空间向量的坐标运算。

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《空间向量的坐标运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算
高考要求
要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题
知识点归纳
1空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，，
．
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4模长公式：若，，
则，．
5．夹角公式：．
6．两点间的距离公式：若，，
则，
或
题型讲解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量
解：设面ABC的法向量，
则⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件
解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，
则=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴点P的坐标是（2，1，），
dAB==
（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，
则=
化简得4x+4y－6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件
点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，，），且|P1P2|=
例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值
解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求
点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形
例5如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点
（1）求的长；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M
（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）证明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了
②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点
例7如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a
建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角
分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之
解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，
于是M（0，），连结AM，MC1
则有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一个法向量
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：
=
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
例8棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求；3）求点A到EF的距离
分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解
解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，
y轴，z轴建立直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的数量cos==
A到EF的距离=
点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）证明：，
，
设平面AGC的法向量为，
设平面BGC的法向量为，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量为
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小为
求平面法向量的另一种方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
设平面AGC的方程为：
则
∴平面AGC的法向量为
设平面BGC的方程为：
则∴平面BGC的法向量为
点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；
②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0；
③平面法向量的两种求法的区别
小结：
1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论
2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等
学生练习
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果与为共线向量，则
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）与=（1，－2y，9）共线，故有==
∴x=，y=－应选C答案：C
2在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）故①②③错误答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋与2－互相垂直，则k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则||的值是__________
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
则||==答案：
8设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根据共面向量定理，设=x+y（x、y∈R），
则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
（1）确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）设BP=t，则CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等价于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）试求这个三角形的面积
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角
则S=||||
=||||=
在本题中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因为异面对角线OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以OA⊥BC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
12如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
则cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，
∴E（a，－，0），F（0，，a）
则||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
连结PB，则PB⊥BC，
∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1则∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小为45°
课前后备注

精选阅读

向量的坐标表示与坐标运算

课时7向量平行的坐标表示（2）
【学习目标】
巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
【知识扫描】
1．共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ.()
2．设=(x1,y1)=(x2,y2)其中,则∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）该条件不能写成∵x1,x2有可能为0
（2）向量共线的条件有两种形式：∥()
归纳:向量平行的坐标表示要注意正反两方面，
即若则
【例题选讲】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.

例2．已知点A（1，1），B（-1，5）及，，求点C、D、E的坐标，判断向量是否共线。
例3．已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求证：

例4．已知四点A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求实数x,使两向量，共线；（2）当向量，共线时，A、B、C、D四点是否在同一直线上？

例5．设向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),当k为何值时，A、B、C三点共线。

例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。

【课内练习】课本P75练习1-3
1．三点A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共线的条件为
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三点共线，则C点坐标是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，则x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),则x的值为
【课后作业】
1．以下各向量中，与向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．与=（15，8）平行的所有单位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，则tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，则锐角=
5．下列各组向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-与-k平行，求k的值。

7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），当向量∥时，求实数x,y应满足的关系式。

8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在实数x,使向量-2与2+平行？若存在，求出x;若不存在，说明理由。

9．已知三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列问题：
（1）求3+-2；（2）求满足=m+n的实数m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求实数k的值；
（4）设=（x,y）,满足且=1，求

10、已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求顶点D的坐标.

11、平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐标.

问题统计与分析

空间向量及其运算

空间向量及其运算

●考试目标主词填空
1.空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.
2.向量的直角坐标运算：
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
则a+b=.
a-b=.
ab=.
若a、b为两非零向量，则a⊥bab=0=0.
?
●题型示例点津归纳
【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【解前点津】要证OG⊥BC，只须证明即可.
而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.
【规范解答】连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.

【例2】在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【解前点津】利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【规范解答】因为,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，例2图
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．
【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
【例3】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
别是BB1、DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角；
(2)证明AE⊥平面A1D1F.
【解前点津】设已知正方体的棱长为1，且=e1，
=e2，=e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,
则：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，，0)，D1(0，0，1)，
所以=(0,1,),=(0,,-1).
所以=(0,1),(0,,-1)=0.
所以⊥，即AE与D1F所成的角为90°．
(2)又=(1,0,0)=，
且=(1,0,0)(0,1,)=0.
所以AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.
【例4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).
【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,
∴EG,同理HF，∴EGHF.
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.
只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点共线且O
为PQ的中点,事实上,,而O为GH的中点,例4图
∴CD,QHCD,
∴
∴==0.
∴=,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.
【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.

●对应训练分阶提升
一、基础夯实
1.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是()
A.B.
C.D.
2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是()
A.B.
C.D.
3.若向量｛a，b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是()?
A.aB.b?C.cD.2a?
4.a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是()?
A.(0，)B.［0，］?C.(0，π)?D.［0，π］?
5.若a与b是垂直的，则ab的值是()?
A.大于0B.等于零??C.小于0D.不能确定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b()
A.相交B.垂直?C.平行?D.以上都不对
7.A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是()?
?A.1?B.2?C.3?D.4
8.m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的值为()
?A.0?B.C.D.8
9.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为()?
?A.0?B.6?C.-6?D.±6
10.A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝，b＝，则a+b对应的点为()
?A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)?C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)
11.a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为()
?A.arccos?B.?C.D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则是a与b同向或反向的()
?A.充分不必要条件B.必要非充分条件?
?C.充要条件D.不充分不必要条件

二、思维激活
13.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4.则ab+bc+ca=.?
14.已知|a|＝2，|b|＝，ab＝-，则a、b所夹的角为.
15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为.
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.

三、能力提高
17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.

18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：
(1)的夹角的大小.
(2)直线A1E与FC所夹角的大小.

19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

20.如图所示,已知ABCD,O是平面AC外的一点,,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量及其运算习题解答

1.C由向量共线定义知.?
2.C设此向量为(x,y),∴，?∴
3.C
4.D根据两向量所成的角的定义知选D.
5.B当a⊥b时，ab=0(cos〈a,b〉=0)?
6.Ca=(1,2,-2)=-b∴a∥b.
7.C|AB|==3.?
8.C∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k=故a=,b=8,∴a+b=+8=
9.B∵a⊥b∴1m+52-2(m+2)=0.∴m=6.
10.B=(-1,0,-2),=(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.Ccos(ab)==-.
12.A?若，则a与b同向或反向，反之不成立.
13.-13∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.
14.?cos〈a,b〉=.∴a,b所夹的角为.
15.(-8,6,0)由向量的数量的积求得.
16.9S=|a||b|sin〈a,b〉求得.
17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，
〈〉＝１２０°，
∴|CD|2=
＝
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.
18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令的夹角为θ，?
则cosθ＝.
∴的夹角为π-arccos.
(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos
19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设＝i，＝j，＝k，
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，
则＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?
＝(-1，0，0)(0，，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又＝(0，1，)，＝(0，，-1)，
∴＝(0，1，)(0，，-1)＝-＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A，∴D1F⊥平面ADE.
点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.
20.证明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四点共面.

平面向量的坐标运算

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“平面向量的坐标运算”，相信能对大家有所帮助。

2.3.2平面向量的坐标运算

一、课题：2.3.2平面向量的坐标运算
二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；
2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。
四、教学过程：
（一）复习：
1．已知，，求，的坐标；
2．已知点，及，，，求点、、的
坐标。
归纳：（1）设点，，则；
（2），，则，
，；
3．向量与非零向量平行的充要条件是：.
（二）新课讲解：
1．向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）

例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．

例2已知，，，求证、、三点共线．
证明：，，
又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。
例3已知，，若与平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，则以，为基底，求.
解：令，则.
，∴，
∴，∴.

例5已知点，，，，向量与平行吗？直线平
行与直线吗？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴与不平行，
∴、、不共线，与不重合，
所以，直线与平行。

五、小结：1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
六、作业：
补充：1．已知，，，且，，求点，的坐标及向量的坐标；
2．已知，，，试用，表示；
3．设，

§3.1.2空间向量的数乘运算

§3.1.2空间向量的数乘运算
【学情分析】：
本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算
（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题
（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题
【教学重点】：
空间向量的数乘运算及运算律
【教学难点】：
用向量解决立几问题
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍
（1）当时，与同向
（2）当时，与反向
2、空间向量的数乘分配律和结合律
（1）分配律：
（2）结合律：
3、共线向量或平形向量
类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使
以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。
二．新课讲授1、方向向量
如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.
在上取，则上式可化为
证明：对于空间内任意一点O，三点共线
由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。
回顾平面向量的基本定理：
共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
由此可以得到空间向量共面的证明方法
2、空间平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。

方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。

推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是
证明：略本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。
三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，
求证：E，F，G，H四点共面
分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面来证明。
证明：因为，所以
，，，，由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此，
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面
进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG
四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。
（1）
（2）
（3）
巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）
（2）

2、课本P89练习2-3
3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH
五．小结1．空间向量的数乘运算
2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题
3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。
六．作业课本P97习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题
练习与测试：
（基础题）
1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等题）
2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．