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小学体教案

发表时间：2020-04-01

柱体、锥体、台体的表面积与体积。

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“柱体、锥体、台体的表面积与体积”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

学习目标
1.了解柱、锥、台的体积计算公式；
2.能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P25~P26，找出疑惑之处）
复习1：多面体的表面积就是___________________
加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,
___________，__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学
※探索新知
新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)JAb88.cOm

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：
（，分别为上、下底面面积，为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※典型例题
例1如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.
※动手试试
练1.在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.

练2.直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

三、总结提升
※学习小结
1.柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
2.求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

※知识拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家.柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.
A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍
2.已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（）.
A.B.C.D.4
3.各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（）.
A.B.C.D.
4.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
5.已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

课后作业
1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=

扩展阅读

1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积

小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.

一、【学习目标】

1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），

提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意

识，增加学生学习数学的兴趣；

2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，

培养学生转化、化归以及类比的能力.

【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.

二、【自学内容和要求及自学过程】

1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）

1在初中，我们已经学习了正方体和长方体

的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

2棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

3如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

4联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？

结论：1正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.3它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).4圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.

思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是.

【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导.

2、阅读教材第25—27页内容，回答问题（柱、锥、台体积）

5回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？

6比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；

V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

结论：5棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.6柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：

练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是；④已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.结果：1/6)

【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材采取了直接给出的模式，教师不要过多的渗入推导，加重学生负担.

三、【作业】

1、必做题：教材第29页习题1.3A组第1、2、3题；

2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）.

四、【小结】

这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的.

五、【教学反思】

这节课本来是一课时的内容，但是上课时发现一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，第二课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量.

对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题.

事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有及时的制止，只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是根据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应该出现的，但是我不想伤害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近十分钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔......

其实自己心里面觉得很难受，不想发火，但是还是发火了.不找别人的原因，先找找自己的原因，我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的注意，并没有太大的恶意，而我却伤害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没有什么恶意，但是我伤害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要汲取教训，不能再犯.

以后，我要汲取这个教训，一定不能伤害学生的自尊心.

可以说，这一节课因为这一个发火，一节本来成功的课，变成了失败的课.

很愧疚.

柱体、锥体、台体的体积

第二课时柱体、锥体、台体的体积

（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的体积计算.
难点：简单组合体的体积计算.
（三）教学方法
讲练结合
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问，学生回忆
师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.复习巩固
点出主题

探索新知柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体=Sh(S是底面积，h为柱体高)
V锥体=(S是底面积，h为锥体高)
V台体=(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)

2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？
生：V=Sh(S为底面面积，h为高)
师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积.公式：V=Sh(S为底面面积，h为高)
师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出).锥体的体积公式都是V=(S为底面面积，h为高)
师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生：锥体体积同底等高的柱体体积的.
师：台体的结构特征是什么？
生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.
师：台体的体积大家可以怎样求？
生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V=
其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？
生：令S′=0，得到锥体体积公式.
令S′=S，得到柱体体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.

培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析例1有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个.师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？
生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析，教师板书过程.
师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析例2已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h=2r，
∵S=S侧+2S底=2+，∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4，
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.教师投影例2并读题
师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.
生：取内接正四棱柱的对角面.
师：有什么好处？
生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.
学生分析，教师板书过程.
师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.
答案：2325cm2.
2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？
答案：.学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力.
归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2．简单组合体体积的计算.
3．等积变换学生归纳，教师补充完善.巩固所学，提高自我整合知识能力.
课后作业1.3第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备用例题
例1：三棱柱ABC–A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF–A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2=7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2：一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x，解此方程得x=0.6(cm).
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.

柱体锥体台体的体积

第6讲柱体锥体台体的体积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：1.体积公式：
体积公式体积公式
棱柱
圆柱

棱锥
圆锥

棱台
圆台

2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：
.
¤例题精讲：
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是.
解：设长方体的长宽高分别为，则，
三式相乘得.
所以，长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.
在中，,
所以,于是.
依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为.
解：容器中水的体积为.
流出水的体积为，如图，.
设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.
所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.
点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.
【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.
解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的.设扇形半径为x，圆半径为r，则
，∴x=4r，.
又AB=，∴，解得.
圆锥的高，
∴.
点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系.搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.