则(1－|x|)(1+x)0的充要条件是（）
（A）|x|1（B）x－1或－1x1（C）|x|1（D）x－1

4.不等式3≤|5－2x|9的解集是（）
（A）(－∞,－2)∪(7,+∞)（B）[1,4]
（C）[－2,1]∪[4,7]（D）(－2,1]∪[4,7)

5.不等式1的解集是（）
（A）(1,5)（B）(,2)（C）(1,2)（D）(,5)
6.，解关于x的不等式：

高二《含有绝对值的不等式》教学教案

高二《含有绝对值的不等式》教学教案

教师行为
学生学习活动
设计意图
(一)导入新课
1、不等式的基本性质有哪些？
2、（ppt展示）
学生认真回答问题。
以提问形式复习旧知识，引出新问题。
(二)探索新知
1、师：关于绝对值和不等式的两个问题，大家回答得很好，这节课我们就来研究含有绝对值的不等式的解法。（板书：2.2.4含有绝对值的不等式）
2、师：大家回忆一下|a|的几何意义（ppt展示）
（板书：一、|a|的几何意义
数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离．）
例如，|－3|＝3，|3|＝3．
（ppt展示）
3、师：问题：（ppt展示）
（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？
（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集吗？
师：同学们回答得很正确，请大家试归纳写出|x|＞a，|x|＜a（a＞0）的几何意义及解集．
（板书：二、|x|＞a与|x|＜a的几何意义）
结论：（ppt展示）
|x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，其解集是{x|x＞a或x＜-a}．
|x|＜a的几何意义是到原点的距离小于a的点，其解集是{x|-a＜x＜a}．（ppt展示）
学生结合数轴，理解|a|的几何意义。
对于每个问题都请学生认真思考后回答：
（1）|x|=3的几何意义是：在数轴上对应实数3的点到原点的距离等于3，这样的点有二个：对应实数3和-3的点；
（2）|x|＞3的几何意义是到原点的距离大于3的点，其解集是﹛x|x＞3或x＜-3﹜；|x|＜3的几何意义是到原点的距离小于3的点，其解集是{x|-3＜x＜3﹜．
学生结合数轴进行讨论，作出回答．
类比旧知识，教师提出新问题，学生解答。
逐步帮助学生推出解含绝对值不等式的方法。
通过启发学生，尽量让学生自己归纳出解法，锻炼学生总结概括能力并加深学生对该知识点的理解。
(三)应用新知
（板书：三、解含有绝对值的不等式）
（ppt展示）练习1解下列不等式：
（1）|x|＜5；
（2）|x|－3＞0；
（3）3|x|＞12．
学生练习，教师巡视指导。
通过练习，使学生进一步掌握|x|＞a与|x|＜a两类不等式的解法。
(四)例题讲解，巩固新知
（ppt展示）
例1：解不等式|2x－3|＜5。
分析：可采用整体代换思想，设z＝2x－3，则由|z|＜5，可得－5＜z＜5，所以－5＜2x－3＜5，然后求解。
解：由|2x-3|＜5，得
－5＜2x－3＜5，
不等式各边都加3，得
－2＜2x＜8，
不等式各边都除以2，得
－1＜x＜4。
所以原不等式解集为{x|-1＜x＜4}。
例2：解不等式|2x－3|≥5。
分析：可采用整体代换思想，设z＝2x－3，则由|z|≥5，可得z≥5或z≤－5，所以2x－3≥5或2x－3≤－5，然后求解。
解：由|2x－3|≥5得
2x－3≤－5或2x－3≥5，
分别解之，得
x≤－1或x≥4，
所以原不等式解集为{x|x≤－1或x≥4}。
（板书：四、含有绝对值的不等式的解法总结）
（ppt展示）
1、|ax＋b|＜c(c＞0)的解法：先化不等式组-c＜ax＋b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集。
2、|ax＋b|＞c（c＞0）的解法：先化不等式组ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集。
师：在解|ax＋b|＞c与|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式的时候，一定要注意a的正负。当a为负数时，可先把a化成正数再求解。
学生观察、思考、讨论。
学生观察教师的解题步骤，斌按规范解题。
通过这两道例题的分析，使学生能够熟悉并总结出解含有绝对值不等式的方法步骤。
通过启发学生，尽量让学生结合两例题自己归纳出解法，锻炼学生的总结概括能力并加深学生对该知识点的理解。
使学生进一步掌握含绝对值不等式的解法。
(五)巩固练习
（ppt展示）练习2解下列不等式：
（1）|x＋5|≤7；
（2）|5x－3|＞2。
让全体同学在练习本上做，教师巡视，并请几位同学在黑板上做。
采用示错式教学，展示学生在运算中容易出现的错误，减少学生解题时出错。
通过练习让学生熟练掌握含绝对值不等式的解法。
(六)归纳小结
师：通过本节课的学习，大家学到了哪些数学知识？（ppt展示）
(1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对值符号的不等式；
(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的。
学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点。
使学生对所学的知识有一个总体而深刻的认识。
(七)布置作业
（ppt展示）
必做题：P50，A组第2题，
选做题：B组第1题。
学生课后完成。
作业分层布置，照顾到全体学生；B组第1题有一定的难度，激发学生挑战的意识。