九年级数学动态几何。

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中考数学重难点专题讲座

第三讲动态几何问题

【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分真题精讲

【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．

∵，．∴．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）∴．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）∴．解得．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】

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九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案

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【例题求解】
【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是．
(黄冈市中考题)
思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．
【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置()
A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动
C．在AmB上移动D．保持固定不移动
(荆州市中考题)
思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：
(1)当=3时，的值是多少?
(2)就下列各种情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式．
(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．
(吉林省中考题)
思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．

注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．
【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒)．
(1)当为何值时，线段EF与BC平行?
(2)设12，当为何值时，EF与半圆相切?
(3)当1≤2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．
(江西省中考题)
思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值．

注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．

【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=．
(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；
(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；
(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于?C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由．
(济南市中考题)
思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OOl上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．
学力训练
1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm(π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．(济南市中考题)
2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔABC的位置，且使A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是cm．
(黄冈市中考题)
3．一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过的路径长度为()
A．B．C．4D．
(烟台市中考题)
4．把ΔABC沿AB边平移到ΔABC的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()
A．B．C．1D．
(荆门市中考题)
5．如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．
(1)若r=厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；
(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；
(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．
(江西省中考题)

6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为，CD的长为．
(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；
(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；
(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．
(太原市中考题)
7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=(为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=，ON=(≥0)，ΔAOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根．
(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；
(2)求证：AN2=ONMN；
(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(4)试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
(河北省中考题)
8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
(1)求BC、AD的长度；
(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(青岛市中考)

9．已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动．
设AE=，四边形EFGH的面积为S．
(1)当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?
(2)当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；
(3)当n=k(k≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．
(福建省三明市中考题)
10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．
(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?
(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PAFA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
(武汉市中考题)

参考答案

中考数学专题：动态几何问题

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中考数学专题3动态几何问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；

（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】

解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．

∵，．

∴．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）

∴．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

∴．解得．

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

∵，

②当时，如图③，过作于H．

则，

③当时，

则．

．

综上所述，当、或时，为等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：AB=AC，∠ACB=45，∴∠ABC=45．

由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，

易证△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．

过A作交CB延长线于点G，则．CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴，∴，

【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．

（1）求证：梯形是等腰梯形；

（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；

（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

（1）证明：∵是等边三角形

∴

∵是中点

∴

（2）解：在等边中，

∴(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

∵∴

∴∴(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。

（3）解：为直角三角形

∵

∴当取最小值时，

∴是的中点，而

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．

（1）直接写出线段与的数量关系；

（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

（1）

（2）（1）中结论没有发生变化，即．

证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．

在与中，

∵，

∴．

∴．

在与中，

∵，

∴．

∴

在矩形中，

在与中，

∵，

∴．

∴．

∴

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。

（3）（1）中的结论仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．

（1）当=1时，CF=______cm，

（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；

（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）

（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．

∵=2，∴CF=3．

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．

设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62，解得k=MA=．∴DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）

∴sin∠DAB′=；

②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，

同①可得NA=NE．

设NA=NE=m，则B′N=12-m．

在Rt△AB′N中，由勾股定理，得

m2=(12-m)2+62，解得m=AN=．∴B′N=．

∴sin∠DAB′=．

（3）①当点E在BC上时，y=；

（所求△AB′E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）

②当点E在BC延长线上时，y=．

【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．

（1）求证：∽；

（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；

（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，

且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=°；

（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~

【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．

点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．

（1）当BO=AD时，求BP的长；

（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

（1）证明：∵，∴．∴．

又∵，∴．

∴．∴∽．

（2）证明：如图，过点作，交于点，

∵是的中点，容易证明．

在中，∵，∴．

∴．

∴．

（3）解：的周长，．

设，则．

∵，∴．即．

∴．

由（1）知∽，

∴．

∴的周长的周长．

∴的周长与值无关．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD=30°；

（2）如图8，连结CD．

解一：∵点D在∠PBC的平分线上，

∴∠1=∠2．

∵△ABC是等边三角形，

∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵BD=BD，

∴△PBD≌△CBD．

∴∠BPD=∠3．-----------------3分

∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，

∴△BCD≌△ACD．

∴．

∴∠BPD=30°．

解二：∵△ABC是等边三角形，

∴BA=BC=AC．

∵DB=DA，

∴CD垂直平分AB．

∴．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵点D在∠PBC的平分线上，

∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称．

∴∠BPD=∠3．

∴∠BPD=30°．

（3）∠BPD=30°或150°．

图形见图9、图10．

【思考3解析】

解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．

∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP

∵,∴BH=．

∴BP=．

（2）不存在BP=MN的情况-

假设BP=MN成立，

∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.

过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-

设BO=x，则PO=x,由，得BH=,

∴BP=2BH=.

∴BQ=BP×cosB=，PQ=．

∴OQ=．

∵△PQO∽△DOC，∴即，得．

当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，

∴不存在BP=MN的情况.

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分

情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分

【思考4解析】

解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．

证明：如图1，设直线与直线的交点为．

∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，

②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．

（2）∵四边形是平行四边形，

∴．

∴．

可得．

由（1）可得四边形为正方形．

∴．

①如图2，当点在线段的延长线上时，

∵，

∴．

∴．

②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，

∵，

∴．

③当点与点重合时，即时，不存在．

综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．

中考数学专题：动态几何与函数问题

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写多少教案课件范文呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《中考数学专题：动态几何与函数问题》，希望对您的工作和生活有所帮助。

中考数学专题8动态几何与函数问题

【前言】

在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】

如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E.

（1）将直线向右平移，设平移距离CD为（t≥0），直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.

（2）当时，求S关于的函数解析式.

【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。

【解】

（1）由图（2）知，点的坐标是（2，8）

∴由此判断：；

∵点的横坐标是4，是平行于轴的射线，

∴

∴直角梯形的面积为：.....(3分)

（2）当时，

阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积(基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)

∴

∵

∴.

∴

.

【例2】

已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

（1）求证：与的面积相等；

（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.

【解析】

（1）证明：设，，与的面积分别为，，

由题意得，．

，．

，即与的面积相等．

（2）由题意知：两点坐标分别为，，(想不到这样设点也可以直接用X去代入,麻烦一点而已)

，

．

当时，有最大值．

．

（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．

由题意得：，，，

，．

又，

．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)

，，

．

，，解得．

．

存在符合条件的点，它的坐标为．

【例3】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【思路分析】本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，△BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。

【解析】

解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。

∴PM＝DC＝12

∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点

为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2

得，解得t＝；

②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：

即。

由于Δ＝－704＜0

∴无解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得

整理，得。解得（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？）

综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，

得，即。解得t＝9

所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。

【例4】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解.

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ∽△ABC，得，

即．解得．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ=90°．

由△AQP∽△ABC，得，

即．解得．

（4）或．

【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

，．

由，得，解得．

方法二、由，得，进而可得

，得，∴．∴．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

，

【例5】

如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于

，当点与点重合时，点停止运动．设，．

（1）求点到的距离的长；

（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.

解：（1），，，．

点为中点，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

（3）存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，

于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。

第二部分发散思考

【思考1】

如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：

（1）点、从出发到相遇所用时间是秒；

（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是秒；

（3）求与之间的函数关系式．

【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.

【思考2】

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是；

(2)探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.

【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。

【思考3】

已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．

（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【思路分析】第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。

这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

解：（1）6．

（2）8．

（3）①当0时，

．

②当3时，

=

③当时，设与交于点．

(解法一)

过作则为等边三角形．

．

（解法二）

如右图，过点作于点，，于点

过点作交延长线于点．

【思考2解析】

解：（1）5,24,

（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.

如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=,…………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).（这个自变量的范围很重要）

∴当t=时，S最大值为6.

②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组

成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.

当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=.

以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q在CB上时,∵PQ≥BEPA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.

如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点

F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得

,∴,

∴.

∴CQ1==.则,∴.

第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,

分别使AP=AQ2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.

则,∴.

②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE=,∴AN＝.

∴AQ3=2AN=,∴BC+BQ3=10-

则.∴.

综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.

【思考3解析】

过点作垂足为点，

在中，

若不小于，

则

即

踏板离地面的高度至少等于3.5cm．

26．（10分）

（1）过点作，垂足为．

则，

当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，

即时，四边形是矩形，

秒时，四边形是矩形．

，

（2）当时，