2012届高考数学备考复习平面向量教案。
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是由小编为大家整理的“2012届高考数学备考复习平面向量教案”，希望能为您提供更多的参考。
专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲平面向量
【最新考纲透析】
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：向量的有关概念及运算
考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010山东高考理科Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（）
A.若与共线，则⊙B.⊙⊙
C.对任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
要点考向2：与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。
2．该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。
3．多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。
考向链接：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题：，特别地。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.
【规范解答】选D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2.（2010广东高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)=30，则x=()
A．6B．5C．4D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】选.，所以
.即：，解得：，故选.
要点考向3：向量与三角函数的综合
考情聚集：1．向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。
2．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3．多以解答题的形式出现。
例3．在直角坐标系
（I）若；
（II）若向量共线，当
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
【高考真题探究】
1．（2010重庆高考理科Ｔ2）已知向量，满足，则（）
A．0B．C．4D．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B（方法一）
；（方法二）数形结合法：由条件知，以向量
，为邻边的平行四边形为矩形，又因为，所以，
则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式，
方法二：熟记向量及向量和的三角形法则
2．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，则=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD=CB:CA=1:2
这样可以用向量,表示。
【规范解答】选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量则的值是。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知，结合，解得，
所以2=，开方可知答案为.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若则=．
【解析】因为所以.
答案：
5．（2009广东高考）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，则，
∴.
6．（2009海南宁夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因为，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.若，且，则向量与的夹角为()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B为平面上四点，且，则（）
A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最小者为……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夹角为120°，且则等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中为常向量．若映射f满足f()f()＝对任意的，∈A恒成立，则的坐标可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7.已知e1、e2是两个不共线的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k=
8.已知向量，满足，，与的夹角为，则_________，若，则实数_________．
9.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中，则的最大值是．
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
11.设函数，其中向量，.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）设，
（1）求的单调增区间；
（2）函数经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8.3，3
9.2
三、解答题
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
则.
．
11.解：（I）
（II）由，
得
12.解：（I）若，则
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的单调增区间
(2)将函数的图像向上平移1个单位，再向左平移个单位，即得函数
的图像，而为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给分.)
【备课资源】
扩展阅读
2012届高考数学知识要点平面向量的数量积复习教案
平面向量的数量积
一．复习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．
二．主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
2．平面向量数量积的性质：、；
3．向量垂直的充要条件：．
三．课前练习：
1.下列命题中是正确的有
①设向量与不共线，若，则；②；
③，则；④若，则
2．已知为非零的平面向量.甲：（）
甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件
甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．已知向量，如果向量与垂直，则的值为（）
2
4．平面向量中，已知，且，则向量_________.
5．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为。
6．设向量满足，则。
7．已知向量的方向相同，且，则_______。
8．已知向量和的夹角是120°，且，，则=。
四．例题分析：
例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.
小结：
例2．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.
小结：
例3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
小结：
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。
小结：
五．课后作业：班级学号姓名
1．已知向量,向量则的最大值，最小值分（）
16，04，0
2．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足
，其中，且，则点的轨迹方程为：（）
3．已知向量，，那么的值是（）
1
4．在中，，的面积是，若，，则()
5．已知为原点，点的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为（）
6．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于（）
248
7.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（）
①；②
③不与垂直④
中，是真命题的有()
（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
8．设为平面上四个点，，，，且，=，则＝___________________。
9．若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，能说明，，“线性相关”的实数依次可以取；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
10．向量都是非零向量，且，求向量与的夹角.
11．已知向量，，
（1）当，求；
（2）若≥对一切实数都成立，求实数的取值范围。
12．设,,,，与轴正半轴的夹角为,与轴正半轴的夹角为，且,求．
2015届高考数学（文科）一轮总复习平面向量
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，有效的提高课堂的教学效率。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？小编经过搜集和处理，为您提供2015届高考数学（文科）一轮总复习平面向量，仅供参考，希望能为您提供参考！
第五篇平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则EF→可用OF→与OE→表示为________．
解析由图可知EF→＝OF→－OE→.
答案EF→＝OF→－OE→
2．(2014汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→等于________．
解析因为ABCDEF是正六边形，故BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→.
答案CF→
3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．
解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
答案充分不必要
4．(2013大连联考)已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则a、b、c、d四个向量满足的关系为________．
解析依题意得，AB→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有OA→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.
答案a－b＋c－d＝0
5．(2014宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为________．
解析设AB的中点为D，由5AM→＝AB→＋3AC→，得3AM→－3AC→＝2AD→－2AM→，即3CM→＝2MD→.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD→＝35CD→，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为35.
答案35
6．(2014湖州月考)给出下列命题：
①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
其中不正确命题的序号是________．
解析①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．
答案②④⑤
7．在ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)
解析由AN→＝3NC→，得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，AM→＝a＋12b，所以MN→＝AN→－AM→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.
答案－14a＋14b
8．(2014泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.即2＝2λ，p＝－λ，∴p＝－1.
答案－1
二、解答题
9．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
解设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，AB→＝OB→－OA→＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需AC→＝λAB→.
即－23a＋13b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.
又∵a与b为不共线的非零向量，
∴有－23＝－λ，13＝λtλ＝23，t＝12.
∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．
10．如图，在平行四边形OADB中，设OA→＝a，OB→＝b，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→.试用a，b表示OM→，ON→及MN→.
解由题意知，在平行四边形OADB中，BM→＝13BC→
＝16BA→＝16(OA→－OB→)＝16(a－b)＝16a－16b，
则OM→＝OB→＋BM→＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
ON→＝23OD→＝23(OA→＋OB→)＝23(a＋b)＝23a＋23b，
MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．如图所示，在△ABC中，已知点D在AB边上，且AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB，则λ＝________.
解析因为CD→＝CA→＋AD→
＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)
＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.
答案23
2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则实数x的取值范围是________．
解析设BO→＝λBC→(λ＞1)，则AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋λBC→＝(1－λ)AB→＋λAC→，又AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，所以xAB→＋(1－x)AC→＝(1－λ)AB→＋λAC→.所以λ＝1－x＞1，得x＜0.
答案(－∞，0)
3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．
解析OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，
OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案直角三角形
二、解答题
4．在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.
解AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋λBE→
＝AB→＋λ2(BA→＋BC→)
＝1－λ2AB→＋λ2(AC→－AB→)
＝(1－λ)AB→＋λ2AC→＝(1－λ)a＋λ2b.
又AG→＝AC→＋CG→＝AC→＋mCF→＝AC→＋m2(CA→＋CB→)
＝(1－m)AC→＋m2AB→＝m2a＋(1－m)b，
∴1－λ＝m2，1－m＝λ2，解得λ＝m＝23，∴AG→＝13a＋13b.
2012届高考数学备考复习教案
高考综合演练3
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合,则是()
(A)(B)
(C)(D)
2．在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（D）
3．已知数列(D)
A．28B．33C．D．
4．已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（B）
A．B．2
C．D．4
5．如图，若是长方体被平面EFCH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且EH//，则下列结论中不正确的是（）
A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形
C.是棱柱D.是棱台
6．二项式的展开式中所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有（）
A、4项B、5项C、6项D、7项
7．将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（）
A．25B．35C.60D．120
8．某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为70分，方差为102，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩和方差分别为（）
A．70，90B．70，114C．65，90D．65，114
9．曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
10．函数是（）
(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数
11．设，且=sinx+cosx，则（）
A．0≤x≤πB．―≤x≤
C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜
12．已知随机变量服从正态分布,若,则
(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记设为数列{}的最大项，则=．
14．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
15．
已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.
16．设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：，曲线C2参数方程为：(θ
为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）
17．若向量，在函数
的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为且当的最大值为1。
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的单调递增区间。
18．已知动圆过定点，且与直线相切。
(l)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
19．如图，直线与相交
于点P。直线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线于点Q1，过点
Q1作y轴的垂线交直线于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线于点Q2，…，
这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…。点Pn（n=1,2,…）的横
坐标构成数列。
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)比较与的大小。
20．如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
21．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
(1)求q的值；
(2)求随机变量的数学期望E;
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
22．(2010届广东高三二模)已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个
实根为,函数在区间上是单调的.
(1)求的值和的取值范围;
(2)若,证明:.
参考答案
一、选择题
1．
2．D
3．D
4．B
5．【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活，全面地考查了考生对知识的理解。
【思路点拨】利用线线平行线线平行线面平行线线平行可以判断A的正误，进而判断其他答案。
【规范解答】选D，若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台与这个图形。
【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的转化，他们之间的转化关系就是我们学习的六个判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化。
6．D
7．B
8．A
9．【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
10．【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。
【思路点拨】是奇函数C正确
【规范解答】选C因为，所以是最小正周期为π的奇函数
11．B
12．【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先由服从正态分布得出正态曲线关于直线对称,于是得到
与的关系，最后进行求解.
【规范解答】选C，因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.
二、填空题
13．【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值．
【规范解答】
∴
∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．
【答案】4.
14．
15．
16．【解析】将两曲线方程化为直角坐标坐标方程，得C1：，C2：.
因为两曲线有公共点，所以，即－1≤m≤3，故m∈[－1，3].
三、解答题
17．解析：（I）由题意得
∵对称中心到对称轴的最小距离为
的最小正周期为
………………6分
（II）………………10分
18．解析：(1)如图。设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，动点的轨迹方程为
（2）由题可设直线的方程为，
由得
或
设，则
因为以为直径的圆过原点，
则，即，于是
即，
，解得或（舍去）
又，直线存在，其方程为
19．解析：(Ⅰ)证明设点的坐标是由已知条件得
点的坐标分别是：
由在直线上，
得
所以
即
(Ⅱ)解由题设知又由（Ⅰ）知
所以数列是首项为x1—1,公比为的等比数列。
从而即，。
(Ⅲ)解由得点P的坐标为（1，1）。
所以
（当，即或时，
而此时0所以故
当0即时，
而此时所以故
20．解析：解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以∥且.又是中点，
所以∥且,
所以∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.
（Ⅲ）解:取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
.
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
.所以，所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面.
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为,,，，
所以，.
由得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．解析：（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.
根据分布列知:=0时=0.03,所以，q=0.8.
（2）当=2时,P1=
=0.75q()×2=1.5q()=0.24
当=3时,P2==0.01,
当=4时,P3==0.48,
当=5时,P4=
=0.24
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
22．解析：(1):∵,∴.
∵的一个极值点为,∴.
∴.∴,
当时,;当时,;当时,;
∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
∵方程的两个实根为,即的两根为,
∴.
∴,.
∵函数在区间上是单调的,
∴区间只能是区间,,之一的子区间.
由于,故.
若,则,与矛盾.
∴.
∴方程的两根都在区间上.
令,的对称轴为,
则解得.
∴实数的取值范围为.
说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵且函数在区间上是单调的,
∴.
由即解得.∴实数的取值范围为.
(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,
∴函数在区间上的最大值为,最小值为.
∵,
.
令,则,.
设,则.
∵,∴.∴.
∴函数在上单调递增
2012届高考数学空间向量与立体几何备考复习教案
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家精心整理的“2012届高考数学空间向量与立体几何备考复习教案”，希望对您的工作和生活有所帮助。
专题四：立体几何
第三讲空间向量与立体几何
【最新考纲透析】
1．空间向量及其运算
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2．空间向量的应用
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。
（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。
（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
【核心要点突破】
要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系
考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010安徽高考理科Ｔ18）如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；
2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；
3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。
4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。
要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角
考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。
2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。
考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
（1）异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量，则
（2）线面角
设是直线的方向向量，是平面的法向量，则
2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：
（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。
例2：（2010辽宁高考理科Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，
计算的数量积，写出答案；
求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。
【规范解答】
设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0)
（I）
【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。
（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。
要点考向3：利用空间向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。
2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。
考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，
例3：（2010天津高考理科Ｔ１9）
如图，在长方体中，、分别是棱,
上的点，,
求异面直线与所成角的余弦值；
证明平面
求二面角的正弦值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。
【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设,依题意得,,,
易得,，于是，
所以异面直线与所成角的余弦值为。
证明：已知,,
于是=0，=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：设平面的法向量，则,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。
于是，从而
所以二面角的正弦值为
要点考向4：利用空间向量解决探索性问题
考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。
例4：（2010福建高考理科Ｔ18）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。
（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；
（II）设AB＝AA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。
（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（）。当p取最大值时，求cos的值。
【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量，有，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。
【规范解答】（I）平面，平面，，又是的直径，，又，平面，而平面，所以平面平面；
（II）（i）设圆柱的底面半径为，则，故圆柱的体积为，设三棱柱ABC-A1B1C1,的体积为，所以，所以当取得最大值时取得最大值。又因为点在圆周上运动，所以当时，的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1,的体积最大，且其最大值为，故的最大值为；
（ii）由（i）知，取最大值时，，于是，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则平面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，由于，，
所以平面的一个法向量为，，。
【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II）（i）也可以采用向量法进行证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设圆柱的底面半径为，，则，故圆柱的体积为，设三棱柱ABC-A1B1C1,的体积为，所以，所以当取得最大值时取得最大值。，所以当时的的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1,的体积最大，且其最大值为，故的最大值为；
【高考真题探究】
1.（2010广东高考理科Ｔ１0）若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件=-2,则=.
【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】先算出、，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】，，由
得，即，解得
【答案】2
2.（2010浙江高考理科Ｔ20）如图，在矩形中，点分别在线段
上，.沿直线将翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。
【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz，则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量，所以。
取，则。
又平面的一个法向量，故。
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）设，则，，
因为翻折后，与重合，所以，，
故，，得，，
所以。
3.（2010陕西高考理科Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F分别是AD,PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。
【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.
【规范解答】解法一（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2，BC=，四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴=-2+4-2=0，=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为，
则
∴，∴平面BEF与平面BAP的夹角为
4.（2010重庆高考文科Ｔ20）如题图，四棱锥中，
底面为矩形，，，
点是棱的中点.
（I）证明：；
（II）若，求二面角的平面角的余弦值.
【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，
考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.
【规范解答】（I）以为坐标原点，
射线分别为轴、轴、轴的正半轴，
建立空间直角坐标系.如图所示.
设设，则，，，。于是，，，则，
所以，故.
（II）设平面BEC的法向量为，由（Ⅰ）知，，故可取.设平面DEC的法向量，则，，由，得D，G，
从而，，故，所以，，可取，则，从而.
【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.
5.（2010江西高考文科Ｔ２０）
如图，与都是边长为2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.
【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。
【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；
（2）对二面角的求法思路，一般是分三步①“作”，②“证”，③“求”.其中“作”是关键，“证”
是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.
因（0，，），平面
的法向量为.则有
，所以.
（2），.
设平面ACM的法向量为，由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量为，
则
设所求二面角为，则.
6.（2010四川高考理科Ｔ18）
已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，
点是对角线的中点.
（Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、
二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.
【思路点拨】方法一：几何法问题（Ⅰ），分别证明，即可.
问题（II）首先利用三垂线定理，作出二面角的平面角，然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.
问题（Ⅲ）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，和都在平面内，且，故，利用三棱锥的体积公式很快求出.
方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】(方法一)：（I）连结.取的中点，则为的中点，连结.
∵点是棱的中点，点是的中点，
由，得.
∵，∴.
∴.∴.
又∵与异面直线和都相交，
故为异面直线和的公垂线，
（II）取的中点，连结，则，
过点过点作于，连结，则由三垂线
定理得，.
∴为二面角的平面角.
.
在中.
故二面角的大小为.
（III）易知，,且和都在平面内，
点到平面的距离，
∴.
(方法二)：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
（I）∵点是棱的中点，点是的中点，
∴,，,,.
,,
∴,,
又∵与异面直线和都相交，
故为异面直线和的公垂线，
（II）设平面的一个法向量为，
，.
即
取，则..
取平面的一个法向量.
，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的大小为.
（III）易知，，设平面的一个法向量为，
,,
即
取，则，从而.
点到平面的距离.
.
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为()
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
3.设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（）
A．B．C．2D．3
4.在直角坐标系中，设，，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为（）
A．B．C．D．
5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
6.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．，，是空间交于同一点的互相垂直的三条直线，点到这三条直线的距离分别为,,，则,则__。
8．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1两两之间夹角均为600，则=
9．将正方形沿对角线折成直二面角后，有下列四个结论：
（1）；（2）是等边三角形；
（3）与平面成60°；（4）与所成的角为60°．
其中正确结论的序号为_________（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题（共46分）
10.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，,E、F分别是BC、AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11.某组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，如图所示，其中，．它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为+1，，+1．
（1）求直线与平面所成角的正弦；
（2）在线段上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
12.如图，三棱柱中，面，
,，，为的中点。
(I)求证：面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值
参考答案
1．【解析】选A.∵点A关于x轴对称点的规律是在x轴上的坐标不变，在y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，∴点A（-3，1，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.
2．【解析】选B.以A为坐标原点，AC、AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG
∵FG是△PAD的中卫县，∴FG，
在菱形ABCD中，ADBC，又E为BC的中点，
∴CEFG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG
又EF面PCD，CG面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为、、轴建立如
图所示的空间直角坐标系。
则0（0，0，0），A（0，，0），B（1，0，0）（0，0，）
=（1，，0）=（0，，）
设面ABP的发向量为，则
，即即
取
又，，
∴OA⊥面PBD，∴为面PBD的发向量，
∴=（0，，0）
.
所以所求二面角的余弦值为
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥OP，OPBD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，过O作ON⊥PB，连AN，PB⊥面AON，则AN⊥PB。
即∠ANO为所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
，
∴
∴cos∠。
所以所求二面角的余弦值为
11．【解析】
12．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，
∵D为AC中点∴OD∥B1A
又B1A平面BDC1，OD平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系则C1(0,0,3)B(0,2,0)D(1,0,0)C(0,0,0)
∴设平面的法向量为由得
，取，则
又平面BDC的法向量为
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
【备课资源】
1.已知两条异面直线a、b所成的角为40°，直线l与a、b所成的角都等于θ，则θ的取值范围是()
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】选A.
取空间任一点O，将直线a,b,l平移到过O点后分别为a′,b′,l′，则l′与a′,b′所成的角即为l与a,b所成的角.当l′与a′,b′共面时θ最小为20°.当l′与a′,b′确定的平面垂直时，θ最大为90°.故θ的取值范围为［20°,90°］.
3.如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=,点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(1)求证：AB∥平面DNC；
(2)当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？
