空间向量的坐标表示学案练习题。

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，大家应该开始写教案课件了。认真做好教案课件的工作计划，才能完成制定的工作目标！你们知道多少范文适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“空间向量的坐标表示学案练习题”，但愿对您的学习工作带来帮助。

§3.1.4空间向量的坐标表示
一、知识要点
1.用坐标表示空间向量；
2.空间向量的坐标运算；
3.根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
二、典型例题
例1.已知，求。

例2.已知，试求实数的值，使。

例3.已知空间四点和，
求证：四边形是梯形。
三、巩固练习
1.设，则=，=，；
2.已知点在同一直线上，则=，=。

四、小结

五、作业
1.若为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
⑴；⑵；⑶。WWw.JAb88.cOm

2.已知，则向量=，=。
3.已知，为线段上一点，且满足，则点的坐标为；
4.若，则重心坐标为；
5.已知，若三向量共面，则=；
6.与向量共线的单位向量=；
7.设，且，求实数的值。

8.已知中，，求其余顶点与向量。

9.已知正方体的棱长为2，分别为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系。
⑴写出的坐标；⑵证明四点共面。

订正栏：

相关知识

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“§3.1.5空间向量运算的坐标表示”，相信您能找到对自己有用的内容。

§3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：
空间向量的坐标运算
【教学难点】：
空间向量的坐标运算
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新平面向量的坐标运算
二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，则，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运
2．数量积：即=
3．夹角：．
4．模长公式：若，
则．
5．平行与垂直：
6．距离公式：若，，
则，
或．
算规律和结论的本质是一样的。
三．典例例1．如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成的角的余弦值。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
，，
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
讲练所以，
因此，与所成角的余弦值是
例2．如图，正方体中，，分别是，的中点，求证：
证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，所以，又，，所以，
所以，
因此，即

四．练习巩固课本P97练习1，2，3
五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。

学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问
2．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（）
A.B.C.2D.
题。
六．小结1．空间向量的直角坐标运算律
2．数量积与夹角
3．模长与距离
4．平行于垂直
七．作业课本P98习题3.1，A组第8、9、11题

练习与测试：
（基础题）
1．已知向量的夹角为（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2

（中等题）
3.已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
4,已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，则向量与的夹角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，则的取值范围是（）
A.B.C.D.

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示
【学情分析】：
本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面
（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理
（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解
【教学重点】：
空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用
【教学难点】：
空间向量的分解
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理
二．新课讲授1．空间向量的正交分解
设，，是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量，设Q为点P在，所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所确定的平面上，存在实数z，使得
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得
从而
以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。
由此可知，对空间任一向量，存在一个有序实数组{}，使得，称，，为向量在，，上的分向量。
2．空间向量的基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
由此定理，若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使记
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助学生理解概念。
三．典例讲练例1．如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
解：

∴
向量的分解过程中注意向量的运算的正确使用。
四．练习巩固1、如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
解：
课本P94练习1、2、3
五．拓展与提高1．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量（）
A．互不相等B．至多有两个相等C．至少有两个相等D．有且只有两个相等
2．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。
六．小结1．正交分解的推导和空间向量基本定理
2．如何将向量用坐标表示
3．任意空间向量在某组基底下的分解
七．作业课本P97习题3.1第6题

练习与测试：
（基础题）
1如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
解：

2．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）
A．B．C．D．
3．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量（）
A．互不相等B．至多有两个相等C．至少有两个相等D．有且只有两个相等
4．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是()
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
6．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，
则x＋y＋z＝．
7．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛，，｝为基底，则＝．

（中等题）
8．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）
(1).(2).
(3).(4).
不一定成立的是.

9,已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。

空间向量的坐标运算

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《空间向量的坐标运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算
高考要求
要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题
知识点归纳
1空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，，
．
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4模长公式：若，，
则，．
5．夹角公式：．
6．两点间的距离公式：若，，
则，
或
题型讲解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量
解：设面ABC的法向量，
则⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件
解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，
则=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴点P的坐标是（2，1，），
dAB==
（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，
则=
化简得4x+4y－6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件
点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，，），且|P1P2|=
例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值
解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求
点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形
例5如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点
（1）求的长；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M
（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）证明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了
②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点
例7如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a
建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角
分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之
解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，
于是M（0，），连结AM，MC1
则有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一个法向量
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：
=
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
例8棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求；3）求点A到EF的距离
分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解
解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，
y轴，z轴建立直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的数量cos==
A到EF的距离=
点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）证明：，
，
设平面AGC的法向量为，
设平面BGC的法向量为，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量为
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小为
求平面法向量的另一种方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
设平面AGC的方程为：
则
∴平面AGC的法向量为
设平面BGC的方程为：
则∴平面BGC的法向量为
点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；
②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0；
③平面法向量的两种求法的区别
小结：
1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论
2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等
学生练习
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果与为共线向量，则
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）与=（1，－2y，9）共线，故有==
∴x=，y=－应选C答案：C
2在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）故①②③错误答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋与2－互相垂直，则k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则||的值是__________
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
则||==答案：
8设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根据共面向量定理，设=x+y（x、y∈R），
则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
（1）确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）设BP=t，则CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等价于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）试求这个三角形的面积
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角
则S=||||
=||||=
在本题中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因为异面对角线OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以OA⊥BC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
12如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
则cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，
∴E（a，－，0），F（0，，a）
则||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
连结PB，则PB⊥BC，
∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1则∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小为45°
课前后备注

空间角的计算学案练习题

俗话说，磨刀不误砍柴工。高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是小编为大家整理的“空间角的计算学案练习题”，但愿对您的学习工作带来帮助。

§空间角的计算(一)
一、知识要点
1.用向量方法解决线线所成角；
2.用向量方法解决线面所成角。
二、典型例题
例1.如图，在正方体中，点分别在，上，且，，求与所成角的余弦值。

例2.在正方体中，是的中点，点在上，且，求直线与平面所成角余弦值的大小。

三、巩固练习
1.设分别是两条异面直线的方向向量，且，则异面直线与所成角大小为；
2.在正方体，与平面所成角的大小为，与平面所成角大小为，与平面所成角的大小为；
3.平面的一条斜线和它在平面内的射影得夹角45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影夹角为45°，则斜线与平面内这条直线所成角为；

四、小结

五、作业
1.平面的一条斜线和这个平面所成角的范围为，两条异面直线所成角的范围为；
2.已知为两条异面直线，，分别是它们的方向向量，则与所成角为；
3.已知向量是直线的方向向量是平面的法向量，则直线与平面所成角为；
4.正方体中，O为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为；
5.长方体中，，点是线段的中点，则与平面所成角为；
6.已知平面相交于，，则直线与平面所成角的余弦值为；
7.如图，内接于的直径，为的直径，且，为中点，求异面直线与所成角的余弦值。

8.如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为。
求与侧面所成角大小。