高三数学立体几何4。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。关于好的教案要怎么样去写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“高三数学立体几何4”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

考试要求：1、掌握平面的基本性质，会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。2、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。3、理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。4、了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。5、掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。6、理解直线的方向向量，平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。7、掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理。掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。8、了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。9、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。10、了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。11、了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。WWw.Jab88.cOM

相关知识

空间向量与立体几何

3.1.3空间向量的数量积运算
教学设计
教学目标：
知识与技能目标：
知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.
技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题
过程与方法目标：
1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.
2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.
情感与态度目标：
1.获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；
2.学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.
教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.
教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.
教辅工具：多媒体课件
教学程序设计：
程序教师活动学生活动设计意图
类比学习
类比平面向量夹角的定义,理解空间向量的夹角.对于思考题,主要是让学生理解夹角的概念,
类比学习
类比平面向量数量积的定义.学生集体回答出空间向量的数量积定义及几何意义等.
理解空间向量数量积的定义和几何意义.特别要理解投影的概念.

对于几个重要的结论,主要是让学生理解几个重要的结论,特别是长度和夹角的计算公式.
对于练习1、2和3,学生独立完成后,同桌间交流.
对于练习1，2和3,主要是让学生熟悉向量数量积公式,理解数量积的概念。

例题1的目的是让学生理解用向量的方法求异面直线所成的角。

例题2的目的是让学生理解用向量的方法求线段的长度。

例题3的目的是让学生理解用向量的方法证明垂直问题。
练习巩固
学生动手自行解决问题，讲解巩固用向量的方法求异面直线所成的角。

巩固用向量的方法求线段的长度。
巩固用向量的方法证明垂直问题。
小结
师生共同完成。
作业教材习题3.1A组：第3题，第5题.

立体几何教案

1、空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组、、、,对于空间任一点,有且(时常表述为:若且,则空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内。)
2、若多边形的面积为,它在一个平面上的射影面积为,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为,则有。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明)
3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。
5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。
6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
7、对角线相等的平行六面体是长方体。
8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。
9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)
10、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明)
11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
(1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。
(2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。
(3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。
12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。
13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
14、若平面、平面、平面两两互相垂直,那么顶点在平面内的射影是三角形的垂心。
15、棱长为的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为。(该间距为小棱切球之直径)
16、设正四面体的棱长为,高为,外接球半径为,内切球半径为,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为,体积为,则:
,,,或,
17、设正方体的棱长为,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为、、,则,,。
18、若二面角的平面角为,其两个面的法向量分别为、,且夹角为,则或()。
19、点到平面的距离:(其中为垂足,为斜足,为平面的法向量)。
20、证明两平面平行:
(1)若平面、的法向量、共线,则;
(2)若平面、有相同的法向量,则。
21、若直线与平面的法向量共线,则可推出。
22、设为空间直角坐标系内一点,平面的方程为:,则点到平面的距离为。
23、证明两平面垂直:
(1)确定两个平面、的法向量、,若,则;
(2)在平面内找出向量,若与的法向量共线,则;
24、向量与轴垂直竖坐标(对轴、轴同理)。
25、等积变换、割形与补形是解决立体几何问题常用方法。有关正四面体中的计算有时可造正方体模型,使正方体的面对角线恰好构成正四面体。
三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体。
题型:四面体ABCD中,共顶点A的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为()。该题型解法:可构造球内接长方体,长方体的体对角线长为球直径。
补充:三棱锥能够构造长方体的几种基本情形
(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥可以构造长方体;
(2)三个侧面两两垂直的三棱锥可以构造长方体;
(3)三组对棱两两相等的三棱锥可以构造长方体。

立体几何备考指导

立体几何备考指导
立体几何是高考的重点内容之一.从近几年高考试卷来看，题量最少的也要有一大一小两道题.一道大题是整套试卷得分高低的关键，一般考查线面的平行与垂直，角度和距离的计算.本文就通过对六例高考题的分析，对立体几何的备考谈一些粗浅的建议，供大家参考.
一、线线，线面，面面位置关系问题
立体几何知识建立在四个公理的体系之上，因此，在复习时应先整理归纳，把空间线面位置关系一体化，理解和掌握线线，线面，面面平行和垂直的判定与性质，形成熟练的转化推理能力.具体来说，可分为四大块：①平面的基本性质（四个公理）；②线线，线面，面面的平行与垂直；③夹角；④常见的几何体和球.根据每部分内容，先理解记熟，明确条件和结论，掌握用法和用途，再通过典型例题总结解题方法，并进行强化训练.高*考*资+源-网
例1（天津文）是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，下面有四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中真命题的编号是_____.（写出所有真命题的编号）

解：如图1，，过A在平面内作，
∵，从而m⊥n，故①对.
②错，如图1，n可能会平移至内.
③错，如图2，n可能会在内.
④对，两条平行直线中的一条垂直两平行平面的一个，则另一条也垂直于另一个平面.
其中真命题的编号是①④.
点评：线线，线面，面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的演示，构造特例法是常用方法！
二、空间角与空间距离问题
空间角与距离问题，难度可大可小，主观，客观题都有，是高考的必考内容，复习过程中要多加训练，熟练掌握，达到炉火纯青的程度.
例2（安徽文）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1；②2；③3；④4.
以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号）
（安徽理）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相
邻的.如图3，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在
的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为
1，2和4.Ｐ是正方体的其余四个顶点的一个，则Ｐ到平面的
距离可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号）
解：（文）①③.如果已知两点与顶点A相邻，则剩下的一个顶点（平行四边形的与A在一条对角线上的顶点）到平面的距离必定是3；如果已知两点有一个与顶点A不相邻，则剩下的一个顶点到平面的距离只能是1.
（理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分别对应距离为3，5，6，在3－A－4中对应距离是7，所以选①③④⑤.
点评：从上面解答看，文科试题涉及两类问题（借用理科试题中的定义，与顶点A相邻或不相邻），需要分类讨论，如果已知两顶点与顶点A相邻时，平行四边形的两条对角线都不与平面平行，所求距离必定是3；如果已知两顶点有一个与顶点A不相邻，则平行四边形的一条对角线与平面平行，所求距离只能是1.解决了文科试题将平行四边形特殊化为正方形，再分别使已知两顶点与顶点A相邻，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4组合，对应距离可轻而易举地写出来.
三、简单几何体的组合问题
高考题中，常出现将两种简单几何体组合起来进行考查的题型.如正方体，长方体或棱锥内接于一个球；一个球内切于正方体，正四面体；几个球堆垒在一起等.解答这类题，有时直观图是很难画的，我们可以通过思考加工后画出对我们解题有帮助的，容易画出来的立体图或者截面图即可.
例3（湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图4所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）.
（A）（B）（C）（D）

解：先画出立体图形如图5所示，注意到截面有两点在大圆上，所以截面过四面体的一条棱（不妨设为AB），又截面过球心，于是，截面过棱CD的中点.从而可知，截面为等腰三角形，该三角形底边是四面体的棱，长为2，两腰是四面体表面三角形的高，长为.故答案为（C）.
点评：本题以截面形式考查空间能力.求解关键是要理清截面图形与原几何体的位置关系，然后利用面积公式求解.如果没有抓住图形特征，一味地设法求球的半径容易陷入困境.
四、折叠与展开问题
平面图形的折叠问题是高考的老话题，解答这类题应抓住折叠前后两个图形中相关元素之间的大小或者位置关系.对折叠前后未发生变化的量应放在折叠前的图形中进行计算，这样做显得直观易懂.求解空间几何体两个或几个侧面上的折线长之和的最小值，其方法是将侧面展开成平面图形.
1.折叠问题
例4（山东卷）如图6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥
P－DCE的外接球的体积为（）.
（A）（B）（C）（D）
解：折叠后形成棱长为1的正四面体，将正四面体的棱作为正方体的面对角线，则该正四面体的外接球就是正方体的外接球，正方体的棱长为，其体对角线长为，外接球的半径为，体积是，选（C）.

点评：折叠以后成为正四面体需要足够的想象能力和推理能力，再把正四面体转化到正方体内，从外接球处理，则是“奇思妙想”！计算自然简单，“转化”功不可没！
2.展开问题
例5（江西卷）如图8，已知正三棱柱
的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面
绕行两周到达点的最短路线的长为_____.
解：将正三棱柱的两个底面剪开，把侧面沿侧棱剪开，
将侧面展开成平面图形，如图9所示.质点绕侧面两周的行程应是
折线与的长度之和，欲求与的长度之和的最小值，可在展开图的右边补一个与之全等的展开图，如图10所示.由对称性可知，当处在对角线位置的两条折线与在同一条直线上时，折线与的长度之和最小.最小值为.

点评：本题考查空间中求最短路线问题，解这类问题的关键是化空间问题为平面问题.
五，定义型问题
例6（江西文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）.
（A）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
（B）等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
（C）等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
（D）等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解：由等腰四棱锥的定义可知，（A），（C），（D）正确，而等腰四棱锥的底面未确定，所以侧面底边上的高不能确定，从而侧面与底面所成的角不能确定.故选（B）.
点评：本题考查四棱锥的概念.读懂题中提供的信息，即“等腰四棱锥”的定义是解题的关键.

2012届高考数学备考立体几何复习教案

专题四：立体几何
阶段质量评估（四）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（）
A．B．
C．D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如图，设平面，垂足分别为，若增加一个条件，就能推出.
现有①②与所成的角相等;
③与在内的射影在同一条直线上;④∥.
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）
个个个个
4．已知直线和平面，则下列命题正确的是()
AB
CD
5．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）
A．B．C．D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是()
A.B.
C.直线∥D.直线所成的角为45°
9．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）
..∥截面
..异面直线与所成的角为
11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）
A.B.
C.D.
12．如图，为正方体，下面结论错误的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为．(结果用反三角函数值表示)
15．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是．
16．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．

三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为.
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.

18．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

19．如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，
是线段的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当取何值时，直线PN与平面ABC
所成的角最大？并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°，试确定点P的位置。

21．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

22．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．

参考答案
一、选择题
1.【解析】选A.。
2.【解析】选D.①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3.C
4.【解析】选B.对A，，
对C画出图形可知，对D，缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】选C.由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】选.由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.

11.【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。
二、填空题
13.【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，设长方体的高为x，则，所以，所以长方体的体积为3。
答案：3

14.
15.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角
的平面角.根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点
Q，都有∠POQ≥45°，∴，设PO=，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中应有
PCPH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角的范围是。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范围是。
答案：

三、解答题
17.【解析】（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2）设AB=x，
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DEC的法向量，
设平面D1EC的法向量，则
由题意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DEC的一个法向量.
设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）∵∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由
∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，
∴又点，，∴
∴，且与不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴为平面的法向量．
∵，，
∴为平面的法向量．
∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为．

20.解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系
则2分
从而
所以…………3分
（II）平面ABC的一个法向量为
则
（※）…………5分
而
由（※）式，当…………6分
（III）平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
解得11分
故点P在B1A1的延长线上，且…………12分

21.解法一：（I）证明：连结，为等边三角形，为的中点，
，和为等边三角形，为的中点，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）过作于连结，
平面，在平面上的射影为
为二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：设点到平面的距离为，
，
在中，，
而
点到平面的距离为．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面，平面的法向量
设平面的法向量，
由
设与夹角为，则
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设平面的法向量为又
设与夹角为，则
设到平面的距离为，
到平面的距离为．

22.【解析】解法一：
（I）由题意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一