平行向量的坐标表示。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“平行向量的坐标表示”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

平行向量的坐标表示

年级高一

学科数学

课题

平行向量的坐标表示

授课时间

撰写人

学习重点

向量平行的坐标表示及直线上点的坐标的求解．

学习难点

向量平行的坐标表示及应用

学习目标

1.理解用坐标表示的两个向量共线条件；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学过程

一自主学习

复习：⑴若点、的坐标分别为，那么向量的坐标为.⑵若，则，假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线.

二师生互动

例1已知，，且，求

变式训练1：已知平面向量，，且，则等于

例2向量，，，当为何值时，三点共线.

变式：已知，，，求证:、、三点共线．

思考题：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

三巩固练习

1.已知向量，，则与的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2.已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（）A.B.C.D.3.点关于点对称点坐标为（）A.B.C.D.4.已知，，若与平行，则的值为.5.已知为边上的一点，且，则分所成的比为.6.已知=+5，=－2+8，=3（－），则（）A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线7.若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，则x为________.8．设，，，且，求角．

四课后反思

五课后巩固练习

1.已知四点坐标分别为，，试证明：四边形是梯形.

2.已知点，点在直线上，且，求的坐标.WWW.JAB88.CoM

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平面向量坐标表示

平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算．

学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？

二师生互动
例1已知，，求和.

例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.

变式：若与的交点为，试求点的坐标.

练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷

三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A.B.
C.D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
A.B.
C.D.
3.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知点，及，，，求点、、的坐标。

四课后反思

五课后巩固练习
1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？

2.已知向量，，，试用来表示.

平面向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成∵x1，x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

平面向量的坐标表示

总课题向量的坐标表示总课时第23课时
分课题平面向量的坐标运算分课时第2课时
教学目标掌握平面向量的坐标表示及坐标运算
重点难点掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解
引入新课
1、在直角坐标平面内一点是如何表示的？。
2、以原点为起点，为终点，能不能也用坐标来表示呢？例：
3、平面向量的坐标表示。

4、平面向量的坐标运算。
已知、、实数，那么
；；。
例题剖析
例1、如图，已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标。

例2、如图，已知，，，，求向量，，，的坐标。

例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力。

例4、已知，，是直线上一点，且，求点的坐标。
巩固练习
1、与向量平行的单位向量为（）
、、、或、

2、已知是坐标原点，点在第二象限，，，求向量的坐标。

3、已知四边形的顶点分别为，，，，求向量，的坐标，并证明四边形是平行四边形。
4、已知作用在原点的三个力，，，求它们的合力的坐标。
5、已知是坐标原点，，，且，求的坐标。
课堂小结
平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
课后训练
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题
1、若向量，，则，的坐标分别为（）
、，、，、，、，
2、已知，终点坐标是，则起点坐标是。
3、已知，，向量与相等.则。
4、已知点，，，则。
5、已知的终点在以，为端点的线段上，则的最大值和最小值分别等于。
6、已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。

7、已知向量，，点为坐标原点，若向量，，求向量的坐标。

8、已知点，及，，求点，和的坐标。

三、能力题
9、已知点，，，若点满足，
当为何值时：（1）点在直线上？（2）点在第四象限内？

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“§3.1.5空间向量运算的坐标表示”，相信您能找到对自己有用的内容。

§3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：
空间向量的坐标运算
【教学难点】：
空间向量的坐标运算
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新平面向量的坐标运算
二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，则，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运
2．数量积：即=
3．夹角：．
4．模长公式：若，
则．
5．平行与垂直：
6．距离公式：若，，
则，
或．
算规律和结论的本质是一样的。
三．典例例1．如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成的角的余弦值。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
，，
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
讲练所以，
因此，与所成角的余弦值是
例2．如图，正方体中，，分别是，的中点，求证：
证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，所以，又，，所以，
所以，
因此，即

四．练习巩固课本P97练习1，2，3
五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。

学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问
2．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（）
A.B.C.2D.
题。
六．小结1．空间向量的直角坐标运算律
2．数量积与夹角
3．模长与距离
4．平行于垂直
七．作业课本P98习题3.1，A组第8、9、11题

练习与测试：
（基础题）
1．已知向量的夹角为（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2

（中等题）
3.已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
4,已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，则向量与的夹角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，则的取值范围是（）
A.B.C.D.