小学数学减法教案

高中数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案。

2.2.2向量减法运算及其几何意义
【学习目标】
1.了解相反向量的概念；
1.2.理解向量减法的几何意义，掌握向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.
【新知自学】
知识回顾：
1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律：新知梳理：
1、“相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作
2、规定：
（1）零向量的相反向量仍是零向量.
（2）()=.
（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量.
即+()=
(4)如果、互为相反向量，则=，=，+=
3、向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做，即：
=
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的几何意义是
4、若+x=，则x叫做与的差，记作
求作差向量：已知向量，，求作向量
作法：

思考感悟：
（1）向量的起点与向量的起点相同时，如果从向量的终点指向向量的终点作向量，那么所得向量是
（2）若∥，如何作出？

对点练习：
1.化简OP→-QP→+PS→+SP→的结果是()
A.QP→B.OQ→
C.SP→D.SQ→
2.下列四式中不能化简为AD→的是(）
A.AB→+CD→+BC→
B.AD→+MB→+BC→+CM→
C.OC→-OA→+CD→
D.MB→+AD→-BM→
3.如图四边形ABCD中，设，，，则（）
A．
B．
C．
D．
4.如图，D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，则（）
A．
B．
C．
D．

【合作探究】
典例精析：
例1、已知向量、、、，求作向量、.

变式练习：1课本练习1.

例2、平行四边形中，，，用、表示向量、.

变式练习：2已知，，且，则=
【课堂小结】
【当堂达标】
1、在△ABC中，=，=，则等于()?
A.+?B.-+(-)?
C.-?D.-?
2.可以写成：①；②；③；④,其中正确的是（）
A.①②B.②③
C.③④D.①④
3.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_______

4、化简
【课时作业】
1、在△ABC中，向量可表示为①②；③；④；中的是（）
A．①②③B．①③④
C．②③④D．①②④
2.在ABCD中，|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，则必有()
A.AD→=0→B.AB→=0→或AD→=0→
C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形

*3.设分别为的三边的中点，则()
A.B.
C.D.

4.若非零向量和互为相反向量，则错误的是（）
A、B、
C、D、

5.已知中，，，则下列等式成立的是______________。
（1）
（2）
（3）
（4）

6.若，下列结论正确的是______________________。
（1）
（2）
（3）
（4）

*7.中，是的中点，设，则
；.

*8.如图，已知OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→,OD→=d→,OE→=e→,OF→=f→,试用a→,b→,c→,d→,e→,f→表示下列向量.
(1)AD→-AB→;
(2)AB→+CF→;
(3)BF→-BD→.

9.如图，在ABCD中，设AB→=a→,AD→=b→,则
(1)当a→,b→满足什么条件时，a→+b→与a→-b→垂直？
(2)当a→,b→满足什么条件时，|a→+b→|=|a→-b→|？
(3)a→+b→与a→-b→可能是相等向量吗？
(4)当a→,b→满足什么条件时，a→+b→平分a→与b→所夹的角?

【延伸探究】
已知|AB→|=8,|AC→|=5,，则|BC→|的取值范围是.

延伸阅读

高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义
编审：周彦魏国庆
【学习目标】
1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；
2．理解两个向量共线的含义，并能证明简单的平行及共线问题；3.了解向量的线性运算性质及其几何意义；
【新知自学】
知识回顾：
已知非零向量，求作和．

新知梳理：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向；
当时，的方向与的方向；
当时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
对点练习
1、下面给出四个命题：
①对于实数和向量,,恒有
(—)=—；
②对于实数,和向量，恒有
(—)=m—n；
③若=(∈R),则有
=；
④若=(,∈R,≠0→),则有=.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2、将化简成最简形式为()
A.B.
C.D.
3．向量共线定理：
定理：如果有一个实数，使（），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
对点练习3、
与非零向量同向的单位向量是；
与非零向量反向的单位向量是；
与非零向量共线的单位向量是.
【合作探究】
典型精析
例1计算：（1）

变式练习：1
化简：

例2．已知向量和向量，求作向量和

例3．判断并证明：向量，是否共线？

变式练习：2

例4．已知两个非零向量和不共线，，，
.
求证：三点共线.

变式练习：3设两个非零向量与不共线，若，，
.求证：、、三点共线.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.若3—2(—)=0→，则=()
A.2a→B.-2a→
C.25a→D.-25a→

2.设,是两个不共线的向量，下列情况下，向量，共线的有（）
①，；
②，；
③，
④，
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①②③④
3.已知向量,,且AB→=+2,BC→=—5+6,CD→=7—2,则一定共线的三点是()
A.A、B、DB.A、B、C
C.B、C、DD.A、C、D

4.已知向量与反向，且，，，则的值等于().
A.B.C.D.

【课时作业】
1.设，下面叙述不正确的是（）
A.
B.
C.
D.与的方向相同（）
2.已知向量与不共线，且，则点三点共线应满足（）
A.
B.
C.
D.

*3.已知O是ΔABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→+OB→+OC→=0→，那么()
A.AO→=OD→B.AO→=2OD→
C.AO→=3OD→D.2AO→=OD→

4.在ΔABC中，,,,三边BC,CA,AB的中点依次是D,E,F，则AD→+BE→+CF→=.

5.若a→=m→+2n→,b→=3m→—4n→，且m→,n→共线，则a→与b→的关系是.

6.若,为平面上任意一点，则=(用OA→,OB→表示).

7.已知x，y是实数，向量,不共线，若，则____，_______.

*8.设,是两个不共线的向量，已知,,
.若三点A,B,D共线，求的值.

*9.在四边形ABCD中，，，，且，不共线，试判断四边形ABCD的形状.
【延伸探究】
在ΔABC中，D为BC的一个三等分点，求证:AD→=23AB→+13AC→

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，.
解：
二、提出课题：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法
（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a
（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0
（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab
3求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法：在平面内取一点O，
作=a，=b
则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

2．探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？
三、例题：
例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，
作，，则=ab，=cd

例二、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得：
=a+b，==ab
变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）
变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
练习：Ｐ98
四、小结：向量减法的定义、作图法|
五、作业：P103第4、５题
六、板书设计（略）
七、备用习题：
1.在△ABC中，=a，=b，则等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a，=b，=c，=d，则
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.

向量的加法运算及其几何意义

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向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作，则.

４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+)+=+(+)
证：如图：使，，
则(+)+=，+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

高二数学向量加法运算及其几何意义1

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助授课经验少的教师教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？小编为此仔细地整理了以下内容《高二数学向量加法运算及其几何意义1》，供您参考，希望能够帮助到大家。

2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：

二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+a
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，|+|||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，
当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|||+||；
当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
当与反向时，若||||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；
若||||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．你能证明：向量加法的结合律：(+)+=+(+)吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？