高中数学必修四2.2向量的线性运算小结导学案。
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家收集的“高中数学必修四2.2向量的线性运算小结导学案”欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
2.2向量的线性运算小结
【学习目标】
1．掌握向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则．
2．理解学会共线向量定理在平面几何图形中的应用．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法与减法
加法：
（1）定义：求两个向量和的运算
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
平行四边形法则
（3）运算律：交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法：
（1）定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
（3）运算律：a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
感悟：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
2.在△ABC中，若D为BC的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)．
3.向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．
对点练习：
1．若向量a与b不相等，则a与b一定()．
A．有不相等的模
B．不共线
C．不可能都是零向量
D．不可能都是单位向量
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()．
A．共线B．不共线
C．共线且同向D．不一定共线
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()．
A．EF→＝OF→＋OE→B．EF→＝OF→－OE→
C．EF→＝－OF→＋OE→D．EF→＝－OF→－OE→
4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()．
A．－BC→＋12BA→
B．－BC→－12BA→
C.BC→－12BA→
D.BC→＋12BA→
5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.
【合作探究】
典例精析：
专题一平面向量的有关概念
例1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
变式练习1：给出下列四个命题：
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
其中所有正确命题的序号是________．
专题二平面向量的线性运算
例2．如图，在梯形ABCD中，|AB→|＝2|DC→|，M，N分别是DC，AB的中点．若AB→＝e1，AD→＝e2，用e1，e2表示DC→，BC→，MN→.
变式练习2：
如图，在△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.
专题三共线向量定理的应用
例3．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式练习3：若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
JAb88.COm
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()．
A．AO→＝OD→B．AO→＝2OD→
C．AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝()．
A．12AB→＋12AD→
B．－12AB→－12AD→
C．－12AB→＋12AD→
D．12AB→－12AD→
3．已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．
A．a－b＋c－d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a＋b＋c＋d＝0
4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→＋2OC→＝3OB→，则|BC→||AB→|的值为()．
A．12B．13C．14D．16
5．设a，b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
6.如图，在矩形ABCD中，|AB→|＝1，|AD→|＝2，设AB→＝a，BC→＝b，BD→＝c，则|a＋b＋c|＝________.
【课时作业】
1．设a，b是两个非零向量．()．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
2．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→，则点P一定为三角形ABC的()．
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
3．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为()．
A．15B．25C．35D．45
4．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．
5．(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
【延伸探究】
6.在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，OD是AB边上的高，若AD→＝λAB→，则实数λ＝()．
A．aa－b|a－b|B．ab－a|a－b|
C．aa－b|a－b|2D．ab－a|a－b|2
7*．如图，在平行四边形OADB中，设OA→＝a，OB→＝b，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→.试用a，b表示OM→，ON→及MN→.
精选阅读
高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案
2.4平面向量的数量积小结
【学习目标】
1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①ab＝__________(交换律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质几何表示坐标表示
定义ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝
a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夹角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22
|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22
对点练习：
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正确的有()．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()．
A．|a|＝|b|B．ab＝22
C．a∥bD．a－b与b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.
5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．
【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.
变式练习：
如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→AB→＝________.
规律总结：
向量数量积的运算与实数运算不同：
(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但ab＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|ab|＝|a||b|，但对于向量a，b，却有|ab|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
二、两平面向量的夹角与垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．
规律总结：
1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系．
变式练习：
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．
三、求平面向量的模
例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
规律总结：
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
变式练习：
已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
四、平面向量的应用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面积S.
变式练习：
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，则λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C共线λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是__________．
【课时作业】
1.已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
5.已知向量a，b满足|2a＋b|＝7，且a⊥b，则|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，则边c的长为________．
7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量
8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三点A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．
高中数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案
2.2.2向量减法运算及其几何意义
【学习目标】
1.了解相反向量的概念；
1.2.理解向量减法的几何意义，掌握向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.
【新知自学】
知识回顾：
1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律：新知梳理：
1、“相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作
2、规定：
（1）零向量的相反向量仍是零向量.
（2）()=.
（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量.
即+()=
(4)如果、互为相反向量，则=，=，+=
3、向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做，即：
=
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的几何意义是
4、若+x=，则x叫做与的差，记作
求作差向量：已知向量，，求作向量
作法：
思考感悟：
（1）向量的起点与向量的起点相同时，如果从向量的终点指向向量的终点作向量，那么所得向量是
（2）若∥，如何作出？
对点练习：
1.化简OP→-QP→+PS→+SP→的结果是()
A.QP→B.OQ→
C.SP→D.SQ→
2.下列四式中不能化简为AD→的是(）
A.AB→+CD→+BC→
B.AD→+MB→+BC→+CM→
C.OC→-OA→+CD→
D.MB→+AD→-BM→
3.如图四边形ABCD中，设，，，则（）
A．
B．
C．
D．
4.如图，D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，则（）
A．
B．
C．
D．
【合作探究】
典例精析：
例1、已知向量、、、，求作向量、.
变式练习：1课本练习1.
例2、平行四边形中，，，用、表示向量、.
变式练习：2已知，，且，则=
【课堂小结】
【当堂达标】
1、在△ABC中，=，=，则等于()?
A.+?B.-+(-)?
C.-?D.-?
2.可以写成：①；②；③；④,其中正确的是（）
A.①②B.②③
C.③④D.①④
3.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_______
4、化简
【课时作业】
1、在△ABC中，向量可表示为①②；③；④；中的是（）
A．①②③B．①③④
C．②③④D．①②④
2.在ABCD中，|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，则必有()
A.AD→=0→B.AB→=0→或AD→=0→
C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形
*3.设分别为的三边的中点，则()
A.B.
C.D.
4.若非零向量和互为相反向量，则错误的是（）
A、B、
C、D、
5.已知中，，，则下列等式成立的是______________。
（1）
（2）
（3）
（4）
6.若，下列结论正确的是______________________。
（1）
（2）
（3）
（4）
*7.中，是的中点，设，则
；.
*8.如图，已知OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→,OD→=d→,OE→=e→,OF→=f→,试用a→,b→,c→,d→,e→,f→表示下列向量.
(1)AD→-AB→;
(2)AB→+CF→;
(3)BF→-BD→.
9.如图，在ABCD中，设AB→=a→,AD→=b→,则
(1)当a→,b→满足什么条件时，a→+b→与a→-b→垂直？
(2)当a→,b→满足什么条件时，|a→+b→|=|a→-b→|？
(3)a→+b→与a→-b→可能是相等向量吗？
(4)当a→,b→满足什么条件时，a→+b→平分a→与b→所夹的角?
【延伸探究】
已知|AB→|=8,|AC→|=5,，则|BC→|的取值范围是.
高中数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案
一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案”，相信您能找到对自己有用的内容。
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
【学习目标】
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.
【新知自学】
知识回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
新知梳理
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
结论：1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2、三角形法则：
已知向量、.在平面内任取一点，作＝，＝，则向量叫做，记作.图示为：
注：(1)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加.即：
（2）对于零向量与任一向量，规定：
3、平行四边形法则：
图示为:
4、有关向量模的性质：
(1)当向量与不共线时，+、、的方向不同向，|+|||+||；
(2)当与同向时，则+、、同向，
|+|||+||，
(3)当与反向时，
若||||，则+的方向与相同，
且|+|||-||；
若||||，则+的方向与相同，
且|+b|||-||.
5、向量加法的交换律和结合律
（1）向量加法的交换律：
（2）向量加法的结合律：
对点练习：
1.如图，为正六边形的中心，
（1）=_______
（2）=_______
（3）=_______
2..平行四边形ABCD中，BC→+CD→+DA→=()
A.BD→B.AC→
C.AB→D.BA→
【合作探究】
典例精析：
例题1：已知向量、，求作向量+
法一：（三角形法则）
法一：（平行四边形法则）
变式练习:
（多边形法则）
（1）在正六边形ABCDEF中，________
（2）化简
_____
____________
=____________
例2.如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
变式练习:某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流为4千米/小时的河中游泳，如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
【课堂小结】
【当堂达标】
1、化简__________
2、已知正方形的边长为，
则_______
3、在平行四边形ABCD中，++等于
4、当________时，；
________时，平分之间的夹角。
5、在四边形中，若，则四边形一定是___.
6、向量满足，则的最大值和最小值分__________。
【课时作业】
1.向量AB→+MB→+BO→+BC→+OM→化简后等于()
A.BC→B.AB→
C.AC→D.AM→
2.设a→,b→,a→+b→均为非零向量，且a→+b→平分a→与b→的夹角，则()
A.a→=b→B.|a→|=|b→|
C.|a→|=2|b→|D.以上都不对
3.在矩形ABCD中，|AB→|=4,|BC→|=2,则向量AB→+AD→+AC→的长度等于()
A.25B.45
C.12D.6
4.若在ΔABC中,AB→=a→,BC→=b→,且|a→|=|b→|=1,|a→+b→|=2,则ΔABC的形状是()
A.正三角形B.锐角三角形
C.斜三角形D.等腰直角三角形
5.向量a→,b→皆为非零向量，下列说法不正确的是()
A.a→与b→反向，且|a→||b→|,则a→+b→与a→同向
B.a→与b→反向，且|a→||b→|,则a→+b→与b→同向
C.a→与b→同向，则a→+b→与a→同向
C.a→与b→同向，则a→+b→与b→同向
6.设a→,b→都是单位向量，则|a→+b→|的取值范围是.
7.在四边形ABCD中，AB→=DC→,AC⊥BD,|AC→|=6,|BD→|=8,求：
(1)|AB→|的值；
(2)四边形ABCD的面积
8*.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
9*.在长江南岸某渡口处，江水以的速度向东流，渡船的速度为。渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
10*.如图所示，在平行四边形ABCD对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使得BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。
【延伸探究】
在四川5.12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到C地，求此时直升飞机与A地的相对位置。
高中数学必修四2.3平面向量基本定理及坐标表示小结导学案
2.3平面向量基本定理及坐标表示小结
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.
【知识重温】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝__________.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得＝__________，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，＝(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__________________，
2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，则
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.
(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.
思考感悟
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
对点练习：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，则12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)
2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋与4－2平行，则实数x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2
3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝()
A.14B.12
C．1D．2
4．下列各组向量中，能作为基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④
【自学探究】
考点一平面向量基本定理
例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝，＝，试用，表示，.
规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
变式1：如图，在△ABC中，＝13，P是BN上的一点，若＝m＋211，则实数m的值为__________．
考点二平面向量的坐标运算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求满足＝m＋n的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
变式2在ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)
考点三平面向量共线的坐标表示
例3、平面内给定三个向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(＋k)∥(2－)，求实数k；
(2)设＝(x，y)满足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．
变式3、
(1)(2013陕西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，则实数m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__________．
【课堂小结】
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
4．要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
【当堂达标】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，则2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)
2．(2014揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，则点B的坐标为()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)
3．(2015许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)
4.已知两点在直线AB上，求一点P是。
【课时作业】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4
2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）
3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)
4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0
5、已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为_____________
6、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_______________
7、已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标。
8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。
【延伸探究】
如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。
