中考数学二轮专题复习：图形折叠型题。
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中考数学专题复习之九：图形折叠型题
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。下面我们一起来探究这种题型的解法。
折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理。
【范例讲析】：
例1：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，
求EC的长。
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例2：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD=8，AB=4，求△BDE的面积。
【闯关夺冠】
1：如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，求重叠部分△AEF的面积。
2、如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为(0，3)，∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在点D处，求D点坐标。
延伸阅读
中考数学二轮专题复习：方案决策型题
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中考数学专题复习之七：方案决策型题
方案决策型题的特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点。
【范例讲析】：
例1：现由甲、乙两个氮肥厂向A、B两地运化肥。已知甲厂可调出50吨化肥，乙厂可调出40吨化肥，A地需30吨化肥，B地需60吨化肥，两厂到A、B两地路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨千米”表示每吨化肥运送1千米所需人民币）：
（1）设甲厂运往A地化肥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系；
路程运费（元/吨千米）
甲厂乙厂甲厂乙厂
A地10866
B地121054
（2）当甲、乙两厂各运往A、B两地多少化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少？
【闯关夺冠】
1.（福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)
甲乙
进价(元/件)1535
售价(元/件)2045
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案.
2.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
中考数学二轮复习：折叠问题
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十．折叠问题
首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。
那么，什么是折叠问题呢？
这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论
一.折叠的意义
1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB在折叠前的位置；
图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；
(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形
如图如图（1）中OBˊ=OB；
如图（2），△ABˊC≌△ABC；
(3)图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称
如图（1）OBˊ和OB关于直线l成轴对称；
如图（2）△ABˊC和△ABC关于直线AC成轴对称。
二．和折叠有关的问题
图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。
问题1:
将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△AˊEF.
（a）△AˊEF是什么三角形？
结论：三角形AEF是等腰三角形
证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的,
∴∠1=∠2,
又∵矩形的对边是平行的∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
∴AE=AF
三角形AEF是等腰三角形
方法二：
∵图形在折叠前和折叠
后的形状、大小不变，
只是位置不同
∴表示矩形宽度的线段EP和
FQ相等，即AˊEF的边AˊE和AˊF上的高相等，
∴AˊE=AˊF
三角形AEF是等腰三角形
(b)改变折叠的角度α的大小，
三角形AˊEF的面积是否会改变？
为什么?
答：不会改变。
分析：
α的改变影响了AˊE的长度，但却不
能改变边AˊE上的高，三角形AˊEF的
面积会随着α的确定而确定.
例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四边形AˊEAF是什么四边形？
分析：
（1）由前面的分析可知
Aˊ与Aˊ在折叠前
的位置A关于折痕EF
成轴对称,所以作Aˊ关
于EF的对称点即
可找到点A（过点Aˊ作AˊA⊥EF交矩形的边于点A）。
同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。
（2）四边形AEAˊF是菱形
证法一：∵A是Aˊ在折叠前对应的位置,
∴A和Aˊ关于直线EF轴对称,
∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,
又∵AE∥AˊF,∴EO∶OF=AO∶OAˊ,
∴EO=OF∴四边形AEAˊF是菱形
证法二：
A是Aˊ在折叠前对应的位置,
∴AEF≌AˊEF,
AˊE=AˊE,AF=AF，
又∵AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF,
∴AE=AF=AˊE=AˊF,
∴四边形AEAˊF是菱形.
例2.在上题的图中,若翻折的角度α=30,a=2,求图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积.。
分析：
图中被覆盖的部分△AˊEF
是等腰三角形，其腰上的高就是原
矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF或AˊE的长。
答：S四边形AEAˊF＝2S△AˊEF=
（解答过程略）
练一练：当α的大小分别45、60时，图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积是多少？
例题3.如图：将矩形ABCD对折，
折痕为MN，再沿AE折叠，把B
点叠在MN上，（如图中1的点P）,
若AB=√3,则折痕AE的长为多少？
分析：
折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE)的长。
解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,
延长EP交AD于F,则FE=FA(在问题一中已证)∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC
且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,
又∠APE=∠D=90°,∴AE=AF∴AE=AF=EF,
∴∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。
∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF
又FE=FA(问题1的结论)
∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°
∴AE=2。
由BC//MN//DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AO
∴PO=AF，
又PO=AE，
∴AE=AF
∴AE=AF=EF，∠EAF=60°
（其余同上）
例题4.在例3中，若M、N分别为
CD、AB的三等分点（如图），
AB=√5,其他条件不变，折痕
AE的长为多少？
分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长
解：延长EP交AD于F,则FE=FA(已证)
∵M、N分别是矩形的边AB和CD的三等分点∴MN∥AD∥BC
且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,
设EP=x,则PF=2x,AF=EF=3x,
在直角三角形APF中有
AP+PF=AF
∴5+(2x)=(3x),
∴x=1,∴AE=1+5=6,
∴AE=
例4如图3,有一张边长为3的正方形纸
片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B
折至折痕MN上,落在P点的位置,折痕为
AE.(1)求MP的长;(2)求以PE为边长的正方
形的面积.
分析：
将本题与例题2比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE和PN的长
解法一：
延长EP交AD的延长线于F,则FE=FA(已证)
M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°
∴PN=，
(1)∴MP=1-PN=3-,
又AP=3,∴EP=，
(2)∴以EP为边长的正方形的面积为3。
其他解法请同学们思考。
例5.如图，将矩形ABCD折叠，
使C点落在边AB上，（如图中的
M点），若AB=10,BC=6,求四边形
CNMD的面积
分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上，由折叠的意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四边形CNMD的面积的关键就是求ΔDCN或ΔDMN的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长.
解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.
设NC=x,则MN=x,BN=6-x,
在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2
∴x2=（6-x）2+4
∴x=
S四边形CNMD=2S△DCN==
例6.将长为8，宽为6的矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF的长。（2）求三角形DEF的面积
分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分BD（O为BD的中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1∴O为EF的中点，所以
可设法先求出EO的长，或直接求EF的长,进而求三角形DEF面积。
解（法一）：
∵D、B关于EF成轴对称
∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,
∴△DOE∽△DCB
在Rt△DCB中，由勾股定理可得
BD=10
又AB//DC
∴EO:OF=DO:OB
∴DO=5
(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC
∴EO:6=5:8
∴EO=
∴EF=
(2)S△DEF=EFDO=××5=
解（法二）：
(1)过C作CP//EF，交AB于P
∵EF⊥DB
∴CP⊥DB
易得△CBP∽△DCB
∴CP:BD=CB:DC
∴
∴EF=
(2)S△DEF=EFDO=××5=
同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2图形的翻折部分在折
叠前和折叠后的位置
关于折痕成轴对称；
3.将长方形纸片折叠
成如图所示的形状，图
中重叠的部分△AEF是等腰三角形；
4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好的成绩.
中考数学二轮专题复习：找规律
每个老师不可缺少的课件是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。需要我们认真规划教案课件工作计划，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写适合教案课件的范文吗？请您阅读小编辑为您编辑整理的《中考数学二轮专题复习：找规律》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
中考数学专题复习之十四找规律
1.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个.
2.已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算．
3.（中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
4.（杭州）给出下列命题：
命题1.点(1,1)是直线y=x与双曲线y=的一个交点;
命题2.点(2,4)是直线y=2x与双曲线y=的一个交点;
命题3.点(3,9)是直线y=3x与双曲线y=的一个交点;
…….
（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);
（2）证明你猜想的命题n是正确的.
5.（连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出34＋342＋343＋…＋34n＝________．
