复数的向量表示。
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？以下是小编为大家收集的“复数的向量表示”但愿对您的学习工作带来帮助。
复数的向量表示教学目标(1)把握向量的有关概念:向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量;
(2)理解并把握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系;
(3)把握复数的模的定义及其几何意义;
(4)通过学习复数的向量表示,培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习,培养学生的观察能力、分析能力,帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法.
教学建议
一、知识结构
本节内容首先从物理中所碰到的一些矢量出发引出向量的概念,介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念,接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,指出了复数的模的定义及其计算公式.
二、重点、难点分析
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示,二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系,而不能说与复平面内的向量一一对应,对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中,从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点,首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质,其次要理解它的几何意义是表示向量的长度,也就是复平面上的点到原点的距离.
三、教学建议
1.在学习新课之前一定要复习旧知识,包括实数的绝对值及几何意义,复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等,非凡是对于基础较差的学生,这一环节不可忽视.
2.理解并把握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示,建立复平面以后,复数与复平面内的点形成—一对应关系,而点又与复平面的向量构成—一对应关系.因此,复数集与复平面的以为起点,以为终点的向量集形成—一对应关系.因此,我们常把复数说成点Z或说成向量.点、向量是复数的另外两种表示形式,它们都是复数的几何表示.
相等的向量对应的是同一个复数,复平面内与向量相等的向量有无穷多个,所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系.复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系.
2.
这种对应关系的建立,为我们用解析几何方法解决复数问题,或用复数方法解决几何问题创造了条件.
3.向量的模,又叫向量的绝对值,也就是其有向线段的长度.它的计算公式是,当实部为零时,根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致.这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地把握.
4.讲解教材第182页上例2的第(1)小题建议.在讲解教材第182页上例2的第(1)小题时.假如结合提问的图形,可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面(曲线所包围的平面部分).对于倒2的第(2)小题的图形,画图时周界(两个同心圆)都应画成虚线.
5.讲解复数的模.讲复数的模的定义和计算公式时,要注重与向量的有关知识联系,结合复数与复平面内以原点为起点,以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系,使学生在理解的基础上记忆。向量的模,又叫做向量的绝对值,也就是有向线段OZ的长度.它也叫做复数的模或绝对值.它的计算公式是.
教学设计示例
复数的向量表示
教学目的
1把握复数的向量表示,复数模的概念及求法,复数模的几何意义.
2通过数形结合研究复数.
3培养学生辩证唯物主义思想.
重点难点
复数向量的表示及复数模的概念.
教学学具
投影仪
教学过程
1复习提问:向量的概念;模;复平面.
2新课:
一、复数的向量表示:
在复平面内以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ,由点Z(a,b)唯一确定.
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系,而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应.
常把复数z=abi说成点Z(a,b)或说成向量OZ,并规定相等向量表示同一复数.
二、复数的模
向量OZ的模(即有向线段OZ的长度)叫做复数z=abi的模(或绝对值)记作|Z|或|abi|
|Z|=|abi|=ab
例1求复数z1=34i及z2=12i的模,并比较它们的大小.
解:∵|Z1|2=3242=25|Z2|2=(1)222=5
∴|Z1||Z2|
练习:1已知z1=13iz2=2iZ3=4Z4=12i
⑴在复平面内,描出表示这些向量的点,画出向量.
⑵计算它们的模.
三、复数模的几何意义
复数Z=abi,当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z(a,b)到原点的距离.
例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
⑴|Z|=4⑵2≤|Z|4
解:(略)
练习:⑴模等于4的虚数在复平面内的点集.
⑵比较复数z1=-512iz2=―6―6i的模的大小.
⑶已知:|Z|=|xyi|=1求表示复数xyi的点的轨迹.
教学后记:
板书设计:
一、复数的向量表示:三、复数模的几何意义
二、复数的模例2
例1
探究活动
已知要使,还要增加什么条件?
解:要使,即由此可知,点到两个定点和的距离之和为6,如把看成动点,则它的轨迹是椭圆.
因此,所要增加的条件是:点应满足条件.
说明此题是属于缺少条件的探索性问题,解决这类问题的一般做法是从结论出发,并采用逆推的方法得出终结的结论,便理所求的条件.
扩展阅读
向量的概念及其表示
2．1．向量
一、课题：向量
二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；
2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；
3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；
2．向量的几何表示。
四、教学过程：
（一）问题引入：
老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
（二）新课讲解：
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：
例1如图1，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量。
解：；；
．
例2如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
解：分别取，的中点分别记为，，
由梯形的中位线定理知：
∴∴．
例3在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
解：
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、作业：．
平行向量的坐标表示
平行向量的坐标表示
年级高一
学科数学
课题
平行向量的坐标表示
授课时间
撰写人
学习重点
向量平行的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
学习难点
向量平行的坐标表示及应用
学习目标
1.理解用坐标表示的两个向量共线条件；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学过程
一自主学习
复习：⑴若点、的坐标分别为，那么向量的坐标为.⑵若，则，假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线.
二师生互动
例1已知，，且，求
变式训练1：已知平面向量，，且，则等于
例2向量，，，当为何值时，三点共线.
变式：已知，，，求证:、、三点共线．
思考题：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
三巩固练习
1.已知向量，，则与的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2.已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（）A.B.C.D.3.点关于点对称点坐标为（）A.B.C.D.4.已知，，若与平行，则的值为.5.已知为边上的一点，且，则分所成的比为.6.已知=+5，=－2+8，=3（－），则（）A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线7.若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，则x为________.8．设，，，且，求角．
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知四点坐标分别为，，试证明：四边形是梯形.
2.已知点，点在直线上，且，求的坐标.
平面向量的坐标表示
总课题向量的坐标表示总课时第23课时
分课题平面向量的坐标运算分课时第2课时
教学目标掌握平面向量的坐标表示及坐标运算
重点难点掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解
引入新课
1、在直角坐标平面内一点是如何表示的？。
2、以原点为起点，为终点，能不能也用坐标来表示呢？例：
3、平面向量的坐标表示。
4、平面向量的坐标运算。
已知、、实数，那么
；；。
例题剖析
例1、如图，已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标。
例2、如图，已知，，，，求向量，，，的坐标。
例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力。
例4、已知，，是直线上一点，且，求点的坐标。
巩固练习
1、与向量平行的单位向量为（）
、、、或、
2、已知是坐标原点，点在第二象限，，，求向量的坐标。
3、已知四边形的顶点分别为，，，，求向量，的坐标，并证明四边形是平行四边形。
4、已知作用在原点的三个力，，，求它们的合力的坐标。
5、已知是坐标原点，，，且，求的坐标。
课堂小结
平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
课后训练
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题
1、若向量，，则，的坐标分别为（）
、，、，、，、，
2、已知，终点坐标是，则起点坐标是。
3、已知，，向量与相等.则。
4、已知点，，，则。
5、已知的终点在以，为端点的线段上，则的最大值和最小值分别等于。
6、已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。
7、已知向量，，点为坐标原点，若向量，，求向量的坐标。
8、已知点，及，，求点，和的坐标。
三、能力题
9、已知点，，，若点满足，
当为何值时：（1）点在直线上？（2）点在第四象限内？
《向量的概念及表示》教学实录
《向量的概念及表示》教学实录
1基本情况分析
1.1授课对象
学生来自四星级普通高中，学生基础相对较好，进入高中后，经过培养，课堂上初步具有思考、交流、探究的意识和能力．
1.2教材分析
所用教材为《普通高中课程标准实验教科书数学（必修4）》（苏教版）．本节内容为第２章第１节第１课时．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．
在教学中，我们通过位移、力等实例，了解向量的实际背景，通过物理中矢量和标量的区别，认识向量和数量的区别，理解平面向量的含义．向量是数形结合的载体，教科书一直坚持从形和数两个方面来建构和研究向量，且这种数形结合的方法一直贯穿本章的始终．
教学目标（１）了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示；（２）经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法；（３）通过本节的学习，让学生感受向量的概念、方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．
教学重点向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念．
教学难点向量的概念，对平行向量（也叫做共线向量）的理解．
2教学过程
2.1创设情境，引入概念
问题1由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.
在物理学中，我们用一条带箭头的线段表示位移．位移是矢量，矢量有什么特征？
设计意图通过物理课中学过的位移这一矢量，抽象形成数学中的向量概念，建立学习向量的认知基础．
2.2学生活动，理解概念
师：能否再举一些既有距离又有方向的量？
生：力，速度，加速度等．
设计意图通过实例使学生认识理解向量概念的实质，让学生大量举例，体验到数学中的向量源于现实．
2.3建构数学，完善概念
师：我们把既有大小又有方向的量称为向量．向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记为，向量也可用小写字母a，b，c来表示．
师:向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作．
师：既然向量只有大小和方向这两个要素，接下来我们就抓住这两要素来研究向量．如果从向量的大小角度来考虑，同学们觉得有哪些向量比较特殊?
生：我觉得有两类向量比较特殊，一类是模为１的向量，还有一类是模为０的向量．
师：在实数中我们有两个特殊的数：０和１．类似的，我们在向量中也有两类比较特殊的向量：模为１和０的向量．我们把１个单位长度的向量称为单位向量．单位向量的模为１，它的方向确定吗？
生：方向不能确定，是任意的．
师：单位向量有且只有一个吗？
生：不是．各个方向上都有单位向量．
师：在平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
生：它们终点的轨迹是以原点为圆心，１为半径的圆．
师：很好，这位同学观察地非常仔细！在PPT屏幕（图1）上我们可以看到任何一方向上都有单位向量，如果我们将这些向量的模不断缩小（动画演示），直至模为０时，得到一个新的向量，大家觉得这样的向量怎么命名比较合理？
生：零向量．
师：很好，我们把长度为０的向量称为零向量，记作０．
师：０与０有什么区别呢？
生：数０只有大小；而０是个向量，既有大小又有方向．
师：０的大小是０，而方向又如何呢？
生：它的方向是任意的．
师：很好！因为它的起点与终点重合，所以方向是任意的．
概念辨析：
辨析1：单位向量有且只有一个吗？
辨析2：零向量有且只有一个吗？
设计意图教师在课堂教学时应结合教学内容，让学生经历知识的发现过程，体验获得知识与能力的成功与喜悦．笔者从特殊实数０和１的研究类比到特殊向量（零向量、单位向量）的研究，抓住向量概念中的关键词“大小”，引出单位向量与零向量这两个特殊向量，利用单位向量变零向量的动画演示，使学生直观感受零向量的方向是任
意的，真正理解教材中零向量方向规定的合理性．通过概念辨析，进一步理解单位向量和零向量这两个概念．
师：刚刚我们是从向量的大小角度来考虑的，如果仅从向量的方向角度来研究，你觉得还有哪些特殊关系的向量呢？
生：方向相同或相反向量．比如图2中a与ｂ方向相反，a与ｃ方向相同．
师：我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量．
师：这里定义的平行向量全面吗？
生：还少了０．
师：很好！我们规定０与任意向量都平行．因此平行向量这个定义是分两类来说明的，今后我们谈到向量平行时同学们不能忘记零向量的情况．
概念辨析：
辨析3:由上述结论可知a0，b0，那么ab吗?
辨析4:若ab，bc，则ac，这个结论对吗?
辨析5:若a，b是不平行的两个向量，若存在一个c使得ac，bc，则c=．
设计意图：通过概念辨析，对“零向量与任一向量平行”这一规定有全面正确的理解．
教师接下来出示了一道练习题：如图3，a与ｂ是平行向量吗？
生：这两个向量的方向相反，所以它们是平行向量．
师：很好．在平行向量里如果再把大小考虑在内，大家觉得又会有什么更加特殊的平行向量呢？
生：模相等的平行向量．
师：我们把长度相等且方向相同的向量称为相等向量．同学们，你能构造一个图形其中有相等向量吗？
生：如图4，在平行四边形ABCD中,．
师：在此平行四边形ABCD中，可以看作是平移得到的．虽然这两个向量对应的有向线段的起点不同，一个是Ａ，另一个是Ｄ，但平移过程中它们的大小和方向都未改变，因此这两个向量相等．由此它能说明什么？
F
C
D
E
BA
A
图5
生：向量与表示它的有向线段的起点无关，只与向量的大小和方向有关．
师：不错．我们可以通过这个办法将向量随意平移，比如图5中我们可再将上述的平移，得到一个，．由此通过这个办法我们可得到一系列的相等向量．
师：在图4的平行四边形ABCD中，与是什么关系呢？
生：这两个向量长度相等方向相反．
师：很好．我们把与a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a．规定：－０＝０．
师：刚才提到向量与表示它的有向线段的起点是无关的，即它们是“自由”的．如果一直线与三个向量都平行（图6），那么我们可以将这三个向量都平移到直线上．因此，“平行向量”我们又可以称什么？
生：共线向量．
师：很好．“平行向量”与“共线向量”是同一个概念．
设计意图笔者抓住向量概念中的关键词“方向”，引出向量间的特殊关系：平行向量．抓住向量的“大小”和“方向”，引出了向量间的另两种特殊关系：相等向量与相反向量．通过学生举例找相等向量的过程，发现向量与表示它的有向线段的起点没有关系，进而引出共线向量的概念．
概念辨析：
辨析6:若向量，则直线ABCD对吗?
辨析7:若直线ABCD，则向量对吗?
设计意图针对平行向量与共线向量的理解不易到位，笔者创设了一串辨析题，让学生类比联想平面几何中的“平行”与“共线”，明确向量平行（共线）与直线平行（共线）的区别与联系，深化了学生对概念的理解．
2.4例题示范，运用概念
例1：已知为正六边形ABCDEF的中心，在图7所标出的向量中：（１）确定与相等的向量；（２）确定与相反的向量；（３）找出与共线的向量；（４）找出与长度相等且平行的向量．
B
图8
A
例2：在图8中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）
设计意图这一环节主要是让学生巩固所学的向量概念．
2.5回顾反思，总结提升
向量主要是从两个方面来刻画的:一个是大小，一个是方向．
设计意图通过小结，既让学生巩固本课重点、难点，又让学生进一步体会利用数学认识问题、解决问题的一般方法，培养其思维能力．
2.6课外作业，巩固概念
概念辨析
（1）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（2）若和都是单位向量，则；
（3）任一向量与它的相反向量都不相等；
（4）共线的向量，若起点不同，则终点也不同；
（5）若，则ABCD；
（6）若ABCD，则；
（7）与共线，与共线，则与也共线；
（8）向量与不共线，则与都不是零向量．
书本P59，感受理解3．
