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高中立体几何教案

发表时间:2020-11-19

高二数学向量加法运算及其几何意义1。

俗话说,磨刀不误砍柴工。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助授课经验少的教师教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢?小编为此仔细地整理了以下内容《高二数学向量加法运算及其几何意义1》,供您参考,希望能够帮助到大家。

2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点:理解向量加法的定义.
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:向量的定义以及有关概念
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和:
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和:
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,则两次的位移和:
(4)船速为,水速为,则两速度和:

二、探索研究:
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b,规定:a+0-=0+a
探究:(1)两向量的和与两个数的和有什么关系?两向量的和仍是一个向量;
(2)当向量与不共线时,|+|||+||;什么时候|+|=||+||,什么时候|+|=||-||,
当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|||+||;
当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,
当与反向时,若||||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;
若||||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||.
(3)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加
3.例一、已知向量、,求作向量+
作法:在平面内取一点,作,则.
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:上题中+的结果与+是否相同?验证结果相同
从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:+=+
5.你能证明:向量加法的结合律:(+)+=+(+)吗?
6.由以上证明你能得到什么结论?多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(P83—84)略
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小为,求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为,船的实际航行的速度的大小为,方向与水流间的夹角是,求和.
练习:P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、|+|≤||+||,当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业:《习案》作业十八。
六、备用习题思考:你能用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?

相关知识

向量的减法运算及其几何意义


向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
1.了解相反向量的概念;
2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点:减法运算时方向的确定.
学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律:
例:在四边形中,.
解:
二、提出课题:向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作a
(2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
(3)向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
3求作差向量:已知向量a、b,求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:在平面内取一点O,
作=a,=b
则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意:1表示ab.强调:差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.

2.探究:
1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是ba.

2)若a∥b,如何作出ab?
三、例题:
例一、(P97例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.
解:在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,
作,,则=ab,=cd

例二、平行四边形中,a,b,
用a、b表示向量、.
解:由平行四边形法则得:
=a+b,==ab
变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?(|a|=|b|)
变式二:当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?(a,b互相垂直)
变式三:a+b与ab可能是相当向量吗?(不可能,∵对角线方向不同)
练习:P98
四、小结:向量减法的定义、作图法|
五、作业:P103第4、5题
六、板书设计(略)
七、备用习题:
1.在△ABC中,=a,=b,则等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设=a,=b,=c,=d,则
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
3.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空:?
a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.?
4、如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a、b、c、d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.

高一数学向量的加法运算及其几何意义029


老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好了教案课件新的工作计划,新的工作才会如鱼得水!你们知道适合教案课件的范文有哪些呢?下面是小编帮大家编辑的《高一数学向量的加法运算及其几何意义029》,欢迎您参考,希望对您有所助益!

第2课时
§2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点:理解向量加法的定义.
学法:
数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:向量的定义以及有关概念
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和:
(4)船速为,水速为,则两速度和:
二、探索研究:
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b,规定:a+0-=0+a
探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;
(2)当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|||+||;
(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若||||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||.
(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加
3.例一、已知向量、,求作向量+
作法:在平面内取一点,作,则.
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:上题中+的结果与+是否相同?验证结果相同
从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:+=+
5.向量加法的结合律:(+)+=+(+)
证:如图:使,,
则(+)+=,+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(P94—95)略
练习:P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意:|+|≤||+||,当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业:
P103第2、3题
六、板书设计(略)
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为,求水流的速度.
2、一艘船距对岸,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为,船的实际航行的速度的大小为,方向与水流间的夹角是,求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是km/h,最小是km/h
5、已知两个力F1,F2的夹角是直角,且已知它们的合力F与F1的夹角是60,|F|=10N求F1和F2的大小.
6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第二章2.22.2.1向量加法运算及其几何意义讲义


一名优秀的教师就要对每一课堂负责,教师要准备好教案,这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,让教师能够快速的解决各种教学问题。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢?小编经过搜集和处理,为您提供第二章2.22.2.1向量加法运算及其几何意义讲义,供大家借鉴和使用,希望大家分享!

平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
预习课本P80~83,思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义?
(2)在求两向量和的运算时,通常使用哪两个法则?
(3)向量加法的运算律有哪两条?
(4)|a+b|,|a|+|b|,|a|-|b|三者之间的大小有何关系?

[新知初探]
1.向量加法的定义及运算法则
定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法
法则三角形法则前提已知非零向量a,b
作法在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量

结论向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=

图形

法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a,b
作法在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作?OACB
结论对角线就是a与b的和

图形

规定零向量与任一向量a的和都有a+0=0+a=a.

2.向量加法的运算律
运算律交换律a+b=b+a
结合律(a+b)+c=a+(b+c)
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量.()
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()
答案:(1)×(2)×(3)×
2.对任意四边形ABCD,下列式子中不等于的是()
A.+B.++
C.++D.++
答案:C
3.边长为1的正方形ABCD中,|+|=()
A.2B.2
C.1D.22
答案:B
4.+++=______.
答案:0

向量加法及其几何意义

[典例]如图1,图2,图3所示,求作向量和.
[解]如图中①,②所示,
首先作=a,然后作AB=b,则=a+b.
如图③所示,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=+=(a+b)+c,即=a+b+c.

应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单.

[活学活用]
如图,已知a,b,c,求作向量a+b+c.
解:作法:在平面内任取一点O,如图所示,作=a,=b,=c,则=a+b+c.

向量加法运算

[例2]化简或计算:
(1)++;
(2)++++.
[解](1)++=(+)+=+=.
(2)++++
=(+)+(+)+
=++=+=0.
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.

[活学活用]
如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.
则①+=________;
②++=________;
③++=________.
解析:①+=+=.
②++=+=+=.
③++=++=.
答案:①②③
层级一学业水平达标
1.下列等式错误的是()
A.a+0=0+a=aB.++=0
C.+=0D.+=++
解析:选B由向量加法可知++=+=2.
2.(+)+(+)+等于()
A.B.
C.D.
解析:选C原式=++++
=(+)+(++)
=+0=.
3.下列各式不一定成立的是()
A.a+b=b+aB.0+a=a
C.+=D.|a+b|=|a|+|b|
解析:选DA成立,为向量加法交换律;B成立,这是规定;C成立,即三角形法则;D不一定成立,只有a,b同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|.
4.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度等于()
A.25B.45
C.12D.6
解析:选B因为+=,所以++的长度为的模的2倍,故答案是45.
5.已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是()
A.①③B.②③
C.②④D.①②
解析:选A∵在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,∴a为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③正确,②④错误.
6.+++=________.
解析:原式=+++=++=.
答案:
7.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=c,=b,则|a+b+c|=________.
解析:|a+b+c|=|++|=|+|=2||=22.
答案:22
8.如图,在平行四边形ABCD中,
(1)+=________;
(2)++=________;
(3)++=________;
(4)++=________.
解析:(1)由平行四边形法则可知为.
(2)++=+=.
(3)++=+=.
(4)++=++=+=0.
答案:(1)(2)(3)(4)0
9.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
①++;
②+++.
解:①++=++=++=+=.
②+++=+++=++=+=0.
10.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
解:因为+=0,
所以a2+a5+b2+b5+b7
=++++
=(+)+(+)+
==b6.
层级二应试能力达标
1.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是()
A.+=
B.++=0
C.,+=
D.+=
解析:选D由向量加法的平行四边形法则可知,+=≠.
2.下列命题错误的是()
A.两个向量的和仍是一个向量
B.当向量a与向量b不共线时,a+b的方向与a,b都不同向,且|a+b|<|a|+|b|
C.当向量a与向量b同向时,a+b,a,b都同向,且|a+b|=|a|+|b|
D.如果向量a=b,那么a,b有相同的起点和终点
解析:选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确;D错误,如平行四边形ABCD中,有=,起点和终点都不相同.
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是()
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
解析:选D+=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外部.
4.下列命题正确的是()
A.如果非零向量a,b的方向相反或相同,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.若++=0,则A,B,C为三角形的三个顶点
C.设a≠0,若a∥(a+b),则a∥b
D.若|a|-|b|=|a+b|,则b=0
解析:选C当a+b=0时,A选项不正确;若++=0,则A,B,C三点共线或A,B,C为三角形的三个顶点,故B选项不正确;若a与b不共线,则a+b与a不共线,故C选项正确;若|a|-|b|=|a+b|,则b=0或b≠0(a与b反向共线,且|a|>|b|),故D选项不正确.
5.如果||=8,||=5,那么||的取值范围为________.
解析:根据公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接来计算.
答案:[3,13]
6.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走8km”,则|a+b|=________,a+b的方向是________.
解析:如图所示,设=a,=b,则=a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则||=82,∠BAC=45°.
答案:82km北偏东45°
7.如图所示,P,Q是三角形ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:+=+.
证明:=+,
=+,
∴+=+++.
∵与大小相等,方向相反,
∴+=0,
故+=++0=+AQ.
8.如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解:(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
所以||即|a+e|最大,最大值是3.

高中数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案


一名优秀的教师就要对每一课堂负责,作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,使教师有一个简单易懂的教学思路。那么,你知道教案要怎么写呢?下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案”,相信您能找到对自己有用的内容。

2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
【学习目标】
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法.
【新知自学】
知识回顾:
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么?

2.用有向线段表示向量,向量的大小和方向是如何反映的?什么叫零向量和单位向量?

新知梳理
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?

思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?

思考3:如图,某人从点A到点B,再从点B改变方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?

结论:1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2、三角形法则:
已知向量、.在平面内任取一点,作=,=,则向量叫做,记作.图示为:

注:(1)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加.即:
(2)对于零向量与任一向量,规定:
3、平行四边形法则:

图示为:

4、有关向量模的性质:
(1)当向量与不共线时,+、、的方向不同向,|+|||+||;
(2)当与同向时,则+、、同向,
|+|||+||,
(3)当与反向时,
若||||,则+的方向与相同,
且|+|||-||;
若||||,则+的方向与相同,
且|+b|||-||.
5、向量加法的交换律和结合律
(1)向量加法的交换律:
(2)向量加法的结合律:
对点练习:
1.如图,为正六边形的中心,

(1)=_______
(2)=_______
(3)=_______
2..平行四边形ABCD中,BC→+CD→+DA→=()
A.BD→B.AC→
C.AB→D.BA→

【合作探究】
典例精析:
例题1:已知向量、,求作向量+
法一:(三角形法则)

法一:(平行四边形法则)
变式练习:
(多边形法则)
(1)在正六边形ABCDEF中,________

(2)化简
_____
____________
=____________

例2.如图,一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为,求船实际航行的速度的大小与方向。

变式练习:某人在静水中游泳,速度为千米/小时,他在水流为4千米/小时的河中游泳,如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?

【课堂小结】

【当堂达标】
1、化简__________

2、已知正方形的边长为,
则_______

3、在平行四边形ABCD中,++等于

4、当________时,;
________时,平分之间的夹角。

5、在四边形中,若,则四边形一定是___.

6、向量满足,则的最大值和最小值分__________。

【课时作业】
1.向量AB→+MB→+BO→+BC→+OM→化简后等于()
A.BC→B.AB→
C.AC→D.AM→

2.设a→,b→,a→+b→均为非零向量,且a→+b→平分a→与b→的夹角,则()
A.a→=b→B.|a→|=|b→|
C.|a→|=2|b→|D.以上都不对

3.在矩形ABCD中,|AB→|=4,|BC→|=2,则向量AB→+AD→+AC→的长度等于()
A.25B.45
C.12D.6

4.若在ΔABC中,AB→=a→,BC→=b→,且|a→|=|b→|=1,|a→+b→|=2,则ΔABC的形状是()
A.正三角形B.锐角三角形
C.斜三角形D.等腰直角三角形

5.向量a→,b→皆为非零向量,下列说法不正确的是()
A.a→与b→反向,且|a→||b→|,则a→+b→与a→同向
B.a→与b→反向,且|a→||b→|,则a→+b→与b→同向
C.a→与b→同向,则a→+b→与a→同向
C.a→与b→同向,则a→+b→与b→同向

6.设a→,b→都是单位向量,则|a→+b→|的取值范围是.

7.在四边形ABCD中,AB→=DC→,AC⊥BD,|AC→|=6,|BD→|=8,求:
(1)|AB→|的值;
(2)四边形ABCD的面积

8*.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小为,求水流的速度.

9*.在长江南岸某渡口处,江水以的速度向东流,渡船的速度为。渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?

10*.如图所示,在平行四边形ABCD对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使得BE=DF,求证:四边形AECF是平行四边形。

【延伸探究】
在四川5.12大地震后,一架救援直升飞机从A地沿北偏东方向飞行了40km到B地,再由B地沿正北方向飞行40km到C地,求此时直升飞机与A地的相对位置。